Курс теоретической механики 2007 (Рус)

выполнялись уравнения равновесия:

Доказательство.

Найдем проекции главного вектора и главного момента на оси координат

n

M oy = ∑my (Fk ), k=1

n

M oz = ∑mz (Fk ). k=1

При выводе последних трех равенств мы воспользовались теоремой о проекции суммы векторов на ось (см. Добавление 1), а также зависимостью между моментами силы относительно полюса и оси.

Равенство нулю главного вектора и главного момента эквивалентно равенству нулю их проекций на все оси координат. Тогда из основной теоремы статики вытекает, что для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:

31

Подставив сюда выражения для проекций главного вектора и главного момента из (18), получаем требуемое. Теорема доказана.

§ 4. Аналитические условия равновесия для частных случаев системы сил

1. Сходящиеся силы. Силы называются сходящимися, если

линии действия сил пересекаются в одной точке, называемой точкой схода (рис. 32).

Выберем начало координат О в точке схода. Тогда моменты всех сил относительно полюса О будут равны нулю (см. §4 главы I), а следовательно, будет равен нулю главный момент системы сил относительно этого полюса. Отсюда вытекает, что три последних уравнения (17) удовлетворяются тождественно, и

уравнениями равновесия для сходящихся сил являются следующие уравнения:

k=1

Равенства (20) выражают равенство нулю проекций главного вектора R на оси

Рис.32 координат, а значит и равенство нулю самого

главного вектора. Таким образом, для того чтобы тело под

действием сходящихся сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этих сил равнялся нулю.

2.Параллельные силы.

Рассмотрим систему параллельных сил (рис.33). Выберем систему координат следующим образом:

ось z направим параллельно линиям действия сил, тогда оси x и y окажутся им перпендикулярными. Тогда проекции всех сил на оси x и y будут равны нулю, т.е. первых два уравнения (17) удовлетворяются тождественно. Кроме того, моменты всех сил относительно оси z

32

также равны нулю, так как их линии действия параллельны этой оси. Поэтому и шестое уравнение (17) удовлетворяется тождественно.

Таким образом,

уравнениями равновесия параллельных сил являются следующие уравнения:

k=1

Рис.33

3.Плоская система сил.

Пусть система сил расположена в плоскости Π. Проведем оси x и y в этой плоскости, а ось z – перпендикулярно ей. Очевидно, линии действия всех сил перпендикулярны оси z, поэтому проекции всех сил на ось z равны нулю, т.е. третье уравнение (17) удовлетворяется тождественно. Кроме того, моменты всех сил относительно осей x и y

Рис.34 равны нулю, так как эти оси лежат в одной плоскости с силами, а следовательно, линии действия сил либо параллельны этим

осям, либо их пересекают. Таким образом, четвертое и пятое уравнения (17) также удовлетворяются тождественно, и уравнениями

равновесия плоской системы сил являются следующие уравнения:

33

Пример 1. Определение опорных реакций балки, находящейся

совпадающей с плоскостью чертежа. Заданы следующие величины: Р1 =10 кН, Р2 =4 кН, М = 5 кНм, α = 30о. Необходимо найти реакции неподвижного шарнира А и стержня В (ось шарнира перпендикулярна

плоскости, в которой лежат силы).

Решение. В параграфе 20 главы I было показано, что реакция неподвижного шарнира RA раскладывается на две составляющие RAx и RAy в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, т.е. в плоскости чертежа. Реакция стержня RВ направлена вдоль оси стержня, т.е. в данном случае вертикально. В результате добавления этих сил к заданным, получаем систему сил, показанную на рис. 34. Балка находится в равновесии под действием этой системы сил. Поэтому выполняются уравнения равновесия для плоской системы сил. Для того, чтобы упростить их составление, разложим силу Р2 на две

k=1 n

∑mz (Fk ) = M − 4P1 + 5RB −8P2 cos α − 2P2 sin α = 0

k=1

34

При составлении последнего уравнения было учтено, что ось z перпендикулярна плоскости чертежа, т.е. все силы лежат в плоскости, перпендикулярной этой оси, и при вычислении моментов относительно этой оси можно использовать упрощенное правило (см. свойство 3 из §3 главы I).

Из последнего уравнения находим

Из первого уравнения получаем

RAx = - P2 sin α =- 2 кН,.

А из второго

RAy = P1 – RB + P2 cos α = 0,12 кН.

Так как RA = RAx +RAy , то RA = RAx2 + RAy2 = 2,004 кН.

Пример 2. Определение опорных реакций плиты, находящейся под действием пространственной системы сил.

Однородная прямоугольная плита ABCD весом Р = 10 кН опирается на неподвижный сферический шарнир в точке А (рис.36). В точке В ее поддерживает неподвижный цилиндрический шарнир, ось которого совпадает с осью х, а в точке D – стержень DE. В точке С на нее действует сила F = 20 кН в плоскости плиты под углом α к

Рис.36 ребру ВС. Необходимо найти реакции

опор плиты, если α = 30о и b/a = 2.

35

Решение. В §20 главы I было показано, что реакция сферического шарнира RA имеет три составляющие RAx , RAу , RAz вдоль трех осей координат х,у и z, а реакция RВ – две составляющие RВу и RВz в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, т.е. оси х. Реакция RDE стержня DE должна быть направлена вдоль оси стержня. Разложим

реакцию стержня RDE на две составляющие RDE/ = RDE cosα и RDE// =

=RDE sinα, параллельные осям y и z. Аналогично раскладывается сила F: на силу F/ = F sinα, параллельную оси х, и силу F// = F cosα, параллельную оси у. Таким образом, плита находится в равновесии под действием пространственной системы сил, показанной на рис 36. Составляем уравнения равновесия:

n

∑mz (Fk ) = aRBy − aF cos α − bF sin α = 0.

k=1

Из первого уравнения находим

RAx = - F sinα = -10 кН.

Из четвертого уравнения:

RDE = Р = 10 кН.

Из пятого уравнения:

36

RBz = Р/ 2 = 5 кН.

Из шестого уравнения:

RВу = F cosα + b F sin α = 37,3 кН. a

Подставив найденные значения реакций во второе и третье уравнения, находим

RAy = - RBy +RDE cosα +F cosα = 8,67 кН, RAz = - RBz - RDE sinα +P = 0.

Так как RA = RAx + RAy + RAz , то

RA = RAx2 + RAy2 + RAz2 = 13,23 кН.

Так как RВ = RВy + RВz , то

RB = RBy2 + RBz2 = 37,63 кН.

37

тема была получена из системы S при помощи элементарных операций. Это значит, что

=−R(S2). Но по условию R(S2) = R(S1) . Таким образом, R(S3) = − R(S1), и из (28) получаем

R(S4) = 0.

Совершенно аналогично доказывается, что

Mo(S4) = 0.

Используем теперь основную лемму статики и при помощи элементарных операций приведем систему S4 к двум силам P и Q. Из свойства 3 эквивалентных систем сил (§15 главы I) следует, что

P + Q = R(S4) = 0,

mo(P) +mo(Q) = Mo(S4) = 0.

Такими свойствами обладают только две прямопротивоположные силы, т.е. {P,Q} – п.п.с. Используем теперь вторую элементарную операцию и удалим эти силы. Напомним, они были получены из S4 при помощи элементарных операций. Таким образом, система S4 исчезает и от системы S (см.(26)) остается только система S2. Это значит, что

S ~ S2 .

39

Сопоставляя это соотношение с (25) и используя свойство 2 эквивалентных систем сил (§15 главы I), получаем

S1 ~ S2

(что и требовалось доказать).

Следствие 1 (признак эквивалентности пар). Для того чтобы две пары сил были эквивалентными, необходимо и достаточно,

чтобы их моменты были геометрически равны.

Доказательство. Главный вектор пары сил равен нулю, таким образом условие геометрического равенства главных векторов любых пар сил выполнено. Отсюда вытекает, что необходимым и достаточным условием эквивалентности пар сил является геометрическое равенство их моментов.

Следствие 2 (теорема о сложении пар). Система пар сил эквивалентна а) паре сил, момент которой равен геометрической сумме

моментов пар, входящих в систему, в том случае, когда эта геометрическая сумма отлична от нуля; б) двум прямопротивоположным силам, если геометрическая

сумма моментов пар равна нулю.

Доказательство.

Случай а). Главный вектор системы пар сил S{P1,Q1,P2,Q2,…,Pm,Qm} равен нулю, так как главный вектор каждой из них равен нулю, т.е. Pi+Qi = 0 (i=1,2,…,m). Таким образом главные векторы системы пар и одной пары сил геометрически равны всегда. Поэтому для эквивалентности системы пар сил S{P1,Q1,P2,Q2,…,Pm,Qm}одной паре S1{P,Q}достаточно выполнение условия геометрического равенства их главных моментов, т.е. равенства геометрической суммы моментов пар, входящих в систему S{P1,Q1,P2,Q2,…,Pm,Qm}, моменту пары S1{P,Q}, который отличен от нуля (см. §12 главы I).

Случай б). Если геометрическая сумма моментов пар, образующих систему S{P1,Q1,P2,Q2,…,Pm,Qm}, равна нулю, то тем самым выполняются два условия

R(S)=0, M(S)=0.

Но таким же условиям удовлетворяют и две прямопротивополож-

40