Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курс теоретической механики 2007 (Рус)

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
9.59 Mб
Скачать

Поэтому

Q2

=

m2

g .

(215)

 

 

2

 

 

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5 .

Здесь Т1 и Т2 кинетические энергии грузов, Т3 , Т4 и Т5 кинетические энергии блоков.

Предположим, что груз 1 перемещается вверх со скоростью V1 , а груз 2 влево со скоростью V2. Кинетическая энергия грузов определяется по формуле

 

 

 

 

m V

2

 

 

 

T

 

 

=

1

j

 

( j =1,2) ,

 

j

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем Vj = x j , т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& 2

 

 

 

T

 

=

m1x j

 

( j = 1,2) ,

(216)

j

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подвижный блок совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия определяется по формуле (144)

T3 =

m2VC2

+

J z ω32

.

(217)

 

 

22

Здесь VC скорость центра C блока, ω3 его угловая скорость, момент инерции Jz определяется по формуле

J =

m2 r 2

.

(218)

z

2

 

Обозначим через А и В точки обода блока, которые лежат на одном горизонтальном диаметре. Точки А, В и С лежат на одной прямой, а следовательно, их скорости изменяются по линейному закону (§5 главы IV части II), т.е.

VA

=

VB

=

VC

= ω

 

,

(219)

 

 

 

3

AK

 

BK

 

CK

 

 

 

 

 

 

 

где K мгновенный центр скоростей блока.

По известному свойству пропорции из (219) следует

 

VA +VB

=

VC

,

 

AK + BK

 

 

 

CK

но AK +BK = 2CK. Поэтому

 

 

 

191

VC = VA +VB . 2

Очевидно, VA = V1 = x&1 , VB = V2 = x&2 . Следовательно,

VC = x&1 + x&2 . 2

Аналогично получаем из (219)

VA VB = ω3 , AK BK

но AKBK = 2r. Следовательно,

ω3 = x&1 x&2 .

2r

Подставляя (218), (220) и (221) в (217), будем иметь

(220)

(221)

&

&

2 )

2

 

m2 r

2

&

&

2 )

2

& 2

&

2

& &

 

T =

m2 (x1

+ x

 

+

 

(x1

x

 

=

m2 (3x1

+ 3x

2

+ 2x1x2 )

. (222)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

8

 

 

 

 

 

16r 2

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кинетическая энергия неподвижных блоков определяется по формуле

 

 

 

 

T

 

 

=

J z ω2j

 

 

( j = 4,5) .

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угловые скорости блоков равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

&

 

 

 

 

 

 

 

V2

 

&

 

 

ω

 

=

=

x1

 

, ω

 

=

 

=

 

x2

.

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& 2

 

 

 

 

 

&

2

 

 

 

 

 

T

 

=

m2 x1

,

T

 

=

m2 x

2

.

 

(223)

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, кинетическая энергия системs определяется так

& 2

 

 

 

&

2

 

 

 

&

2

+

&

2

 

& &

2 )

&

2

&

2

 

T =

m1x1

+

 

m1x

2

+

m2 (3x1

3x

2

+ 2x1x

+

m2 x1

+

m2 x

2

, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

m1

 

&

2

&

2

 

 

 

 

&

2

&

2

 

& &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2 (7x1

+ 7x

2

+ 2x1x2 )

 

 

 

 

 

T =

 

 

(x1

+ x

2 ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(224)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

192

Из (224) находим

T

 

 

 

 

T

&

 

&

&

 

 

 

 

 

 

m2 (7x1

+ x2 )

 

= 0 ( j = 1,2),

 

 

= m1x1

+

 

 

,

x j

&

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

8

 

 

T

&

 

m2

&

&

 

 

 

 

 

 

(7x2

+ x1 )

 

 

 

 

 

= m1x2

+

 

 

 

 

.

 

 

 

 

&

 

8

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (214), (215) и (225) в (213), получаем

 

 

 

 

+

m

2

 

(7

&x&

 

+ &x&

)

=

 

 

m

2

m )g,

 

m

&x&

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

(7&x&

 

+ &x&

 

)

 

 

 

m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m

&x&

+

 

 

 

 

 

2

1

 

 

=

 

 

 

g,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m +

3

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&x&

= −

 

1

 

 

 

8

 

 

2

 

g, &x&

 

 

=

 

 

 

 

11m2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

m +

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

8(m

+

m

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

2

 

 

(225)

(226)

Это и есть ускорение грузов. Знак «минус» при &x&1 означает, что груз 1 движется вниз, а не вверх, как предполагалось.

193

Рекомендуемая литература

1.Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике.М.: Высш. шк., 1961.

2.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая ме-

ханика в примерах и задачах (в 3 т.). М.: Наука, 1972 1973.

3.Березова О.А., Солодовников Р.В., Друшляк Г.Ю. Збірник задач з теоретичної механіки. К.: Вища школа, 1975.

4.Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической

механики (в 2 т.). М.: Наука, 1979.

5.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики (в 2ч.)

: Наука, 1972.

6.Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики.М.: Издво МГУ, 1992.

7.Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики (в 2 т.).М.: Наука, 1972-1977.

8.Кириллов В.Х., Д.Д. Лещенко. Курс теоретической механики.

Одесса: Изд-во ОДАБА, 2002.

9.Кошляков В.Н. Краткий курс теоретической механики. Кине-

матика, кинетика.К.: Вища шк., 1993.

10.Лойцянский Л.Г., Лурье А.И.. Курс теоретической механики (в 2 т.).М.: Наука, 1982.

11.Маркеев А.П. Теоретическая механика.М.: Наука, 1990.

12.Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.М.: Высш. шк.,

1990.

13.Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретичес-

кая механика. Статика. Кинематика.К.: Вища шк., 1989.

14.Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Динамика.К.: Вища шк., 1990.

15.Павловский М.А., Путята Е.В. Теоретическая механика. К.: Рад. шк., 1985.

16.Путята Т.В., Фрадлін Б.Н. Методика розв’язування задач з те-

оретичної механіки.К.: Рад. шк., 1952.

17.Старжинский В.М. Теоретическая механика: краткий курс по полной программе вузов.М.: Наука, 1989.

18.Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теретической меха-

ники.ч.1. Статика. Кинематика.М.: Высш. шк., 1977.

19.Яблонский А.А. Курс теретической механики.ч.2. Динамика.

М.: Высш. шк., 1977.

194

Д О Б А В Л Е Н И Я

_____________________________________________________________

Добавление 1. Проекция вектора на ось.

Начнем с определений проекций точки на ось и на плоскость. Поскольку эти определения аналогичны, мы их объединим в одно.

Проекцией точки А на ось (плоскость) называется основание а перпендикуляра, опущенного из точки на эту ось (плоскость) (рис.1 а) и б)).

Рис.1

Проекцией вектора на ось называется скаляр (т.е. число), равный длине отрезка ab, соединяющего проекции начала А и конца В вектора на эту ось, взятой с соответствующим знаком (рис.2). Если придать отрезку ab направление, соответствующее направлению вектора (т.е. от точки а к точке b), то знак проекции выбирается следующим образом:

если направление отрезка ab совпадает с направлением оси, то

проекция имеет знак "плюс", если же это направление противоположно направлению оси, то проекция имеет знак "минус".

Будем обозначать проекцию вектора F на ось х символами прхF или Fх. Таким образом,

прхF = Fх = ± |ab|.

(1)

Так как треугольник АВВ1 прямоРис.2 угольный и АВ1 = ab является прилежащим к углу α катетом

(рис.2), то |ab| = F cos α, т.е.

195

прхF = Fх = ± F cos α .

(2)

По аналогии с силой будем называть линией действия вектора прямую, на которой этот вектор расположен (для свободного вектора в качестве линии действия можно взять любую прямую, которой этот вектор параллелен).

Тогда из (2) следует, что проекция вектора на ось равна

произведению величины вектора на косинус угла между линией действия вектора и осью, взятому с соответствующим знаком.

Рассмотрим два частных случая.

1. Линия действия вектора перпендикулярна оси. В этом случае точки а и b совпадают (рис.3а) и следовательно,

прхF = Fх = 0, т.е.

(3)

если линия действия вектора перпендикулярна оси, то проекция вектора на ось равняется нулю.

2. Линия действия вектора параллельна оси. Очевидно |ab| = F

(рис.3б), т.е. величина проекции равна величине вектора. В этом случае говорят, что вектор проектируется на ось в натуральную величину:

прхF = Fх = ± F .

(4)

Таким образом, если линия действия вектора параллельна оси (в

частности, если он лежит на оси), то вектор проектируется на ось в натуральную величину, при этом проекция имеет знак "плюс", если направление вектора совпадает с направлением оси, и знак "минус", если эти направления противоположны.

Рис.3

196

Теорема. Проекция геометрической суммы векторов на какую-либо

ось равна сумме проекций векторов на эту ось.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух векторов F1 и F2, проекции которых на ось х положительны (рис.4а). Отложим вектор F1 из произвольной точки А, а затем из конца В этой вектора отложим вектор F2. Вектор G, соединяющий начало А вектора F1 с концом С вектора F2 представляет собой геометрической сумму векторов F1 и

F2.

Из чертежа следует, что |ac| = |ab| + |bc|. Но |ac| = прхG, |ab| = прхF1, |bc|= прхF2. Таким образом,

прх ( F1 + F2 )=прхF1 + прхF2 .

(5)

Если же проекция одного из векторов, например F2 отрицательна (рис. 4б), причем |ab| > |bc|, то

|ac| = |ab| – |bc|.

(6)

Но в этом случае прхG=|ac|, прхF1= =|ab|, прхF2 =– |bc| и из (6) снова получаем (5). Легко убедиться, что в остальных мыслимых случаях двух векторов равенство (5) имеет место.

Пусть теперь равенство аналогичное (5) имеет место для случая п векторов, т.е.

n

n

 

npx Fk

=npx Fk .

(7)

k=1

k=1

 

Покажем, что такое же равенство справедливо и для случая п+1

 

n

n+1

вектора. Введем обозначение Q = Fk

. Тогда Fk = Q + Fn+1 и

 

k=1

k=1

n+1

 

n

npx Fk =npx (Q + Fn+1 ) = npxQ + npx Fn+1 = npx Fk + npx Fn+1 =

k=1

 

k=1

n

n+1

 

= npx Fk + npx Fn+1 = npx Fk ,

 

k=1

k=1

 

откуда и следует, что

197

n+1

n+1

npx Fk =npx Fk ,

k=1

k=1

что и требовалось. Теорема доказана.

Добавление 2. Проекция вектора на плоскость.

Проекцией вектора на плоскость называется вектор, соединяющий проекцию начала с проекцией конца вектора на эту плоскость

(рис.4).

Проекцию вектора F на плоскость хОу будем обозначать символом Fху , а ее вличину – символом Fху. Очевидно (рис.5)

Fху = F cos β,

(8)

где β – угол между направлением вектора и направлением ее проекции.

Рис.5

Из формулы (8) следует, что

1.если линия действия вектора перпендикулярна плоскости, то проекция вектора на плоскость равна нулю,

2.если линия действия вектора параллельна плоскости (в частности, если вектор лежит в плоскости), то проекция вектора на плоскость равна этому вектору.

198

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение……………………………………………………………….

3

 

ЧАСТЬ I . СТАТИКА

 

 

Глава I . Основные понятия и аксиомы статики

 

§1. Абсолютно твердое тело………………………………………..

5

§2. Сила……………………………………………………………….

5

§3. Момент силы относительно оси…………………………………

6

§4. Момент силы относительно полюса…………………………….

8

§5.

Представление момента силы относительно полюса в виде

 

 

векторного произведения………………………………………..

10

§6. Теорема Вариньона для моментов двух сходящихся сил

 

 

относительно полюса……………………………………………

11

§7. Изменение момента силы относительно полюса при

 

 

перемене полюса…………………………………………………

12

§8. Зависимость между моментом силы относительно полюса и

 

 

моментом силы относительно оси ……………………………..

13

§9. Теорема Вариньона для моментов двух сходящихся сил

 

 

относительно оси………………………………………………… 14

§10. Система сил. Главный вектор и главный момент системы сил

14

§11. Изменение главного момента системы сил относительно

 

 

полюса при перемене полюса…………………………………..

15

§12. Пара сил и ее момент………...………………………………….

15

§13. Элементарные операции………………………………………...

16

§14.

Геометрические свойства элементарных операций…………...

18

§15. Эквивалентные системы сил…………………………………….

18

§16. Равнодействующая……………………………………………….

19

§17. Примеры построения равнодействующей…………………...…

20

§18. Отличия равнодействующей от главного вектора……………..

21

§19. Аксиомы статики…………………………………………………

22

§20. Основные типы связей и их реакции……………………………

23

 

Глава II . Условия равновесия тела

 

§1. Основная лемма статики………………………………………..

28

§2. Основная теорема статики……………………………………...

29

§3.

Аналитические условия равновесия произвольной системы сил 30

199

§4.

Аналитические условия равновесия для частных случаев систем

 

сил………………………………………………………………… 32

 

Глава III . Приведение системы сил к простейшему виду

 

§1. Общий признак эквивалентности систем сил………………….

38

§2. Эквивалентные преобразования пар……………………………

41

§3. Теорема Пуансо о приведении системы сил к заданному

 

 

центру…………………………………………………………….

41

§4. Частные случаи теоремы Пуансо……………………………….

43

§5. Простейшие системы сил………………………………………..

44

 

Глава IV . Центр параллельных сил и центр тяжести

 

§1.

Условие существования равнодействующей параллельных

 

 

сил………………………………………………………………..

47

§2. Центр параллельных сил………………………………………...

47

§3. Центр тяжести……………………………………………………

50

§4. Статические моменты……………………………………………

51

§5. Центры тяжести симметричных тел…………………………….

51

§6. Методы определения положения центра тяжести……………..

52

 

ЧАСТЬ II . КИНЕМАТИКА

 

 

Глава I . Кинематика точки

 

§1. Вектор-функция, ее годограф и производная………………….

54

§2. Способы задания движения точки……………………………...

56

§3. Скорость точки…………………………………………………..

57

§4. Ускорение точки…………………………………………………

58

§5.

Определение скорости и ускорения точки при векторном

 

 

способе задания движения …….………………………..……..

59

§6.

Определение скорости и ускорения точки при координатном

 

 

способе задания движения …….……………………………….

60

§7.

Определение скорости при естественном способе задания

 

 

движения точки………………………………………………….

61

§8. Кривизна линии………………………………………………….

62

§9. Естественный трехгранник……………………………………..

63

§10. Производная орта касательной по натуральной координате…

64

§11. Определение ускорения при естественном способе задания

 

 

движения точки………………………………………………….

65

200

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.