Курс теоретической механики 2007 (Рус)

§7. Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Кинетическим моментом механической системы относительно полюса называется вектор, приложенный в этом полюсе и равный геометрической сумме кинетических моментов точек системы относительно этого полюса:

k=1

(lok = mo(qk) − кинетический момент точки Мk механической системы относительно полюса О).

системы относительно оси z).

Пользуясь соотношением (99), легко доказать следующее утверждение:

кинетический момент механической системы относительно оси, проходящей через полюс, равен проекции на эту ось кинетического момента механической системы относительно полюса, т.е.

Теорема (об изменении кинетического момента механической системы относительно полюса). Геометрическая производная

кинетического момента механической системы относительно полюса по времени равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе, относительно этого полюса:

143

Доказательство. Для каждой из точек механической системы может быть записана теорема об изменении кинетического момента относительно полюса (рис.25)

Суммируя равенства (106) по k, получаем

n

+ ∑mo (Fki ). k=1

Меняя местами дифференцироРис.25 вание и суммирование и учитывая, что главный момент внут-

ренних сил относительно любого полюса равен нулю, получаем (105). Теорема доказана.

Следствия.

1)Внутренние силы не влияют на изменение кинетического момента механической системы относительно полюса.

2)(закон сохранения кинетического момента) Если главный момент внешних сил относительно полюса равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то кинетический момент механической системы относительно этого полюса не изменяется ни по величине, ни по направлению в течение указанного промежутка.

Доказательство. Если M oe = 0, то из теоремы следует, что

dLo = 0 , а значит, Lo = const. dt

3) (теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно оси). Производная кинетического момента механической системы относительно оси по времени равна сумме моментов внешних сил, приложенных к системе, относительно этой оси:

144

n

dLz = ∑mz (Fke ) . (107) dt r=1

Доказательство. Запишем равенство (105) в следующем виде:

и спроектируем его на ось z. Пользуясь формулой (104), а также зависимостью между моментами силы относительно полюса и оси, получаем (107).

§8. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (рис.26). Мысленно разобьем тело на элементарные объемы (элементарные массы). Одна из таких элементарных масс показана на рисунке. Количество движения такой элементарной массы равно

qk = mk Vk ,

для кинетического момента твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения

k=1

145

Введем обозначение

k=1

иназовем Jz моментом инерции тела относительно оси z. Таким образом, моментом инерции тела относительно оси называется

сумма произведений элементарных масс, образующих тело, на квадрат их расстояний от оси.

Тогда (110) запишется так

т.е. кинетический момент тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения.

§9. Моменты инерции некоторых тел

1.Полый цилиндр.

Будем называть полым цилиндр, масса которого распределена по его поверхности.

Так как масса цилиндра распределена по его поверхности, то элементарные массы расположены также на его поверхности (рис.27) и расстояние их от оси одинаково и равно радиусу цилиндра R. Тогда

k=1

(М − масса цилиндра).

Рис.27

2.Сплошной однородный цилиндр.

Выделим из сплошного цилиндра полый цилиндр радиуса r < R , толщина стенок которого бесконечно мала и равна dr (рис.28). Его

момент инерции dJz может быть вычислен по формуле (113) dJz = dM r2.

146

Здесь dM − масса полого цилиндра. Ее нетрудно определить следующим образом: находим сначала плотность цилиндра

Будем полагать, что сплошной цилиндр состоит из бесконечного множества вложенных друг в друга полых цилиндров, радиусы которых меняются от 0 до R . Тогда

3.Стержень.

Определим момент инерции прямолинейного однородного стержня

dM = M dx l

(М − масса стержня, l − его длина). Тогда

147

После интегрирования получаем

§10. Моменты инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса – Штейнера)

Теорема. Момент инерции Jz тела относительно некоторой оси z равен моменту инерции тела Jz’ относительно z’, проходящей

через центр масс тела параллельно данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями:

Доказательство. Выделим элементарную массу mk тела (рис.30). Обозначим через hk расстояние от элементарной массы до оси z, а че-

рез hk/ - расстояние от нее до оси z’. Используя теорему косинусов,

148

для ординаты центра масс, причем ось y’ проходит через центр масс С. Таким образом, имеем

Jz = Jz’ + Мd2,

что совпадает с (116).

§11. Пример решения задачи с применением теоремы об изменении кинетического момента механической системы

Задача. На однородный барабан массой m1 = 10 кг и радиусом r = 0,5 м (рис.31) намотана веревка с грузом массой m2 = 5 кг на конце. Пренебрегая массой веревки и трением на оси барабана, определить угловое ускорение барабана.

Решение. Ось z вращения барабана перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через центр барабана О. Применим теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z, полагая, что механическая система состоит из барабана и груза, внешними силами по отношению к которой являются вес барабана

Р1 , вес груза Р2 и реакция оси барабана R :

Момент инерции барабана как однородного цилиндра определяется следующим образом:

а скорость груза можно выразить через угловую скорость барабана

149