Курс теоретической механики 2007 (Рус)
.pdf
т.е. элементарная работа силы равна
скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки.
Пользуясь зависимостью между проекциями радиус-вектора точки на оси координат и ее координатами
Рис.32 |
x = rx , y = ry , z = rz , |
равенство (122) можно записать так
dA = Fx drx + Fy dry + Fz drz = Fx dx + Fy dy + Fz dz. (123)
Для того чтобы найти работу силы на конечном перемещении М0М1 (рис.32) необходимо, очевидно, просуммировать работы силы на элементарных перемещениях, т.е.
работой силы на конечном перемещении называется взятый вдоль этого перемещения криволинейный интеграл от элементарной работы:
A = ∫dA . |
(124) |
M0M1 |
|
§13. Примеры вычисления работы
1.Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении.
Если точка перемещается по прямой (рис.33) и сила, действующая на нее постоянна по величине и направлению, то криволинейный интеграл (124) превращается в обычный интеграл
|
s |
|
Рис.33 |
A = ∫F cosαdx = F scosα , |
(125) |
|
0 |
|
и в результате получаем известную простейшую формулу вычисления работы.
151
2.Работа силы тяжести.
Пусть точка М перемещается из положения М0 в положение М1 (рис.34). Выбранная система координат показана на чертеже (ось z направлена вертикально вверх). Проекции силы тяжести Р на оси координат равны
Рх = Ру = 0, Рz =−Р.
Найдем элементарную работу пользуясь формулой (123):
dA = −Pdz.
Рис.34
Тогда работа силы тяжести на перемещении М0М1 будет определяться так
|
∫ |
|
z1 |
|
|
|
A = |
(−P)dz = −P |
∫ |
dz = P(z0 |
− z1 ) = Ph . |
(126) |
|
|
|
|||||
|
M0M1 |
|
z0 |
|
|
|
Работа силы тяжести не зависит от траектории точки, а только от начального и конечного ее положений. Она равна произведению величины силы на падение высоты положения точки.
3.Работа упругой силы.
Рассмотрим движение груза, прикрепленного к пружине, вдоль гладкой горизонтальной плоскости (рис.35). Со стороны пружины на груз действует сила F, пропорциональная удлинению или укорочению пружины. Выберем начало координат в конце недеформированной пружины. Как показано в §5 главы I проекции силы F на оси координат равны
Fx = −cx, Fy = Fz =0.
Тогда в соответствии с формулой (123) имеем
dA = −cxdx
и
152
|
|
|
|
|
x1 |
|
A = |
∫ |
|
dA = −c∫xdx = |
(127) |
||
|
|
|
M0M1 |
x0 |
||
= |
c |
(x2 |
− x2 ) |
|
||
|
|
|||||
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
Таким образом, работа
упругой силы равна половине произведения коэффи-
Рис.35 циента жесткости на
разность квадратов начального и конечного удлинений (или укорочений) пружины.
4. Работа сил, приложенных к вращающемуся твердому телу.
Пусть некоторое твердое тело вращается вокруг неподвижной оси под действием системы сил F1 , F2 , …, Fn (рис.36). Найдем элементарную работу одной из сил Fk . Проведем через точку Мk , к которой приложена сила, оси естественного трехгранника (см.§9 главы I части II) τ, n и b. По формуле (121)
dA ( Fk ) = Fkτ dsk , |
(128) |
где dsk = Vk dt , Vk - скорость точки Mk приложения силы Fk . Скорость Vk определяется по формуле
|
Vk = ω hk , |
|
|
hk - расстояние от точки Mk |
до оси вра- |
|
щения. Тогда |
|
|
dsk = hk ω dt = hk dφ. |
|
Рис.36 |
Подставляя в (128), получаем |
|
|
dA ( Fk ) = Fkτ hk dφ. |
(129) |
Найдем момент силы Fk относительно оси z:
mz (Fk ) = mz (Fkτ ) + mz (Fkn ) + mz (Fkb ) = Fkτ hk .
153
Сопоставив это с (129), приходим к выводу, что |
|
dA ( Fk ) = mz (Fk ) dφ. |
(130) |
Суммарная элементарная работа всех сил, приложенных к вращающемуся телу, равна
n |
|
dA = ∑dA(Fk ) = M z dφ, |
(131) |
k=1
n
где M z = ∑mz (Fk ) .
k=1
Работа сил, приложенных к вращающемуся телу на конечном его перемещении, равна
φ1 φ1
A = ∫dA = ∫M z dφ,
φ0 φ0
где φ0 − угловая координата начального положения тела, а φ1 − конечного. Если предположить, что Mz не зависит от положения тела, т.е. от угловой координаты φ, то формула примет следующий вид
φ1 |
|
A = M z ∫dφ = M z (φ1 − φ0 ) . |
(132) |
φ0 |
|
Таким образом, работа сил, приложенных к вращающемуся
твердому телу, равна произведению суммы моментов сил относительно оси вращения на угол поворота тела (при условии, что сумма моментов сил относительно оси вращения неизменна).
5. Элементарная работа сил, приложенных к плоской фигуре
Пусть плоская фигура движется в своей плоскости под действием системы сил F1 , F2 ,…, Fn (рис. 37). Скорости точек, а значит и их элементарные перемещения распределяются на плоской фигуре так, как будто она совершает вращение вокруг оси zP, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через мгновенный центр вращения Р. Поэтому элементарная работа сил, приложенных к плоской фигуре согласно формуле (131) равна
dA = M zp dφ ,
154
где M zp − сумма моментов сил относительно
оси zP . Запишем формулу изменения главного момента системы сил относительно полюса при перемене полюса (§11 главы I части I)
MP = MА +[R , PA ]
(А − произвольно выбранная точка плоской фигуры). Спроектируем левую часть равенства на ось zP , а правую на параллель-
Рис.37 ную ей ось z, проходящую через точку А. В соответствии с формулой (12) §11 главы I
части I будем иметь
M zP = M z + R| PA |sin α
( M zP и Mz − суммы моментов сил относительно осей zP и z соответст-
венно, кроме того, учтено, что вектор [R , PA ] параллелен оси z ). Умножая полученное равенство на dφ, будем иметь
dA = M z dφ + R | PA | dφsin α .
Но | PA | dφ = d A , где dА − перемещение точки А, а sin α =cos (90o − α)=
=cos β ( β − угол между векторами R и PA ). Таким образом, предыдущее равенство может быть записано так
dA = Mz dφ + R dΑ cos β = Mz dφ + (R , dΑ ). |
(133) |
§14. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Кинетической энергией точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости:
T = mV 2 . 2
Теорема. Приращение кинетической энергии точки на конечном ее перемещении равно сумме работ сил, приложенных к точке, на этом перемещении, т.е.
155
mV 2 |
mV |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0 |
|
∑ |
|
|
|
|
1 |
− |
|
= |
|
A(F |
|
) . |
(134) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k=1
Доказательство. Пусть точка М движется из положения М0 в положение М1 под действием сил F1 , F2 , …, Fп (рис.38). Составим основное уравнение динамики
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma = ∑Fk |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
и спроектируем его на направление |
|||||||||
|
|
касательной |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
maτ = ∑Fkτ . |
(135) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
Рис.38 |
|
Представим касательное ускорение аτ в сле- |
|||||||||
|
|
дующем виде |
|
|
|
|
|||||
a |
|
= |
dV |
= |
dV |
|
ds |
= |
dV |
V |
|
τ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dt |
|
ds dt |
|
ds |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
и подставим это в (135), умножив обе части получившегося равенства на ds:
n |
|
mVdV = ∑Fkτds . |
(136) |
k=1
Легко убедиться в том, что левая часть равенства (136) представляет собой дифференциал кинетической энергии:
d( |
mV 2 |
) = |
d |
( |
mV 2 |
)dV = mVdV , |
|
|
|
||||
2 |
|
dV |
2 |
|
||
а правая − сумму элементарных работ сил:
n |
n |
∑dA(Fk ) = ∑Fkτds |
|
k=1 |
k=1 |
(см. формулу (121)).
Тогда (136) будет выглядеть так
|
|
2 |
n |
|
d( |
mV |
|
) = ∑dA(Fk ) . |
(137) |
|
|
|||
2 |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем обе части равенства (137) вдоль перемещения М0М1 точки М
156
|
d( |
mV 2 |
) = |
n |
|
dA(F ) . |
|
∫ |
|
∑ |
∫ |
||||
2 |
|
|
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M0M1 |
k=1 M0M1 |
|
|||||
Учитывая, что скорость точки М в начальном положении равна V0 , а в конечном − V1 , получаем
mV02 − mV12 = ∑n A(Fk ) , 2 2 k=1
что и требовалось.
§15. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Кинетической энергией механической системы называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий точек системы
n |
2 |
T = ∑ |
mkVk |
. |
|
2 |
|||
k=1 |
|
||
|
|
Теорема. Приращение кинетической энергии механической системы на конечном ее перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы, на этом перемещении:
n |
n |
|
T1 −T0 = ∑A(Fke ) + ∑A(Fki ) . |
(138) |
|
k=1 |
k=1 |
|
Доказательство. Запишем теорему об изменении кинетической энергии для каждой точки механической системы
mkVk21 |
− |
mkVk20 |
= A(Fke ) + A(Fki ) (k = 1,2,…,n) |
(139) |
2 |
|
|||
2 |
|
|
||
Здесь Vk0 − скорость точки Мk в начальном ее положении, Vk1 − ее скорость в конечном положении, Fke − геометрическая сумма внешних сил, приложенных к точке Мk , Fki − геометрическая сумма внутренних
сил.
Просуммировав равенства (139) по всем точкам системы, получим
157
n |
mkVk21 |
− |
n |
mkVk20 |
= |
n |
A(F e ) + |
n |
A(F i ) , |
|
∑ |
2 |
∑ |
2 |
∑ |
∑ |
|||||
|
|
k |
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
что совпадает с (138).
§16. Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях движения
1. Поступательное движение. Мысленно разобьем тело, совершающее поступательное движение, на элементарные массы (часть из них показана на рис.39). Так как при поступательном движении скорости точек тела геометрически равны (§1 главы II части II), то
V1 = V2 =…= Vn = VС (VC − скорость центра масс тела). Тогда
|
n |
2 |
n |
|
2 |
2 |
|
|
|
T = ∑ |
mkVk |
= ∑ |
mkVC |
= |
MVC |
. (140) |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
k=1 |
k=1 |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис.39 |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
||
|
кинетическая |
энергия |
|
поступательно |
||||
движущегося твердого тела равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.
2.Вращение тела вокруг неподвижной оси. И в этом случае
разбиваем тело на элементарные массы (одна из них показана на рис.40). Скорость элементарной массы mk определяется по формуле
Vk = ω hk
( hk − расстояние от элементарной массы до оси вращения).
Тогда
T = |
n |
mkVk2 |
= |
ω2 |
n |
m h2 . (141) |
∑ |
2 |
|
∑ |
|||
|
2 |
k k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
Рис.40
158
Сумма, стоящая в правой части формулы (141) уже ранее встречалась (§8 главы II части III). Это момент инерции Jz тела относительно оси вращения z. Следовательно, (141) можно записать так
T = |
J |
z |
ω2 |
|
|
|
|
, |
(142) |
||
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
т.е. кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение тела. Как показано в §5 главы IV части II, скорости точек тела при таком движения
распределяются так, как если бы тело совершало вращение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения (рис.41). Тогда согласно формуле (142) кинетическая энергия тела определяется по формуле
T = |
J |
z |
ω2 |
|
|
|
P |
. |
(143) |
||
|
|
||||
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
Рис.41
По теореме Гюйгенса−Штейнера (см. §10)
J zP = J zC + Md 2
(здесь d = CР). Подставив это в (143), будем иметь
T = J zC ω2 + M (ωd)2 .
22
Но ωd = Vc , и получаем окончательно
|
MV |
2 |
|
J z |
C |
ω2 |
|
|
T = |
|
c |
+ |
|
|
. |
(144) |
|
|
|
|
|
|
||||
22
Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего
плоскопараллельной движение, равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.
4. Произвольльное движение тела. Если выбрать в качестве полюса разложения произвольного движения тела на поступательное и вращательное центр масс С, то по второй формуле Эйлера (§5 главы
159
V части II) скорость любой элементарной массы mk может быть представлена так
V |
k |
= V +V |
/ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Vk/ − скорость |
|
массы |
mk в |
|||||||||||
|
|
относительном |
вращении |
тела |
|||||||||||||
|
|
вокруг точки С. При этом по |
|||||||||||||||
|
|
модулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
V / |
= ωh |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(hk − расстояние от массы mk до |
|||||||||||||||
|
|
оси мгновенного вращения Ср. |
|||||||||||||||
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 = |
(V |
k |
,V |
k |
) |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
(V |
C |
+V / ,V |
C |
+V |
/ ) |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|||
|
|
|
= V 2 |
+V |
/ 2 |
+ 2 (V |
C |
,V |
/ ) |
||||||||
|
|
|
|
C |
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|||
|
|
Найдем кинетическую энергию |
|||||||||||||||
Рис.42 |
|
тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
T = ∑ mkVk
k=1 2
|
|
n |
|
n |
n |
= |
1 |
∑mk VC2 + |
1 |
∑mk hk2 ω2 + (VC , ∑mkVk/ ) . (145) |
|
2 |
2 |
||||
|
|
k=1 |
|
k=1 |
k=1 |
n
Заметим, что в соответствии с формулой (89) сумма ∑mkVk/ ,
k=1
стоящая в правой части (145), равна
n
∑mkVk/ = MVC/ = 0 , k=1
так как скорость точки С в относительном вращении тела вокруг этой же точки равна нулю. Тогда (145) запишется так
|
MV |
2 |
|
JCp |
ω2 |
|
|
T = |
|
C |
+ |
|
|
, |
(146) |
|
|
|
|
||||
22
n |
n |
так как ∑mk |
= M, ∑mk hk2 = JCp (JCp − момент инерции тела |
k=1 |
k=1 |
относительно оси мгновенного вращения Ср). Таким образом,
160