Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)

161

Таким чином, стержень являє собою приклад утримуючого зв'язку.

Приклад 2. Приведемо приклад неутримуючого зв'язку. Нехай тепер дві матеріальні точки з'єднані за допомогою нерозтяжної нитки, довжина якої дорівнює l (мал.45).

Очевидно, математичне вираження зв'язку в цьому випадку виглядає так

| M1M2 | ≤ l ,

чи

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ≤ l2 . (162)

Таким чином, нитка є неутримуючим

зв'язком.

Мал.45

б) Зв'язки поділяються на стаціонарні і нестаціонарні. Стаціонарними називаються зв'язки, математичне вираження

яких не містить часу t явно. У протилежному випадку зв'язки

називаються нестаціонарними.

Очевидно, вищенаведені приклади зв'язків являють собою

стаціонарні зв'язки.

площина П є нестаціонарним зв'язком.

в) Зв'язки поділяються на геометричні і кінематичні. Геометричними називаються зв'язки, що обмежують тільки

переміщення точок. У протилежному випадку (тобто коли зв'язки обмежують ще і швидкості точок) зв'язки називаються

163

кінематичними.

Ознакою геометричного зв'язку є відсутність похідних координат точок механічної системи за часом. Таким чином, усі вищенаведені приклади зв'язків є геометричними. Приведемо приклад кінематичного зв'язку.

Приклад 4. В автомобілі починаючого водія встановлено пристрій, що відключає двигун усякий раз, коли швидкість автомобіля досягає деякої заданої величини Vд. Таким чином, для швидкості автомобіля виконується нерівність

тобто в цьому випадку математичне вираження зв'язку містить похідні координат точки за часом.

§2. Ідеальні зв'язки

Зв'язки називаються ідеальними, якщо елементарна робота реакцій зв'язків на будь-якому нескінченно малому переміщенні механічної системи, що допускається цими зв'язками, дорівнює нулю.

Приклади ідеальних зв'язків.

1.Стержень. Покажемо, що абсолютно твердий невагомий

стержень є ідеальним зв'язком. Нехай дві матеріальні точки М1 і М2 з'єднані за допомогою стержня. Реакції стержня R1 і R2 є прямопротилежними силами: R2 =

164

Оскільки стержень М1М2 абсолютно твердий, права частина рівності (167) є постійною величиною. Візьмемо диференціал від лівої і правої частин цієї рівності:

Знайдемо елементарну роботу реакцій

(R1 , dr1) + (R2 , dr2) = (R1 , dr1) − (R1 , dr2) =

= R1 |dr1| cos α1 − R1 |dr2| cos α2 = R1 ( |dr1| cos α1 − |dr2| cos α2) = 0.

Таким чином, стержень є ідеальним зв'язком.

Помітимо, що абсолютно тверде тіло можна уявляти як сукупність матеріальних точок , попарно з'єднаних абсолютно твердими стержнями. Звідси випливає, що робота внутрішніх сил на будь-якім

переміщенні тіла дорівнює нулю.

2. Нерухомий циліндричний шарнір без тертя. Нехай до тіла прикріплений нерухомий циліндричний шарнір (мал.48). Як відомо з

курсу статики, реакція шарніра проходить через вісь шарніра. Тому елементарна робота реакції RO шарніра

d = (RO , dro) = 0,

оскільки вісь шарніра нерухома і dro дорівнює нулю. Таким чином, нерухомий циліндричний шарнір є

ідеальним зв'язком.

Мал.48 Зовсім аналогічно можна довести, що нерухомий сферічний шарнір є ідеальним зв'язком.

3. Абсолютно тверда ідеально шершава поверхня.

Нехай по такій поверхні котиться абсолютно тверда каток (мал.49).

165

Тут Fk − сума активних сил, що діють на точку Мk , Rk − сума реакцій

Оскільки зв'язку, накладений на систему ідеальні, друга сума в лівій частині (172) дорівнює нулю, і з (172) випливає (170).

Достатність. Допустимо, що незважаючи на виконання умов (170), система почала рухатися. При цьому кожна з точок одержує переміщення drk . Направимо вісь τk уздовж напрямку цього вектора. Оскільки в початковий момент швидкості точок дорівнювали нулю, а зв'язки, накладені на систему стаціонарні і геометричні, то припущення про те, що система почала рухатися означає, що швидкість точки Mk починає зростати, а отже, дотичне прискорення точки

167

Оскільки зв'язки, накладені на систему ідеальні, друга сума у вираженні (174) дорівнює нулю, і в результаті будемо мати

n

∑(Fk , drk ) > 0 ,

k=1

що суперечить умові (170), оскільки переміщення точок drk (k = = 1,2,…,n) не суперечать накладеним зв'язкам, і виходить, утворяють можливе переміщення системи. Таким чином, наше припущення про те, що система почала рухатися невірно, і система знаходиться в стані рівноваги.

§4. Приклад рішення задачі з використанням принципу можливих переміщень

Задача. Плоский механізм, зображений на мал.51, знаходиться

в стані рівноваги під дією сили Q і пари сил з моментом М. Необхідно знайти момент пари, якщо Q = 2 кН , l1 = 2 м , l2 = 3 м , α = 30о.

Рішення. Надаємо механізму можливе переміщення, при якому кривошип О1А повертається на нескінченно малий кут δφ1 навколо

Для того щоб знайти залежність між δφ1 і δφ2 розглянемо переміщення стержня АВ. Переміщення його кінців показані на кресленні, причому

δА = l1 δφ1 , δУ = l2 δφ2 . (176)

Оскільки нескінченно малі переміщення точок пропорційні їх швидкостям і мають ті ж напрямки, то

Мал.51 δА і δУ пропорційні відстаням РА і РВ точок А и В від миттєвого цент-

ра обертання Р:

168

З (176) і (177) знаходимо

δφ2 = δφ1 l1 / (l2 tg α).

Підставляючи це в (175), одержуємо

М = Q l1 cos2 α / sin α = 6 кНм.

§5. Визначення реакцій зв'язків за допомогою принципу можливих переміщень

У рівнянні робіт (170) принципу можливих переміщень реакції зв'язків узагалі не приймають участі.

Тому для визначення реакцій за допомогою принципу можливих

переміщень використовується спеціальний метод:

1)відкидаємо зв'язок, реакцію якого необхідно визначити;

2)дія відкинутого зв'язку заміняємо силою, що дорівнює шуканої реакції;

3)надаємо системі з відкинутим зв'язком можливе перемі-

щення;

4)обчислюємо суму робіт активних сил, включаючи додану, на цьому переміщенні;

5)з отриманого рівняння знаходимо додану силу і тим самим

визначаємо реакцію зв'язку.

Продемонструємо визначення реакції на прикладі.

Задача. Визначити реакцію шарнірно-рухливої опори В рами, зображеної на мал.52, Q1 = 20 кН , Q2 = 40 кН , М = = 40 кНм, а = 2 м, α = 45о. Зв'язки, накладені на раму, виключають можливість будь-якого переміщення.

Рішення.

1.Відкидаємо шарнірно-рухливу опору В и одержуємо конструкцію, що має можливість рухатися, тобто механізм (мал.53).

2.Дія відкинутого зв'язку заміняємо силою RB , що для механізму є активною.

Надаємо механізму можливе переміщення, при якому ліва части-

на рами повертається на нескінченно малий кут δφ1 навколо нерухомого шарніра А. При цьому шарнір D, що з'єднує дві частини рами, одержує переміщення δD, перпендикулярне відрізку AD,

169

що з'єднує його з центром обертання А. Шарнір С має можливість переміщатися

§6. Принцип Даламбера

Вектор J, рівний за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямований протилежно прискоренню, називається силою інерції точки:

170