Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)

.pdf
Скачиваний:
43
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
9.59 Mб
Скачать

Запишемо основне рівняння динаміки точки

n

ma = Fk

k=1

іперенесемо вектор ma праворуч. З огляду на (179), одержуємо

n

 

 

Fk

+ J = 0 .

(180)

k=1

 

 

Оскільки сили, прикладені

до матеріальної

точки, утворяють

сили, що сходяться, а для них умовою рівноваги є рівність нулю головного вектора (див. §4 глави II частини I), то (180) можна трактувати як умова рівноваги. Таким чином,

якщо до сил, що діють на матеріальну точку додати силу інерції цієї точки, то отримана розширена система сил буде задовольняти умовам рівноваги.

У цьому і полягає принцип Даламбера для матеріальної точки.

Помітимо, що сила інерції не відноситься до числа реально діючих

на точку сил, тобто сила інерції матеріальної

точки є фіктивною

силою. Вона необхідна для того щоб рівнянням динаміки

точки

надати форму рівнянь статики.

 

 

Розглянемо тепер механічну систему, на

точки якої

діють

зовнішні і внутрішні сили (мал.54), і додамо до цих сил сили інерції матеріальних точок

Jk = mk ak (k = 1,2,…,n).

У результаті виходить розширена система сил, що складає з підсистем {Fke , Fki , Jk }, у кожної з який головний вектор і головний

момент дорівнюють нулю. Отже, у всієї розширеної системи сил головний вектор і головний момент дорівнюють нулю:

n

 

(Fke + Fki + Jk ) = 0,

 

k=1

(181)

n

 

[m0 (Fke ) + m0 (Fki ) + m0 (Jk )] = 0.

 

k=1

 

Таким чином,

 

171

Називаються відповідно головним вектором і головним моментом
відносно полюса О сил інерції.
Тоді (181) може бути записане так
Re + Ru = 0,
(182)
M0e + M0u = 0. З (182) одержуємо
n
Ru = Jk ,
k=1

якщо до сил, що діють на механічну систему додати сили інерції точок системи, то отримана розширена система сил буде задовольняти умовам рівноваги.

У цьому і полягає принцип Даламбера для механічної системи.

§7. Головний вектор і головний момент сил інерції

Векторні величини

n

M0u = m0 (Jk ) .

k=1

Мал.54

 

Ru = Re.

 

З теореми про рух центра мас випливає, що Re = Mac . Тоді

 

Rи = Mac ,

 

(183)

тобто головний вектор сил інерції

точок механічної

системи

дорівнює добутку маси системи на прискорення її центра мас, узятому з протилежним знаком.

З другого рівняння (182) маємо

M u

= −M e . З теореми про зміну

 

 

 

0

 

 

0

кінетичного моменту випливає

M e

=

dL0

.

Отже,

 

 

 

0

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M u

= −

dL0

.

 

 

(184)

 

 

 

0

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, головний момент сил інерції точок механічної

системи відносно будь-якого полюса дорівнює геометричної похідної кінетичного моменту системи відносно цього полюса за часом, узятої з протилежним знаком.

172

Проектуючи рівність (184) на вісь z, одержуємо

M u

= −

dLz

.

(185)

 

z

 

dt

 

 

 

 

З'ясуємо до якого найпростішого виду приводяться сили інерції твердого тіла в різних випадках руху.

1.Поступальний рух. У цьому випадку тіло відносно центра

мас обертання не виконує. Тому LС = 0 і з (184) випливає M Cu = 0 . Згідно теоремі Пуансо (§3 глави III частини I) при поступальному русі сили інерції еквівалентні одній силі, рівної Mac і прикладеної в

центрі мас тіла.

2.Обертання навколо нерухомої осі z, що проходить через центр мас. У цьому випадку очевидно ac = 0, тобто Ru = 0. Вектор

MCu згідно (184) спрямований уздовж осі обертання і його проекція на

вісь обертання визначається за формулою (185). Якщо використовувати формулу Lz = Jz ω, то (185) приймає наступний вид

M zu = −J z ε ,

(186)

т.ч. при обертанні тіла навколо нерухомої осі, що проходить через

центр мас, сили інерції тіла еквівалентні парі, що лежить у площині, перпендикулярній осі, і момент якої дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на його кутове прискорення, узятому з протилежним знаком.

3. Плоскопаралельний рух тіла. Нехай тіло має площину П симетрії і рухається паралельно їй. Унаслідок симетрії головний вектор сил інерції паралельний площини П, а головний момент відносно центра мас перпендикулярний цієї площини. Якщо вибрати як центр приведення сил інерції центр мас тіла, то виявиться , що сили

інерції еквівалентні силі, прикладеної в центрі мас і рівної Mac , а

також парі сил, що лежить у площині симетрії і має момент рівний Jzε (вісь z проходить через центр мас перпендикулярно площини симетрії).

§8. Визначення динамічних реакцій

Продемонструємо застосування принципу Даламбера при рішенні

173

задач. Найбільше часто він використовується при визначенні динамічних реакцій.

Задача. Однорідний стержень АВ довжиною l і масою М прикріплений за допомогою шарніра А до вертикального вала, що

 

 

 

 

 

 

обертається

 

з

 

постійною

кутовою

 

 

 

 

 

 

швидкістю ω, що відповідає п оборотів у

 

 

 

 

 

 

хвилину (мал.55). Знайти натяг нитки BD ,

 

 

 

 

 

 

що утримує вал, якщо l =1м, М = 10 кг, п =

 

 

 

 

 

 

200 про/хв, α = 30о.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рішення.

 

Користаючись

принципом

 

 

 

 

 

 

Даламбера, приєднаємо до діючих на

 

 

 

 

 

 

стержень силам P, RB , RAx ,

RAy сили

 

 

 

 

 

 

інерції елементарних мас стержня (Рвага

 

 

 

 

 

 

стержня). Для елемента dξ стержня, що

 

 

 

 

 

 

знаходиться на відстані ξ від

точки А, сила

 

 

 

 

 

 

інерції дорівнює ρω2ξ sin α dξ (ρ – погонна

 

 

 

 

 

 

густина стержня, ρ = М / l), тобто вона

 

 

 

 

 

 

пропорційна першої ступені ξ. Рівнодіюча

 

 

 

 

 

 

Fu цих розподілених за лінійним

законом

 

 

 

 

Мал.55

 

 

паралельних сил прикладена

в

центрі ва-

 

 

 

 

 

 

 

ги трикутника АВЕ,

тобто

на

відстані

 

2

h =

2

l cos α від осі х.

За величиною ця рівнодіюча дорівнює го-

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ловному вектору сил інерції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

u

= R

u

= Mac = Mω

2. l

sin α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоска система сил P, RB , RAx ,

RAy , Fu задовольняє умовам

рівноваги, зокрема, сума

моментів сил відносно осі z , яка

перпендикулярна площини

креслення і проходить через точку А,

повинна бути дорівною нулю:

RB h Fu

 

2

h

 

P

l

sin α = 0,

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

відкіля знаходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

= M (

ω2l

 

sin α+

g

tg α) .

B

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

Помітимо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

=

πn

 

= 20,94 з1.

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді натяг нитки дорівнює:

174

T = RB = 759,4 Н,

що більше статичного натягу нитки (тобто, коли стержень не обертається) у 26,8 разів.

§9. Загальне рівняння динаміки (принцип ДаламбераЛагранжа)

Розглянемо механічну систему, підлеглу ідеальним, стаціонарним, геометричним, утримуючим зв'язкам. Відповідно до принципу Даламбера, якщо до діючих на цю систему активних сил Fk і реакціям зв'язків Rk додати сили інерції точок Jk , то отримана розширена система сил задовольняє умовам рівноваги. Відповідно до принципу можливих переміщень, такою умовою рівноваги є рівність нулю суми елементарних робіт розширеної системи активних сил (у їхнє число включаються і сили інерції) на будь-якому можливому переміщенні системи. Таким чином, у результаті спільного застосування принципу Даламбера і принципу можливих переміщень (принципу Лагранжа) одержуємо наступне твердження (принцип ДаламбераЛагранжа):

при русі механічної системи, підлеглої ідеальним, стаціонарним, геометричним, утримуючим зв'язкам, сума елементарних робіт активних сил, прикладених до точок системи, і сил інерції цих точок на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:

n

 

(Fk + Jk , δrk ) = 0 .

(187)

k=1

Рівняння (187) зветься загальним рівнянням динаміки.

Розглянемо приклад використання загального рівняння динаміки при рішенні задач.

Задача. На два однакових барабани радіуса r1 і масою т1 намотана мотузка так, як показано на мал.56. До одного з них прикладений обертаючий момент М, а інший жорстко скріплений з колесом радіуса r2 і масою т2 . На колесо намотана мотузка, до кінця якої підвішений вантаж масою т3 . Визначити кутове прискорення барабанів, а також натяг мотузки, намотаної на барабани, якщо r1 = 1 м, r2 = 2м, М = 2 кНм , т1 = 20 кг , т2 = 40 кг , т3 = 40 кг. Барабани і колесо вважати однорідними дисками, масою мотузок і тертям на осях зневажити.

Рішення. Додамо до сил, що діють на механічну систему, що склада ється з барабанів, колеса і вантажу, сили інерції барабанів, колеса і

175

вантажу. Оскільки барабани і колесо виконують обертання навколо

нерухомих осей О1 і О2, то сили инерції їхніх елементарних мас

зво-

дяться до пар сил

M u

і M u ,

 

1

2

напрямки яких показані на кресленні, а величини визначаються по формулах

M uj = J jε j = m j2rj2 ε ( j =1,2).

(188) (помітимо, що ε1 = ε2 = ε , оскільки радіуси барабанів, через які перекинена мотуз-

Мал.56 ка, однакові, колесо і бара бан з'єднані жорстко).

Величина сили інерції вантажу визначається за формулою

J3 = m3a3 ,

де а3 прискорення вантажу. Помітимо, що прискорення вантажу дорівнює дотичному прискоренню точки А на ободу колеса, тобто а3 = ε r2 . Таким чином,

J3 = ε m3 r2 .

(189)

Надамо системі можливе переміщення,

при якому барабани

повертаються на нескінченно малий кут δφ, а вантаж одержує нескінченно мале переміщення δ3. Очевидно,

δ3 = r2 δφ.

(190)

На підставі принципу ДаламбераЛагранжа сума елементарних робіт обертаючого моменту М , ваги вантажу Р3 , пара сил з

моментами M uj ( j = 1,2) і сили інерції вантажу J3 на вищевказаному можливому переміщенні повинна бути дорівнює нулю:

(M + 2M u + M u )δφ + (P J

3

3

= 0 .

(191)

1

2

3

 

 

 

Приймаючи в увагу (188) (190), записуємо (191) у наступному виді:

[M (m1r12 + m22r22 + m3 (g r2ε)r2 ]δφ = 0 ,

176

відкіля знаходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

ε =

 

m3 g r2 M

 

 

 

= 2,25 з2.

m r

2

+ (

m2

+ m

3

)r

2

 

 

 

 

 

 

1 1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо тепер розширену систему активних сил, прикладених до правого барабана: M , M1u ,T (Т натяг мотузки). Їхня елементарна робота на нескінченно малому повороті барабана дорівнює нулю

(T r1 M M1u )δφ = 0 . Звідси визначаємо

 

 

 

 

m r

2

 

 

 

u

 

M +

1 1

ε

 

 

2

 

T =

M + M1

=

 

 

 

= 222,5 Н.

r1

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

§10. Узагальнені координати

Незалежні параметри q1, q2, …,qs , однозначно визначаючі

положення механічної системи, називаються узагальненими координатами, а їхня кількість s числом ступенів волі системи.

Приклади.

1. Вільна матеріальна точка. Її положення однозначно визначається трьома координатами x,y,z, тобто

q1 = x, q2 = y, q3 = z, а число ступенів волі s = 3.

2.Матеріальна точка, що рухається уздовж поверхні.

Положення точки на поверхні визначається двома криволінійними координатами ξ і η (мал.57). Таким чином,

q1 = ξ, q2 = η, s = 2.

Мал.57

177

3.Матеріальна точка, що рухається уздовж лінії. У цьому

випадку положення точки визначається одним параметром натуральною координатою ξ (мал.58), тобто

q1 = ξ, s = 1.

Мал.58

Вищенаведені приклади є ілюстрацією наступного факту:

Теорема. Накладення на механічну систему т<s стаціонарних

геометричних утримуючих зв'язків зменшують число її ступенів

волі s на т одиниць.

Доказ. Якщо механічна система має s ступенів волі, то це означає, що її положення однозначно визначається s незалежними параметрами

qi (I = 1,2,…,s), тобто координати її

точок є функціями цих

параметрів

 

xk =xk (q1 ,q2 ,…,qs ) , yk =yk (q1 ,q2 ,…,qs ) , zk =zk (q1 ,q2 ,…,qs ),

(k = 1,2,…,n)

(192)

(п – число точок механічної системи).

 

Нехай тепер на систему накладено додатково т<s стаціонарних

геометричних утримуючих зв'язків

 

f1 (x1 , y1 , z1

,…, xn , yn , zn) = 0

 

f2 (x1 , y1 , z1

,…, xn , yn , zn) = 0

(193)

………………………………......

 

fm (x1 , y1 , z1 ,…,xn,yn,zn)=0

 

Підставивши рівності (192) у рівняння (193), одержимо

 

φ1 (q1 ,q2 ,…,qs ) = 0

 

φ2 (q1 ,q2 ,…,qs ) = 0

(194)

……………………

 

φm (q1

,q2 ,…,qs ) = 0

 

Рівності (194) можна розглядати як систему з т алгебраїчних рівнянь, за допомогою яких т з s параметрів q1,q2 ,…,qs можна виразити через

178

інші sт. Таким чином, незалежними залишаються тільки sт параметрів, а це й означає, що нове число ступенів волі s1 = sт, що і було потрібно довести.

4. Тіло, що має нерухому вісь обертання. У цьому випадку положення тіла визначається одним параметром кутовою координатою φ (див. §2 глави II частини II). Таким чином, для такого тіла

q1 = φ, s = 1.

5.Плоска фігура, що переміщається у своїй площині.

Уцьому випадку три незалежних параметри визначають

положення фігури (§1 глави IV частини II) координати х0А и у0А точки А плоскої фігури і кутова координата φ, що визначає положення плоскої фігури відносно осей х и у, що проходять через точку А (мал.59).

Таким чином, для плоскої фігури

q1 = х0А , q2 = y0А , q3 = φ,

число ступенів волі s = 3.

Мал.59

6. Тверде тіло, що має нерухому точку. Три незалежних параметри визначають положення такого тіла кути Эйлера θ, φ і ψ (§1 глави V частини II). Таким чином,

q1 = θ , q2 = φ , q3 = ψ, число ступенів волі s = 3.

Вільне тверде тіло. Шість незалежних параметрів визначають положення тіла в цьому випадку три координати точки А тіла і три

179

кути Эйлера, що визначають положення тіла відносно осей проходячих через цю точку (§4 глави V частини II). Таким чином,

q1 = х0А , q2 = y0А , q3 = z0А, q4 = θ , q5 = φ , q6 = ψ,

число ступенів волі s = 6.

§11. Узагальнені сили

Розглянемо механічну систему з s ступенями волі, що складається з п матеріальних точок М1, М2, …, Мп , на які діють сили F1, F2, …, Fп. Елементарна робота сил визначається за формулою

n

 

dA = (Fk , drk ) .

(195)

k=1

 

Положення точок системи, а виходить, і їхні

радіуси-вектори

визначаються значеннями узагальнених координат:

 

rk = rk (q1 ,q2 ,…,qs ) (k = 1,2,…,n).

(196)

Диференціали функцій (196) визначаються за формулами

drk = s rk dqi (k = 1,2,…,n)...

i=1 qi

Підставляючи їх у (195) і змінюючи місцями підсумовування по k і по I, будемо мати

s

n

 

 

rk

 

 

dA = dqi (Fk ,

) .

(197)

q

i

i=1

k=1

 

 

 

 

 

 

Уведемо позначення

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

rk

 

 

 

 

 

Qi = (Fk ,

 

) .

 

 

(198)

q

i

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

Тоді (197) запишеться так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

dA = Qi dqi

 

.

 

 

(199)

i=1

Величина Qi називається узагальненою силою, що відповідає узагальненій координаті qi (I = 1,2,…,s)... З формули (199) випливає,

що узагальнена сила Qi , що відповідає узагальненій координаті qi

це множник при елементарному збільшенні цієї узагальненої

180