big_doc_LKG

(3.5)

Функція є аналогічною кореляційній функції і визначає ступінь зв’язку між елементами рядків і стовпців вихідної табл. 3.2, де відображено реалізацій неперервного випадкового процесу в дискретні моменти часу (). Однак ця функція також характеризує випадковий процес, так як для кожної пари дискретних значень аргументів вона дорівнює коефіцієнту кореляції і .

Головна діагональ матриці нормованої кореляційної функції містить всі одиниці, а по аналогії з кореляційним моментом, матриця симетрична відносно цієї діагоналі. Матриця має наступний вигляд

. (3.6)

Після того як обчислені оцінки числових характеристик ,

, або для значень аргументу , , ..., , ..., , можна побудувати відповідні графіки. Всі ці функції у разі необхід-

ності можна апроксимувати відповідними аналітичними виразами.

Приклад 1. В табл. 3.3 наведені дані про щоденні обсяги поставок споживачам зі складу металопрокату трьох видів продукції (П1–П3) протягом тижня (Т = 5 робочих днів). Необхідно визначити числові характеристики цього випадкового процесу.

Розв’язок. Випадковий процес зводиться до системи трьох випадкових величин, що відповідають перерізам з інтервалом день, тобто , , , , . Обчислюємо імовірнісні характеристики процесу за формулами

(3.1) та (3.2).

суттєвих змін за перебігом часу. Такі випадкові процеси називаються стаціонарними. Прикладом стаціонарного випадкового процесу може бути кількість вантажів, що перевозиться транспортним засобом за одну їздку.

В протилежність стаціонарним, нестаціонарні випадкові процеси розвиваються у відповідності з певною тенденцією і суттєво змінюються у часі. Характеристики такого процесу залежать від вибору початку відліку часу.

Для більшості динамічних систем випадкові процеси починаються з

нестаціонарної стадії, яка надалі переходить у сталий режим, а

випадкові процеси, що відбуваються в ній, можна вважати стаціонарними. Прикладом нестаціонарного випадкового процесу є зміна відносних значень величини пасажиропотоку за часом протягом доби. Спочатку пасажиропотік зростає (t = 7 – 9 год.), потім дещо спадає (t = 9 – 10 год.), стабілізується (t = 10 –14 год.), збільшується (t = 15 – 18 год.), і , нарешті, спадає (t = 18 – 24 год.). Цей процес у деякому проміжку часу (наприклад, в інтервалі t = 10 – 14 год.) приблизно може бути прийнятим як стаціонарний.

Випадковий процес називається стаціонарним, якщо його

математичне очікування і дисперсія мають однакові значення у всіх точках числової осі, а кореляційна функція залежить тільки від величини інтервалу між двома точками і , і не залежить від його розташування на числовій осі, тобто

Так як , то єдиною суттєвою умовою стаціонарності є залежність кореляційної функції від інтервалу змінювання аргументів.

Таким чином, кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу залежить не від обох аргументів і , а тільки від різниці між ними , тобто є функцією не двох, а лише одного аргументу.

Кореляційна функція будь-якого випадкового процесу має властивість симетрії, тобто

Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу характеризує внутрішню структуру процесу у часовій області. Процес називається строго стаціонарним, якщо його властивості не залежать від моменту початку відліку. В термінах функцій розподілу це означає, що якщо усі моменти часу зсунути на один і той же інтервал часу , то спільна функція розподілу не змінюється, тобто

. (3.11)

Виходячи із умови стаціонарності, можна записати

.

Оскільки ми не фіксували величину , то можна зробити висновок, що для стаціонарного процесу функція розподілу буде постійною, тобто не буде залежати від часу. Позначимо її . Тоді стаціонарний процес має постійне середнє значення

(3.12)

і постійну дисперсію

. (3.13)

Все це виправдовує наявність стаціонарності стохастичного процесу, тобто це процес, який з постійною дисперсією флуктуює (коливається) навколо свого середнього значення.

3.2.2. Способи встановлення стаціонарності випадкового проце-

су. Випадковий процес може бути стаціонарним в середньому і в дисперсії. У деяких випадках перевірка стаціонарності функції розподілу не потрібна, так як просте зображення її на графіку показує, що функ-

ція або зростає, або спадає, або має коливання зі змінною амплі-

5. Ідентифікують властивості стаціонарності чи нестаціонарності: якщо значення укладаються в інтервал , тоді про-

цес вважається стаціонарним за середнім значенням ;

якщо всі значення укладаються в інтервал , тоді про-

цес вважають стаціонарним за дисперсією ;

якщо хоча б одне значення не укладається в інтервал ,

процес визначають як нестаціонарний, навіть якщо величина середнього арифметичного не змінюється в часі.

Спосіб 2. Вихідні дані представляються статистичними вибірка-

ми спостережень. В практиці досліджень використовуються декілька методів перевірки процесу на стаціонарність.

Безпосередня перевірка умов стаціонарності.

Для вибраних перерізів випадкового процесу розраховуються характеристики , , і перевіряється виконання умов стаціонарності (3.7) та (3.8).

Приклад 1. Досліджується процес доставки дрібнопартіонних вантажів з центральної матеріальної бази постачання. Щодобово (інтервал спостережень ) фіксувався обсяг поставок п`ятьом споживачам (кількість реалізацій) протягом діб. Результати спостережень представлені в табл. 3.5.

Таблиця 3.5 Експериментальні дані обсягу поставок за дев’ять діб поточного періоду

Розв’язок.

1. Обчислюємо оцінку математичного очікування . Для цього підсумовуємо значення, наведені в табл. 3.5, по стовпчиках і ділимо отриману суму на кількість реалізацій, тобто на 5. Отримані результати занесемо в табл. 3.6 і на її підставі побудуємо графік (рис. 3.5) величини .

2. Обчислюємо оцінку дисперсії . Щоб спростити обчислення оцінок дисперсії, виконаємо центрування випадкового процесу, тобто віднімемо від кожного елемента стовпчиків табл. 3.5 відповідне йому математичне очікування і отримані результати представимо в табл. 3.7.