10.2. Элементы классификаии задач стохастического программирования

Как уже отмечалось, стохастическим программированием называют раздел математического программирования, изучающий теорию и методы решения условных экстремальных задач в условиях риска при неполной информации о параметрах условий задачи. Значение показателя качества принимаемого решения зависит не только от управляемых переменных х=(х₁, х₂, …х_м), а и от ряда неуправляемых (случайных) параметров ω=( ω₁, ω₂, … ω_п).

Пусть для данного состояния экономической среды (возможного последствия) ωи выбранного решения хХ определена функция f(x, ω) из явного произведениямножества состояний среды и множества допустимых решений. Функция f(x, ω) для каждого хХ является случайной величиной (т.е. f(x, ω) – случайная функция). Следовательно, об оптимизации функции f(x, ω) говорят в вероятностном контексте, т.е. оценивают решение по одной или нескольким числовым характеристикам случайной функции f(x, ω).

Особый интерес представляет собой классификация задач стохастического программирования, возникающих в условиях риска и неопределенности по показателям качества (эффективности) решения задачи.

Естественно рассматривать следующие показатели качества решения стохастических задач (в частности, линейных):

1. математическое ожидание величины линейной формы;

2. линейная комбинация математического ожидания и дисперсии линейной формы;

3. вероятность превышения линейной формой определенного фиксированного порога;

4. математическое ожидание функции полезности линейной формы;

5. максиминимум линейной формы (причем, максимум берется из множества планов Х, а минимум – из допустимых значений ωнабора случайных параметров, определяющих реализацию случайных элементов условий задачи).

Задачи стохастического программирования подразделяются на статические и динамические.

В статических задачах стохастический характер условий определяется случайными величинами, в динамических – случайными функциями или случайными последовательностями. Закономерности изменения статических характеристик случайных последовательностей должны учитываться как в постановке задачи, так и при построении методов анализа.

Допустим, что в задаче (10.1.) – (10.3) векторы в и с, а также матрица А не фиксированные и могут изменяться случайно (в зависимости от состояния среды).

Тогда для того, чтобы задача (10.1.) – (10.3) имела смысл, необходимо ответить на следующие три вопроса:

1. Как понимать вектор Х – должен ли он быть случайным (т.е. каждому значению ω будет соответствовать свое решение f(ω), которое определяется стандартными правилами линейного программирования по с(ω), в(ω), А(ω)), или детерминированным , который не изменяется при случайных вариациях с, в, А,

2. Как понимать максимизацию целевой функции? Как максимизацию абсолютную, для всех ω, или максимизацию ее математического ожидания, или максимизацию некоторой другой ее вероятностной характеристики?

3. Как понимать выполнение ограничений (10.2)? Абсолютно для всех ω, или в среднем, или с допустимыми их нарушениями с малой вероятностью.

При решении этих вопросов приходится исходить не только из математического, но и из экономического содержания и других соображений, которыми необходимо руководствоваться при исследовании и моделировании систем с риском.

Постановка задач стохастического программирования, вытекающих при моделировании экономического риска, существенно зависит от того, есть ли возможность при выборе (принятии) решений уточнять состояние экономической среды определенными наблюдениями или нет. Так, когда осуществляется перспективное планирование, решение принимается перед тем, как будут выполнены наблюдения состояния среды (скажем, станут известными потребности), а потому решение будет детерминированным. В задачах оперативного или текущего планирования решения принимаются после определенных наблюдений (экспериментов) за состоянием экономической среды.