Тема 6. Теория полезности и принятия решений в условиях риска

6.1. Концепция полезности. Приоритеты и их числовое выражение.

Для задач принятия решений в условиях неопределенности и риска принцип оптимальности нередко принимает вид функции полезности.

Поскольку при наличии риска результаты решений зависят от случайных величин, для сравнения их эффективности необходимо уметь сравнивать функции распределения эффективности. В таком случае важное значение для принятия решений имеют результаты о свойствах функции полезности, которые исходят из того или иного набора свойств отношений приоритетности.

Результаты, которые касаются соотношений приоритетности по сути являются аксиоматическим выражением признаков оптимальности. Если какой-либо конкретный набор соотношений приоритетности недостаточен для определения индивидуального принципа оптимальности, то одновременно он может быть достаточным для определения их класса.

Полезность выражает степень удовлетворения, которое получает субъект от потребления товара или выполнения какого-либо действия. Полезность включает важный психологический компонент. Ведь люди достигают полезности, получая вещи, приносящие им удовлетворение. В экономическом плане полезность часто необходима для того, чтобы описать приоритет во время ранжировки наборов потребительских товаров и услуг. Если человек более удовлетворен покупкой нескольких книжек, чем покупкой рубашки, то говорят, что книги имеют для этого человека большую полезность, чем рубашка.

Обозначим соотношения «приоритетнее чем», «безразлично», «не хуже, чем» соответственно символами:

Приоритетнее, чем - >

Безразлично - ~

Не хуже, чем - ≥

Нестрогое соотношение приоритетности «не хуже, чем» является одним из основных простейших понятий. Записывается так:

х ≥ у (6.1)

где х, у – наборы товаров и услуг (точки пространства Х), означает, что определенный субъект (потребитель) считает для себя набор х или приоритетнее, чем набор у, или не разделяет их по качеству, т.е. х не хуже, чем у. Можно определить понятие безразличия строгой приоритетности в терминах нестрогого соотношения приоритетности: наборы товаров х и у безразличны (эквивалентны) для потребителя (х~у) тогда и лишь тогда, когда:

х > у и у > х (6.2)

В том случае, когда потребитель желает выбрать для себя х а не у, то х является приоритетнее у (записываем х > у), то это возможно тогда и только тогда, когда х не хуже, чем у, а у не хуже, чем х.

Т.е. х > у тогда и лишь тогда, когда:

х ≥ у и у≥ х. (6.3)

В дальнейшем будем считать, что нестрогое соотношение приоритетности удовлетворяет двум основным аксиомам.

Первая из них утверждает, что это соотношение является совершенной полуупорядоченностью в пространстве товаров Х. Соотношение называют совершенным, если для двух заданных наборов х, у из Х справедливо отношение

или х ≥ у, или у ≥ х. (6.4)

Это значит, что в пространстве товаров нет «белых пятен», в которых не существует приоритет. Соотношение называют частично упорядоченным, если оно транзитивно (переходно), т.е. для трех заданных наборов х, у и z из x, y, z X имеем:

если х ≥ у и у ≥ х, то х ≥ z, (6.5)

(соотношения (6.5) выражают совместимость приоритетов), и рефлексивно, т.е. для любого х Х

х ≥ х (6.6)

Этот факт вытекает из совершенства соотношения:

Первая основная аксиома, которая утверждает, что нестрогое соотношение приоритетности является совершенной частичной упорядоченностью объема товаров, означает, что соотношение безразличия является соотношением эквивалентности. Это означает, что оно транзитивно, поскольку при заданных x, y, z X, когда

x ~y и y ~ z , то x ~ z; (6.7)

рефлексивное, поскольку при заданном x X,

x ~х; (6.8)

симметрично, поскольку x, y X

x ~y означает у ~ х (6.9)

Для доказательства транзитивности положим, что x ~y и y ~ z, тогда по определению безразличия х ≥ у и y ≥ z, а также z ≥ у и у ≥ х. Тогда согласно транзитивности нестрогого соотношения приоритетности имеем:

х ≥ z и z ≥ х.

Как отношение эквивалентности соотношение безразличия разделяет объем товаров Х на классы эквивалентности – подмножества, которые попарно не пересекаются. Их называют множествами безразличия, каждое из которых состоит из всех наборов, безразличных к набору х:

Ix=(6.10)

Вторая аксиома утверждает, что нестрогое соотношение приоритетности непрерывно. Это означает: приоритетные множества, каждое из которых состоит из всех таких наборов, которые являются приоритетнее в сравнении с заданным набором Х или безразличными по отношению к нему:

Px=(6.11)

а также приоритетные множества, каждое из которых состоит из всех тех наборов, для которых заданный набор Х приоритетней или безразличен:

NPx=(6.12)

являются замкнутыми множествами объема товаров для какого либо х Х. Согласно с этой аксиомой оба множества содержат все граничные точки, причем для обоих множеств эти точки составляют множество безразличия Ix, что равняется сечению РхNPx.

Из этих основных аксиом совершенной нестрогой упорядоченности и непрерывности проистекает, что существует непрерывная действительная функция u(.), определенная на элементах множества Х. Эту функцию называют функцией полезности. Для нее

u(x) ≥ u(y) если x ≥y. (6.13)

Функция полезности ставит в соответствие каждому набору потребительских товаров определенное число таким образом, что когда набор А приоритетнее набора В (А > В), то число, которое соответствует набору А, будет бóльшим.

Для формулировки обобщенной теоремы существования необходим ряд определений и аксиом, в частности такое определение:

Подмножество А множества Х называют сплошным по упорядоченности x ≥y, если для каких-либо х, у найдется такое zА, что х>z>y.