Теорема существования функции полезности

Если строго упорядоченное множество бесконечно, то для существования функции полезности необходимо и достаточно, чтобы оно имело в себе плотно упорядоченное подмножество.

Возьмем луч в пространстве потребительских товаров, который проходит через начало координат. Возьмем за полезность определенного набора расстояние от начала координат до точки на луче, которая принадлежит тому самому множеству безразличия, что и весь выбранный набор. Естественно, если такая функция существует, то она не единственная. Например, за функцию полезности может послужить любая монотонная строго растущая функция расстояния вдоль луча и вообще, если u(x) является функцией полезности, то ею может быть и φ[u(x)], где φ – строго растущая функция φ’ >0. Значит

au(x)+b,

где а, в – константы (а>0), так же, как и e^u(x) могут быть функциями полезности. Выбор единицы измерения полезности естественен. Например, равные (значения) полезности, связаны с тремя наборами потребительских товаров и услуг А, В, с, могут быть отражены как 10, 5, 1 или как 3, 2, 1. Поскольку выбор может быть объяснен порядковым ранжированием уровней полезности, показатели 10, 5, 1 дают такую же информацию, что и показатели 3, 2, 1. Важно лишь их относительное ранжирование, которое задается после того, как выбрано множество значений функции полезности. Следовательно, составить функцию полезности можно с помощью какого-либо последовательного множества чисел, которому в соответствие поставлены множества безразличия так, что число, соответствующее «высшему» множеству безразличия (в направлении приоритетности), является бóльшим числа, которое соответствует «низшему» множеству. Такую функцию иногда называют порядковой функцией полезности, а значения, которые принимает эта функция, - порядковыми полезностями.

Нередки случаи, когда имеет смысл применять некоторые численные свойства функции полезности, в частности тогда, когда выбор осуществляется в условиях риска. В этом случае появляется концепция граничной полезности.

Граничная полезность измеряет дополнительное удовлетворение, которое получают от дополнительного количества товара. Например, граничная полезность, которая связана с ростом потребления от одной до пяти единиц еды, может равняться 10, от шести до десяти единиц – 5, а от одиннадцати до пятнадцати единиц – 3. Эти значения сочетаются с принципом снижения граничной полезности. С ростом потребления товара процесс дополнительного потребления дает все меньший и меньший прирост полезности. Например, при употреблении мороженого – граничная полезность снижается, после съедания двух или трех порций в день (и может стать отрицательной после некоторого бóльшего количества порций).

6.2. Полезность по фон-Нейману. Ожидаемая полезность

Подход фон Неймана-Моргенштерма базируется на общем использовании теории полезности и теории вероятностей и предназначен для количественного измерения полезности, которую называют кардинальной полезностью. Кардинальная полезность базируется на ординарной полезности, которая состоит в определении приоритетности векторов параметров без их количественной оценки.

Полезность согласно подходу фон Неймана-Моргенштерна базируется на аксиомах о вероятностной смеси наборов товаров. Результатом этого подхода является функция полезности, которая имеет определенные измеряемые свойства, используемые при решении проблем в условиях риска.

Основным понятием полезности по фон-Нейману является лотерея. Она определяется как множество наборов, каждый из которых можно получить с заданной вероятностью. Лотерея описывается вектором-рядом

L=(P₁, x₁: P2, x₂; ……P_s, x_s) (6.14)

И означает, что набор х₁ можно получить с определенной вероятностью Р₁; набор х₂ – с определенной вероятностью Р₂; … набор x_s - P_s, где

Ps>=0, S=(6.15)

Ожидаемая полезность является суммой полезностей, связанных со всеми возможными результатами, взвешенными по вероятности каждого результата. Согласно с теорией ожидаемой полезности субъект управления, принимающий решения в условиях неопределенности и риска, должен максимизировать математическое ожидание полезности результатов.