Тема 8. Принятие многоцелевых решений в условиях риска и неопределенности.

8.1. Неопределенность целей и компромиссы Парето.

Невзирая на трудности принятия решений, связанные с неопределенностью и риском, до сих пор рассматривались несколько упрощенные случаи, когда считалось, что избрав один критерий, по которому оценивается эффективность, остается только отыскать максимум (минимум) некоторого показателя эффективности. К сожалению, такие задачи встречаются не очень часто.

Рассмотрим пример. Организуется (или реорганизуется) деятельность некоторого предприятия. По какому критерию (функционалу) субъект управления должен выбирать решение? С одной стороны, желательно было бы максимизировать ожидаемый валовый объем продукции. Получить максимальный интегрированный дисконтированный (ожидаемый) доход и минимизировать ожидаемую себестоимость продукции. С другой стороны – очень желательно иметь минимальный риск, связанный с несовпадением плановых и реальных результатов. Такое множество показателей эффективности, один из которых желательно максимизировать, а другие сделать минимальными, является характерным для экономики. В этом и состоит основная проблема многокритериальности, неопределенности цели (целей).

Для того, чтобы свести задачу по принятию решений к стандартной задаче оптимизации, необходимо сформулировать дополнительные гипотезы, которые не исходят из условий задачи.

В многокритериальных задачах естественно пытаться отыскать способы сведения их к задачам с одним критерием. Ведь для однокритериальных задач существует ряд хорошо отработанных методов решения. Искомые способы, естественно, имеют неформальный характер, так как их невозможно получить как результат решения какой-либо строго сформулированной математической задачи.

Математический аппарат достаточно существенно помогает в решении прямых задач системного анализа. Он дает возможность, во-первых, для любого решения х Х отыскать значения показателя эффективности ω₁ ω₂ … ω_n ; во-вторых, уменьшить множество начальных вариантов, т.е. исключить с помощью неформального анализа те варианты решений, которые заведомо являются неприемлемыми.

Многокритериальный метод оптимизации был предложен итальянским экономистом В.Парето.

Допустим, найдено некоторое решение задачи, обозначим его через х^* и считаем, что существует другое решение , такое, что для всех параметров ω_i(x) выполняются неравенства

ω_i(x)>= ω_i(x^*), i=1…n, (8.1)

причем хотя бы одно из неравенств – строгое. Очевидно, что решение приоритетнее решения x^*. Потому все векторы x^*, которые удовлетворяют условию (8.1), следует исключить из последующего анализа, т.е. далее анализируются только те векторы x^*, для которых не существует такого х Х, чтобы выполнялось условие (8.1). Множество таких векторов x^* называют множеством Парето, а x^{* -} вектором решений, которые не улучшаются (вектором Парето). При этом из условия ω_i(x)>= ω_i(x^*), для любого i=1…n, вытекает, что f_i(x) = f_i(x^*).

Проиллюстрируем метод выделения паретовых решений на примере задачи с двумя критериями ω₁ и ω₂ (оба необходимо максимизировать):

ω₁ → max и ω₂ → max.

Тогда каждому допустимому значению х Х соответствует одна точка на плоскости (ω₁, ω₂) (рис. 8.1.), а также уравнение ω₁ = ω₁(х), ω₂ = ω₂(х), которые параметрически задают кривую abcd в этой плоскости.

ω₂ a

a^’ c

e

b d

ω₁

Рис. 8.1 К методу выделения Паретовых решений.

Но к множеству Парето можно отнести не все точки этой кривой. Отрезок bс, очевидно, не принадлежит множеству Парето, поскольку одновременно с ростом ω₁ возрастает и ω₂.На этом отрезке изменения вектора х одновременно возрастают обе целевые функции, следовательно, такие варианты решений необходимо исключать из дальнейшего рассмотрения.

Необходимо также исключить отрезок а’b, поскольку для каждой из ее точек е найдется точка, которая принадлежит отрезку cd, где значения обеих функций ω₁(х) и ω₂(х) являются бóльшими, чем в точке е. Следовательно, претендовать на принадлежность к множеству Парето могут только отрезки аа’ и cd, причем, точку а’ также следует исключить.

Принцип Парето не выделяет единого решения. Он только лишь сужает множество альтернатив, выделяя эффективные решения. Последний выбор остается за субъектом управления, его задача – выбрать приоритетнейший вариант.

Аналогично строят множество эффективных решений и в случае, когда критериев больше двух.