7.2. Критерии принятия решений при известном распределении априорных вероятностей

Речь идет о первой информационной ситуации. Эта ситуация является наиболее распространенной в практике принятия решений в условиях риска. При этом достаточно эффективно используются конструктивные методы теории вероятностей и математической статистики.

Основные критерии принятия решений в этой ситуации следующие.

Критерий Байеса. Суть критерия – максимизация математического ожидания функционала оценивания. Название критерия связано с превращением формул априорных вероятностей в апостериорные (апостериорный – вытекающий из опыта). Критерий Байеса также называют критерием средних (ожидаемых) затрат (критерием риска).

Согласно критерию Байеса оптимальным решением задачи (или множеством решений) считаются такие, для которых математическое ожидание функционала оценивания достигает максимально возможного значения. Если максимум достигается при нескольких решениях, то они признаются эквивалентными. Этот критерий тесно связан с аксиомами теории полезности (аксиома фон Неймана-Моргенштерна), в которой суммарная (ожидаемая) полезность определяется как математическое ожидание отдельных результатов.

Критерий минимума дисперсии функционала оценивания. Для каждого решения хХ определяем среднее значение функционала оценивания и дисперсию. Дисперсия характеризует величину риска, разброс случайной величины значения функционала оценивания. Суть критерия минимизации дисперсии состоит в нахождении такого решения, для которого дисперсия (разброс) была бы минимальной.

Недостатком критерия является то, что дисперсия при х₁ может быть меньшей, чем при х₂, что еще не гарантирует общего минимума риска для двух решений.

Критерий Бернулли-Лапласа. В основу этого критерия положен известный «принцип недостаточности оснований» (впервые был сформулирован Бернулли): если нет данных для того, чтобы считать какое-либо состояние среды из множества вероятнейшим по сравнению с любым другим состоянием этой среды, то априорные вероятности существования обоих состояний необходимо считать равными.

Критерий Бернулли-Лапласа, базирующийся на использовании положений критерия Байеса и принципа недостаточности оснований, формулируется так: возможные состояния рассматриваются как равновероятные, если нет никаких данных об условиях, когда каждое состояние может наступить.

Принцип максимума Гиббса-Джейнса. Согласно с этим принципом наихарактернейшими распределениями вероятностей состояния неопределенной среды являются такие, которые максимизируют избранную меру неопределенности при известной информации о поведении среды.

Здесь используется формализм определения неизвестных с помощью законов распределения случайной величины при наличии ограничений по условиям максимума энтропии Шеннона (энтропия Шеннона в отличие от энтропии Клаузиуса в физике является известной мерой неопределенности). Формализм Джейнса постулирует: менее сомнительным распределением вероятностей будет такое, которое максимизирует неопределенность с учетом всей наличной информации.

Существенным преимуществом принципа максимальной неопределенности Гиббса-Джейнса является то. что он дает возможность субъекту управления налагать ограничения на распределение априорных вероятностей состояния среды, например, в форме задания средних значений функционала оценивания и дисперсией (риска).