Тема 10. Экономический риск в стохастических моделях оптимизации

10.1. Общие положения

Будем рассматривать экономический риск, обусловленный неопределенностью такого вида, когда неизвестные факторы ω представляют собой обычные объекты изучения теории вероятностей – случайные величины (или случайные функции), стохастические (стохастический – от греч. stochastikus – умеющий угадывать – случайный, вероятностный) характеристики которых нам известны или могут быть найдены. Такие задачи называют стохастическими, а присущую им неопределенность – стохастической.

Рассмотрим следующий пример стохастической задачи принятия решений в условиях риска.

Допустим, в новом жилом районе города необходимо открыть новую парикмахерскую. Точно неизвестно, какое количество людей посетит ее за день, когда и в какое время люди будут приходить, какие услуги будут заказывать (прически, стрижки, бритье), сколько времени понадобится на обслуживание каждого клиента и т.д. Но характеристики этих случайных величин, если они нам неизвестны, могут быть найдены обработкой статистических данных.

Риск возникает тогда, когда принимается решение и есть неуверенность в том, что оно приведет к удовлетворительному результату.

Риск возникает тогда, когда принимается решение и есть неуверенность в том, что оно приведет к удовлетворительному результату.

Наличие стохастической неопределенности вносит в планирование и принятие экономических решений элементы риска.

Так, например, для предприятий, которые работают на рынок, определение внутреннего плана (программы) сопровождается, как правило, заключением контрактов с оптовыми потребителями, причем, нарушение контракта приводит не только к явно выраженным экономическим последствиям для предприятия (корпорации) в виде штрафов, а и к непрямым последствиям, именуемым «потеря интереса и приоритетности у потребителя». Всегда наблюдается две тенденции, противоречащие одна другой: с одной стороны, стремление к увеличению объема обязательств, т.е. к увеличению валового объема запрограммированной продукции или прибыли, а с другой – риск невыполнения обязательства в течение планового периода из-за противоречащих внутренних и внешних обстоятельств.

Некоторая математическая формализация риска в процедурах принятия решения была предложена еще в 50-е годы. В ряде работ рассматриваются задачи стохастического программирования и его предмета. Стохастическим программированием называют раздел математического программирования, изучающего теорию и методы решения условных экстремальных задач при неполной информации о параметрах условий задачи.

Предметом являются условные экстремальные задачи, в которых параметры условий и составляющие решений или обе эти характеристики одновременно являются случайными величинами ω.

Как указывается во многих исследованиях, в стохастическом программировании больше, чем в других разделах математического программирования, значительные трудности подстерегают исследователя не только (и не столько) при разработке методов решения задач, а и при формулировке постановки задачи, где следует отразить особые ситуации планирования и экономического управления в условиях риска и неопределенности.

Пусть неизвестные факторы ω представляют собой случайные величины с некоторыми, в принципе известными, вероятностными характеристиками – законами распределения, математическими ожиданиями, дисперсиями и т.д. Тогда показатель эффективности (обозначим его через f) зависимый от этих факторов f= f(ω), также будет случайное величиной. Максимизировать (минимизировать) случайную величину невозможно: при любом решении она остается случайной, неконтролируемой.

Постановка задач стохастического программирования существенно зависит от целевых позиций и информационной структуры задачи.

Одна из постановок задачи экономического управления (в частности, планирования в условиях неопределенности и риска) состоит в следующем.

Пусть вектор Х означает возможные решения (альтернативные) из некоторого априорно допустимого множества Х. Рациональный выбор решений осуществляют, исходя из последствий, к которым приводят эти решения. Но последствия решения зависят не только от избранного вектора хХ, а также от некоторых случайных факторов (параметров), которые формируют ω. Значения ω заранее неизвестны. Считают, что известно множество Ώ, которому принадлежит вектор ω. Что касается распределения величины ω в множестве Ώ, то здесь могут быть различные гипотезы. В наилучшем случае, как уже отмечалось, известен точный закон распределения ω, в наихудшем – лишь, что ωΏ. Связь между решениями х и последствиями записывают в виде функциональной зависимости, которую называют моделью.

Модулями могут быть алгебраические соотношения со случайными параметрами, стохастические дифференциальные уравнения, марковские процессы и другие стохастические модели.

Поскольку параметры модели являются неопределенными или случайными, то каждому х соответствует вектор-функция . Обобщенно все последствия можно охарактеризовать убытками, выигрышем и т.п. Больше того, что в дальнейшем упростить задачу принятия экономических решений, считают, что последствия решения характеризуются единой функцией затрат-выигрыша. Обозначим ее f(x, ω) (эта функция характеризует эффективность плана). В общем случае эта функция может быть нелинейной и даже прерывной.

Сформулированная задача была рассмотрена в предыдущих разделах в игровом аспекте, где значения вектора х истолковывались как стратегии субъекта управления, а ω(Θ) – как состояние внешней экономической среды.

Кроме неопределенности входной информации (которую иногда называют неопределенностью первого рода) модели экономического управления и планирования содержат и такую неопределенность, которая связана с невозможностью учета всех экономических и неэкономических факторов, влияющих на выполнение экономических планов. Ее называют неопределенностью второго рода. Она порождает неточность в формировании самой модели, неадекватность ее действительному положению дел.

Пусть, например, в задаче объемного внутризаводского планирования все входные данные добыты с надлежащей точностью. Задача описывается моделью вида:

f(x)=cx → max, (10.1)

Ax <=b, (10.2)

x>=0. (10.3)

Решив задачу (10.1) – (10.3) одним из методов линейного программирования (симплекс-методом), получим оптимальный план. Но часто бывает так, что фактическое исполнение плана, как это показано в предыдущем разделе, отклоняется от расчетного с помощью модели (10.1) – (10.3).

В общем говоря, отклонение от оптимального плана будет иметь случайный характер.

И если это пытаются учесть заранее, то параметры, которые входят в оптимизационную модель, надо было бы рассматривать как случайные. Это легко приводит к неопределенности входной информации. Действительно, отклонения реальных значений плана от расчетных можно описать с помощью случайных сомножителей ω, рассматривая ω, х как действительные переменные. В результате подстановки получим модель с детерминированными переменными, но случайной матрицей ограничений А(ω) и коэффициентами целевой функции с(ω). То есть, неопределенность второго рода формально можно свести к неопределенности перового рода, после чего теми или иными методами учета неопределенности и риска разработать план, который (по нашему мнению) будет наилучшим. Но в этих условиях также необходимо учитывать хотя бы приближенные границы состояний экономической среды.