Фізика коливань

1.Коливальний рух

1.1.Основні поняття

Коливання — це рух або зміна стану, що має той чи інший ступінь повторюваності в часі (рис. 263, а, б).

Рис. 263

Коливальний рух здійснюють маятники годинників, мембрани телефонів, поршні двигунів внутрішнього згоряння тощо.

282

1. Коливальний рух

Періодичні коливання — це коливання, при яких значення фізичної величини повторюються через однакові проміжки часу. Період коливання (T) — це проміжок часу, протягом якого тіло здійснює повне коливання, тобто повторюються значення всіх величин, які характеризують коливальний рух.

[T] = 1 с.

Частота коливання (ν)— це число повних коливань за одиницю часу.

ν = T1 , [ν] = 1с =1 Гц (герц).

Циклічна (колова) частота (ω) — це число повних коли-

вань за 2π одиниць часу:

ω=2πν = 2Tπ , [ω] = 1с .

1.2.Гармонічні коливання

1.2.1. Рівняння гармонічних коливань

При гармонічних коливаннях зміна коливальної величини з часом відбувається за законом синуса чи косинуса

(рис. 264):

x= xmax sin(ωt +ϕ0 ) ,

x= xmax cos(ωt +ϕ0 ) ,

де x — миттєве значення коливальної величини (зміщення від положення рівноваги);

xmax — максимальне значення коливальної величини або

амплітуди коливання (A);

ωt — фаза коливання. Це кутова величина, яка визначає частку періоду (в градусах чи радіанах), що минула від початку коливання: при описі коливання через синус — від найближчого моменту, коли величина мала нульове значення; при описі коливання через косинус — від найближчого моменту, коли величина мала максимальне значення:

ωt =2πνt = 2Tπ t , ωt = Tt 2π ;

283

Фізика коливань

ϕ0 — початкова фаза, тобто значення фази коливання в момент початку відліку часу (t0).

Вільні коливання зручніше описувати функцією коси-

нуса, оскільки cos 0° = 1.

Вимушені коливання зручніше описувати функцією синуса, оскільки sin 0° = 0:

x = xmax sinωt .

Швидкість гармонічних коливань — перша похідна ко-

ординати за часом:

vmax = xmaxω.

Прискорення гармонічних коливань — перша похідна швидкості за часом, друга похідна координати за часом:

a =vt′ = xt′′,

a = xmaxω2 sin(ωt + π) = −xmaxω2 sinωt , a = −ω2x .

Гармонічне коливання — таке коливання, прискорення якого пропорційне величині зміщення x і має протилежний

йому напрям:

a = –ω2x

284

1. Коливальний рух

Загальна закономірність: якщо якась величина зміню-

ється за законом синуса чи косинуса, то швидкість її зміни відбувається за тим самим законом, але з амплітудою (мак-

симальним значенням) у ω разів більшою і з фазою на π

більшою.

2

Сила, що зумовлює гармонічні коливання, пря-

мо пропорційна абсолютному зміщенню тіла від положення рівноваги і напрямлена протилежно зміщенню:

F =ma , Fx = −mω2x .

1.2.2. Вільні коливання маятників

Пружинний маятник — коливальна система, в якій коливання відбуваються під впливом сил пружності в межах пружності тіла (пружини) (рис. 265):

Fпружx = −kx , ax = − mk x .

Рис. 265

Період вільних коливань пружинного маятника:

Перетворення енергії при коливаннях пружинного маятника: енергія пружної деформації перетворюється в кінетичну енергію:

Математичний маятник — це матеріальна точка, яка підвішена­ на невагомій нерозтяжній нитці­ .

285

Фізика коливань

Коливання математичного маятника відбуваються­ під дією тангенціальної складової сили тяжіння (рис. 266):

FTx = mgl x ,

ax = − gl x .

При малих кутах коливання гармонічні.

Рис. 266

Період вільних коливань математичного маятника:

При малих кутах відхилення період коливання математичного маятника не залежить від амплітуди­ (ізохронність коливань).

Перетворення енергії при коливаннях математичного маятника: потенціальна енергія тіла перетворюється в кіне-

тичну енергію (рис. 267, а):

286

1. Коливальний рух

Фізичний маятник — це будь-яке тіло, здатне вільно обертатись навколо нерухомої горизонтальної осі, яка не проходить через його центр тяжіння (рис. 267, б).

При невеликих кутах відхилення від положення рівноваги він здійснює гармонічні коливання подібно до матема-

тичного маятника.

Зведеною довжиною (lзв) фізичного маятника нази­ вають довжину такого математичного маятника, який має такий самий період коливань, як і даний фізичний маятник.

Рис. 267

Період коливання фізичного маятника:

де Ji — момент інерції тіла.

Коливання фізичного маятника згасаючі, оскільки в реальних умовах завжди діють сили тертя; частина механіч-

ної енергії переходить у теплову при кожному коливанні. Згасання коливань — це зменшення їхньої амплітуди

і збільшення періоду коливань (негармонічні­ коливання) (рис. 268).

287

Фізика коливань

x

t

Рис. 268

1.3.Приклади розв’язання задач

Задача 1.

Вантаж масою 400 г здійснює коливання на пружині з жорсткістю 250 Н/м. Амплітуда коливань 15 см. Знайти повну механічну енергію коливань і найбільшу швидкість руху вантажу. Тертям знехтувати.

Розв’язання:

Згідно із законом збереження механічної енергії

Eмех = Eпmax = Eкmax ,

За означенням

Звідси

288

Eмех=Eп max ≈2,8 Дж.

Відповідь: vmax ≈3,8 м/с, Eмех ≈2,8 Дж.

швидкість та прискорення в момент часу 0,05 с. У який момент часу прискорення буде максимальним?

Формула зв’язку циклічної частоти з періодом дозволяє визначити період коливань:

289

Фізика коливань

T = 2ωπ ;  T = 202ππ c = 0,1 с.

Із формули T = 1ν визначимо: ν = T1 = 0,11с = 10 Гц.

2) Для визначення зміщення тіла від положення рівноваги необхідно в дане рівняння підставити значення часу t1 = 0,05 с:

Фазу коливань в момент часу t1 = 0,05 с знаходимо за формулою

ϕ = ωt + ϕ0; ϕ =20π 0,05+ 3π = 43 π.

Швидкість в момент часу t1 = 0,05 с знаходимо як першу похідну координати за часом:

v = xt′ = −Aωsin(ωt +ϕ0 ) .

Виконавши підстановку значень A, ω, t1, ϕ0, отримаємо:

Прискорення в момент часу t1 =0,05 с знаходимо як першу похідну швидкості за часом:

a = −Aω2 cos(ωt1 +ϕ0 ) =

cos(ωt2 +ϕ0 ) =1.

Розв’яжемо рівняння відносно t2:

290

t2 = 0,083 с = 83 мс.

Задача 3.

Заграфікомгармонічнихколивань,поданимнарис. 269, записати рівняння цього коливання. Знайти швидкість точки в момент часу, коли зміщення дорівнює 0,05 м.

Розв’язання:

Запишемо в загальному вигляді рівняння гармонічних коливань

x = Asinωt .

За графіком визначимо амплітуду A, період T, початкову фазу коливань ϕ0:

xм = A =0,1 м, T = 0,4 с.

Обчислимо циклічну частоту коливань:

ω= 2Tπ = 0,42π =5π 1с .

Тоді отримаємо рівняння гармонічного коливання, поданого на рис. 269:

x =0,1sin5πt .

Рис. 269

291