1. Елементи кінематики

Найпростішою формою руху матерії є механічних рух, що полягає в переміщенні тіл чи їх частин одна відносно іншої у просторі із часом.

Механіка – це розділ фізики, що вивчає закономірності механічного руху тіл. При цьому під механічною дією розуміють таку взаємодію з боку інших тіл, яка призводить до зміни стану механічного руху даного тіла або до його деформації.

Розвиток механіки, як науки починається з III ст. до н. е., коли древньогрецький вчений Архімед (287—212 до н. е.) сформулював закон рівноваги важеля і закони рівноваги плаваючих тіл. Основні закони механіки встановлені італійським фізиком і астрономом Г. Галілеєм (1564 – 1642) і остаточно сформульовані англійським ученим І. Ньютоном (1643 – 1727), тому механіку макроскопічних тіл, що рухаються з малими швидкостями (в порівнянні із швидкістю світла у вакуумі c = 3∙10⁸ м/с), називають класичною, або ньютонівською механікою. Релятивістська механіка вивчає рух тіл із швидкістю, що наближається до швидкості світла. Вона базується на спеціальній теорії відносності А. Ейнштейна. Механіку мікросвіту – світу атомів, молекул, електронів тощо – вивчає квантова фізика.

Механіка поділяється на три розділи:

Кінематика ­– це розділ механіки, в якому досліджується механічний рух тіл, не розглядаючи причини, що цей рух зумовлюють.

Динаміка ­– це розділ механіки, в якому досліджуються причини, які викликають чи змінюють механічний рух тіл.

Статика ­– це це розділ механіки, в якому досліджуються закони рівноваги системи тіл. Якщо відомі закони руху тіл, то із них можна встановити і закони рівноваги. Тому закони статики окремо від законів динаміки фізика не розглядає.

Для опису механічного руху тіл в залежності від умов конкретної задачі, механіка використовує різні фізичні моделі. Найпростішою моделлю є матеріальна точка – це тіло, що характеризується масою і розмірами якого в даній задачі можна знехтувати. Поняття матеріальної точки – абстрактне, але його введення полегшує розв’язок практичних задач. Наприклад, вивчаючи рух планет по орбітах навколо Сонця, можна прийняти їх за матеріальні точки.

Структура курсу механіки виглядає наступним чином: спочатку вивчають рух однієї матеріальної точки, далі переходять до вивчення руху системи матеріальних точок.

Рух тіл відбувається у просторі і у часі. Тому для опису руху матеріальної точки необхідно знати, в яких місцях простору ця точка знаходилась і в які моменти часу вона проходила те чи інше положення. Положення матеріальної точки визначається по відношенню до якого-небудь іншого, довільно вибраного тіла, що називається тілом відліку. Звичайно із тілом відліку пов’язують деяку систему координат: декартову (рис.1.3, а), циліндричну (рис.1.3, б), сферичну (рис.1.3, в).

Сукупність просторової системи координат, зв’язаної з тілом відліку, і синхронізованих годинників називаєтьсясистемою відліку. Найчастіше використовується декартова система координат, тому у майбутньому для опису руху ми користуватися саме нею.

1.1.1.Векторні характеристикимеханічного руху– переміщення, шлях, швидкіст та прискорення

Розглянемо різні способи визначення положення точки.

Перший - векторний спосіб опису руху.

У деяких задачах цей спосіб є найбільш раціональним. За цим способом положення точки у просторі визначається радіусом-вектором , проведеним із початку координат до точки (рис. 1.4,а):

. (1.1)

Залежність радіус-вектора точки від часу називається кінематичним рівнянням руху. Лінія, яку описує кінець радіус-вектора разом із матеріальною точкою у просторі, називається траєкторією руху. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний та криволінійний рух. Зауважимо, що форма траєкторії руху точки істотно залежить від вибору системи відліку. Наприклад, у системі відліку, пов’язаній із Сонцем, траєкторії руху планет мають форму еліпсів; у системі відліку, пов’язаній із Землею, їхні траєкторії ускладнюються і нагадують петлеподібні рухи. Точка пропелера рухомого літака з погляду пілота перебуває в коловому русі; в системі відліку, пов’язаній з Землею, її траєкторія має гвинтоподібну форму. До вибору системи відліку треба підходити з урахуванням простоти і зручності опису в ній руху матеріальної точки. Сумарна довжина елементів траєкторії, пройдена точкою за заданий проміжок часу, називається шляхом ΔS.

Рух точки за час визначаєтьсявектором переміщення (рис. 1.4,а) Цей вектор чисельно дорівнює довжині відрізка прямої, що сполучає початкове і кінцеве положення точки через час і визначається як. У разі кількох послідовних переміщень точки сумарний вектор переміщення знаходять за правилом додавання векторів (рис. 1.4,б).

Такі величини, як переміщення, швидкість, прискорення, сила та інші, що задаються числовим значенням і напрямом та додаються за правилом паралелограма, називаютьсявекторними. Величини, для визначення яких досить тільки числового значення, називаються скалярними (скалярами). Такими, наприклад, є час, шлях, маса.

Найважливішою кінематичною характеристикою руху є швидкість.

На практиці в описах рухів часто задовольняються середньою швидкістю, що дорівнює шляху, пройденому за одиницю часу, тобто:

. (1.2)

Середня швидкість не дає чіткої інформації про рух тіла, а тому для точного опису руху вводиться поняття миттєвої швидкості. Миттєвою швидкістю називається векторна величина, що визначається рівністю

, (1.3)

Оскільки рух тіла можна уявити як сукупність миттєвих перебувань його в послідовних точках траєкторії, то миттєва швидкість характеризує швидкість тіла в кожний момент часу або в кожній точці його траєкторії. Таким чином, миттєва швидкість – це похідна від радіус-вектора по часу.

Одиницею вимірювання швидкості в СІ є метр за секунду (м/с); на практиці широко користуються кілометром за годину (км/год), у морській справі - вузлом (1 вузол = 1 морська миля/год = 1,853 км/год), у реактивній авіації числом М (1 М ≈ 1200 км/год).

Із визначення випливає, що швидкість завжди спрямована по дотичній до траєкторії (рис.1.4, а). У міру зменшення t шлях s все більше буде наближатися до , тому модуль миттєвої швидкості

(1.4)

де s – шлях, пройдений вздовж траєкторії. Таким чином, модуль миттєвої швидкості рівний першій похідній шляху по часу.

У змінному русі швидкість може змінюватися і за значенням, і за напрямом. Повну зміну швидкості за час Δt знаходять за векторною різницею (рис. 1.4, а):

Для оцінювання зміни швидкості в часі введено фізичну величину, що називається прискоренням. У певний момент часу або в заданій точці траєкторії прискорення є границею відношення вектора зміни швидкості до відповідного проміжку часу:

, . (1.5)

Таким чином, прискорення є першою похідною від швидкості тіла за часом, або друга похідна від радіус-вектора за часом Про напрямок вектора і його величину мова піде пізніше.

Отже, знаючи кінематичне рівняння руху, можна простим диференціюванням за часом знайти швидкість і прискорення в будь-який момент часу (так звана пряма задача кінематики). Навпаки, знаючи прискорення точки, а також початкові умови, тобто положення і швидкістьв початковий момент часу, можна знайти траєкторію руху точки(обернена задача кінематики). Дійсно, із формул (1.5) і (1.3) випливає, щоі, тоді:

(1.6)

(1.7)

Другий - координатний спосіб опису руху

Якщо з тілом відліку жорстоко пов’язати яку-небудь координатну систему (наприклад, декартову), то положення точки в будь-який момент часу визначається трьома її координатами: x, y, z.

Проектуючи радіус-вектор на координатні осі, отримаємо три залежності координат точки від часу

; ;, (1.8)

які є кінематичними рівняннями руху в координатній формі. За цими функціями для будь-якого моменту часу можна обчислити координати точки і знайти її положення. Рівняння (1.8) по суті є рівнянням траєкторії у параметричній формі. Щоб знайти рівняння траєкторії у явному вигляді, треба у системі (1.8) виключити час (тобто знайти зв’язок між координатами в довільний момент часу).

Між векторним та координатним способами опису руху точки існує безпосередній зв’язок, а саме:

- числові значення проекцій радіуса-вектора рухомої точки на координатні осі системи з тим самим початком відліку дорівнюють координатам точки, тобто:

, , . (1.9)

Іншими словами, радіус-вектор можна задати через координати точки (рис. 1.5), тобто:

, (1.10)

де –орти (одиничні вектори, напрямлені вздовж відповідних координатних осей). Звідси зараз же випливає принцип незалежності рухів: довільний рух точки можна розглядати як суму незалежних рухів по координатних осях x, y, z ;

– траєкторією руху точки є годограф радіуса-вектора (крива, яку описує кінець вектора на рисунку 1.4, а). Рівняння (1.8) є рівнянням годографа;

– вектор переміщення виражається через відповідні зміни координат рухомої точки, тобто:

.

Як було сказано вище, при → 0 вектор переміщеннязбігається з відповідним елементом траєкторії, проте для довільного проміжку часу модуль кінцевого вектора переміщення і довжина пройденого шляху взагалі величини різні. Наприклад, модуль переміщення Землі відносно Сонця як системи відліку через півроку дорівнює діаметру орбіти, а через рік – нулю, тоді як пройдений шлях відповідно дорівнюватиме половині довжини й довжині орбіти.

Вектори швидкості та прискорення можуть бути вираженими у проекціях на координатні осі:

, (1.11)

(1.12)

де проекції швидкості і прискорення точки на координатні осі знаходять так:

(1.13)

(1.14)

а модулі векторів знаходять за формулою:

(1.15)

(1.16)

Елементарний пройдений шлях при координатному заданні руху визначається:

або

;

. (1.17)

Звідси увесь шлях знайдемо шляхом інтегрування:

(1.18)

де константа С знаходиться з початкових умов.

Таким чином, у кінематиці розв’язують задачі двох типів: на знаходження прискорення, коли відомо функції ;;або, і на відшукання цих функцій, коли відомі прискорення.

Задачі першого типу розв’язують методом диференціювання, другого – методом інтегрування. Наприклад, для випадку рівномірно прискореного руху, що відбувається в напрямі осі Ох, () з виразудістаємо:

,

звідки інтегруванням знаходимо відомі вирази для швидкості та координати:

; та ,

де та– сталі інтегрування. Вони визначаються з початкових умов, а саме: при= 0 маємота. Тоді рівняння швидкості та координати буде:

(1.19)

(1.20)

Отже, для розв’язання кінематичних задач, окрім прискорення, мають бути задані початкові умови, тобто координати початкового положення точки (,,) і початкова швидкість її руху(,,).

Розглянемо більш детально напрям вектора прискорення.

Як випливає із (1.5) прискорення – це вектор, який за напрямом збігається з вектором при→ 0. Зазначимо, що вектор приросту швидкостіможе не збігатися з вектором самої швидкості, тому вектор прискорення взагалі не збігається з напрямом вектора швидкості.

У випадку криволінійного руху швидкість може змінюватись не лише за величиною, але й за напрямком (рис. 1.6). Розкладемо вектор приросту швидкості так: , де доданоквідповідає за зміну вектора швидкості лише за модулем, а– лише за напрямком. Тоді повне прискорення можна записати:

. (1.21)

Перший доданок називаєтьсятангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості з часом за величиною (рис. 1.6) і визначається за формулою:

; (1.22)

Вектор можна записати як, де– орт дотичної до траєкторії, напрямлений у ту саму сторону, що і вектор швидкості. Тоді тангенціальне прискорення:

. (1.23)

Модуль тангенціального прискорення визначається:

(1.24)

Якщо (швидкість зростає за величиною), то векторнапрямлений уздовж дотичної у то ж сторону, що і швидкість, тобтоЯкщо ж(швидкість із плином часу зменшується), вектоританапрямлені у протилежні сторони, тобто. При рівномірному русі, і отже тангенціального прискорення немає.

Другий доданок у формулі (1.21) називається нормальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком (рис. 1.6) і визначається за формулою:

. (1.25)

Знайдемо модуль нормального прискорення . Як видно з рисунку 1.6(де). Довжина дугиABдорівноє:. Тоді, де– радіус кривизни траєкторії. У граничному випадку, коли, т.Внаближається до т.А. Звідси:

(1.26)

Формула (1.26) визначає модуль нормального прискорення.

Встановимо напрям вектора . Як видно з рисунку 1.6, при. Тоді з рівнобедреного ΔАСD слідує, що АСD=АDС ≈ 0. Таким чином вектор перпендикулярний до швидкості, а отже –напрямлений до центра кривизни траєкторії в даній точці.

Повне прискорення є векторною сумою тангенціального і нормального прискорень:

(1.27)

Знаючи тангенціальне та нормальне прискорення, можна знайти модуль і напрямповного прискорення в заданій точці траєкторії за теоремою Піфагора, оскільки кут між векторами тазавжди 90^о (рис. 1.7):

; . (1.28)

Тангенціальне і нормальне прискорення можуть бути використані для класифікації різних рухів, наприклад:

1) = const – рівнозмінний рух;

2) – рівномірний криволінійний рух;

3) ,= const – рівномірний рух по колу і тощо.