Механіка

Архімедова сила прикладена до центра ваги (маси) витісненої тілом рідини. Вона зумовлена різницею тисків на верхню та нижню поверхню тіла, при цьому атмосферний тиск взаємно компенсується.

5.8. Умови плавання тіл (табл. 3)

Плавання суден

Важкі вантажі та двигуни розташовуються у нижній частині судна, щоб центр ваги (2) був нижче від точки прикладення архімедової сили (1), що забезпечує стійкість суд-

Pводотон − Pс = Pвант .

Різниця між вагою 1 м3 повітря і вагою того самого об’єму іншого газу називається підйомною силою 1 м3 газу:

Fпід = Pпов − Pгазу,

116

5. Гідростатика і аеростатика

Fпід =(ρпов −ρгазу )gVгазу.

Визначення густини тіла методом гідростатичного зва-

жування:

ρт = P−PP′ ρрід,

де P — вага тіла в повітрі; P′ — вага тіла в рідині.

5.9. Атмосферний тиск, його вимірювання

Особливість атмосферного тиску (тиску газів): для ви-

значення атмосферного тиску формула p =ρgh неприйнят-

на, оскільки густина повітря з висотою зменшується. Уперше атмосферний тиск був виміряний Торричеллі.

У досліді Торричеллі атмосферний тиск урівноважується тиском стовпа ртуті у скляній трубці (рис. 92). Над ртуттю утворюються насичені пари ртуті, тиск яких дуже малий, і ним нехтують.

Атмосферний тиск, який дорівнює тиску стовпа рту-

ті заввишки hрт = 760 мм за температури 0° С, називається

нормальним атмосферним тиском:

1 мм рт. ст. = 133,3 Па,

pатм ≈105 Па.

Нормальному атмосферному тиску від­ повідає тиск стовпа води заввишки 10,2 м.

Атмосферний тиск із висотою зменшується на 1 мм рт. ст. у середньому на кожні 12 м підйому (відносно Землі).

Прилади для вимірювання атмосферного тиску називають­ ­ся барометрами. Вони бувають рідинними (трубка­ Торри­ ­ челлі) і металевими (барометр-анероїд). Барометр­ -анероїд­ складається з металевої герметичної гофрованої­ коробочки 1, яка стискується при збільшенні атмосферного­ тиску і розширюється при його зменшен-

117

Механіка

пружна металева трубочка (1), один кінець якої закритий, а інший за допомогою крана (2) сполучений з посудиною, в якій вимірюється тиск (рис. 95).

5.10. Приклади розв’язання задач

Задача 1.

Посудина, яка має форму­ зрізаного конуса з приставним дном, занурена у воду. Якщо в посудину налити 200 г води, дно відривається. Чи відпаде дно, якщо на нього поставити гирю масою 200 г (рис. 96)?

118

5. Гідростатика і аеростатика

Р и с .   9 6

Відповідь: форма даної посудини сприяє збільшенню сили тиску на дно на величину сили реакції опори стінок, тому дія гирі тієї самої маси, що і вода, не призведе до відриву дна посудини.

Задача 2.

До вертикальної стінки посудини впритул приставлений кубик з ребром h. Як напрямлена сила тиску води на кубик (рис. 97, а)?

Розв’язання:

Сила тиску води на кубик дорівнює геометричній сумі

FA і Fтиск води на бічну поверхню. Модуль архімедової сили дорівнює:

Модуль сили тиску на бічну поверхню:

Fтиск =( pатм +ρgH) h2 .

Архімедова сила напрямлена вгору, а сила тиску води — ліворуч. Рівнодійна сила дорівнює їхній геометричній сумі (рис. 97, б):

F = FA + Fтиск , F = FA2 + Fтиск2 .

Fтиск FA , тому рівнодійна сила напрямлена під малим кутом (α) до горизонту.

119

Механіка

h H

Рис. 97

Відповідь: рівнодійна сила напрямлена під малим кутом (α) до горизонту.

120

5. Гідростатика і аеростатика

Відповідь: V2 = 1038 м3.

Задача 4.

Визначити масу атмосфери Землі, якщо RЗ = 6400 км, pатм = 760 мм рт. ст.

pатм = 760 мм рт. ст. pатм = 105 Па

mатм — ?

Розв’язання:

Тиск атмосфери на поверхню Землі дорівнює:

Відповідь: mатм = 5 Екг (екса (E) → 1018 ).

Задача 5.

На яку висоту можна підняти воду з колодязя за допомогою поршня, який упритул прилягає до внутрішніх стінок довгої циліндричної трубки? На яку висоту підніметься кипляча вода? ( pатм = 760 мм рт. ст.) (рис. 99)?

121

Механіка

{hв } = 10103 95 ,8 ≈10,2.

Відповідь: hв =10,2 м.

Задача 6.

Акваріум, який має форму прямокутного паралелепіпеда, заповнений водою. З якою силою тисне вода на стінку акваріума, якщо її довжина a, висота b? Атмосферним тиском знехтувати­ .

Дано: Розв’язання:

aПлоща бічної стінки акваріума S = a b = a h.

122

5. Гідростатика і аеростатика

рідин однаковий.

Виразимо h3 =l3 sinα, l3 = VS3 , тоді h3 = VS3 sinα,

де V3 — об’єм третьої рідини; S — площа перерізу правої трубки.

123

Механіка

Підставимо h3 у вираз для ∆h2, дістанемо:

Виразимо V3 через вагу третьої рідини:

P

V3 = ρ3 3g .

Підставимо у вираз для ∆h2 :

Задача 8.

Зякою силою тиснуть одне на одного дно посудини

іцеглина­ густиною ρц, якщо площа основи цеглини S, її висота h, а в посудину налита рідина густиною ρрід до висоти H? Прийняти h Н .

S2) цеглина «прилипла» до дна так, що рі-

N1 — ?

N2 — ?

Розпишемо усі сили, які діють на цеглину в обох ви­ падках.

1) На цеглину діє сила тяжіння, сила реакції опори N1, архімедова сила, яка обумовлена різницею сил тиску на нижню і верхню грані цеглини (рис. 101, а).

124

5. Гідростатика і аеростатика

Цеглина перебуває у рівновазі, тому

FA + N1 +mg =0.

У проекції на Ox:

FA + N1 −mg =0 .

Виразимо N1 :

N1 =mg − FA , де FA =ρрід g S h.

2)На цеглину діє сила тяжіння, сила реакції опори N2

ісила тиску на верхню грань (сила тиску на нижню грань відсутня, оскільки між цеглиною і дном немає прошарку рі-

дини) (рис. 101, б).

Цеглина перебуває у рівновазі, тому

N2 +mg + Fт =0 .

У проекції на Ox:

N2 −mg − Fт =0 ,

N2 =mg + Fт ,

де Fт =(ρатм +ρрідgH)S.

Порівнявши N1 і N2, дістанемо N2 > N1.

Відповідь: сила, з якою цеглина і дно посудини тиснуть одне­ наодного,більшаувипадку,колицеглина«прилипає»додна.

Задача 9.

До якої висоти треба налити воду в циліндричну посудину, щоб сили тиску води на дно і стінки посудини були однакові? Радіус дна посудини R.

125

Механіка

Площу бічних стінок визначаємо за формулою Sбіч = hl, де l — довжина кола, яка дорівнює 2πR. Тоді площа бічних стінок

Sбіч = h2πR.

Підставимо значення площі в формулу для F 1 :

F 1 = ρgh2 h2πR =ρgh2πR.

Знаходимо модуль сили тиску F 2 рідини на дно посу­ дини­ , ураховуючи, що площа дна дорівнює площі круга (Sк = πR2 ), а тиск на дно p =ρgh:

F 2 = pSдна =ρghπR2.

За умовою задачі сили тиску на бічну поверхню і дно посудини однакові:

F 1 = F 2 ; ρgh2πR =ρghπR2.

Звідси h = R.

Відповідь: h = R.

Задача 10.

У сполучених посудинах містяться ртуть, вода і гас (рис. 102). Яка висота шара гасу в лівому коліні, якщо висота стовпа води в правому коліні 20 см і в лівому коліні рівень ртуті нижчий, ніж у правому, на 0,5 см?

126

Розв’язання:

Оскільки рідини пере­ бувають у рівновазі в сполучених посудинах, то на рівні, нижче від якого рі-

вому коліні складається із зовнішнього тиску на гас

(атмосферного тиску) і тис-

ку стовпа гасу:

Рис. 102

pл = pзовн +ρ1gh1.

На цьому самому рівні тиск у правому коліні складається із зовнішнього, тиску стовпа води і тиску стовпа ртуті:

pп = pзовн +ρ2gh2 +ρ3gh3.

Оскільки pл = pп , то

pзовн +ρ1gh1 = pзовн +ρ2gh2 +ρ3gh3.

Після спрощення дістанемо:

h1 = g(ρ2hg2ρ+1 ρ3h3 ) = ρ2h2ρ+1ρ3h3 .

127