Фізика (Чоплан П.П

Одиниця фізичної величини — фізична величина фіксованого роз­ міру, якій умовно надано числове значення, що дорівнює 1 , і яку застосовують для кількісного вираження однорідних фізичних вели­ чин. Термін застосовують також для позначення одиниці, що вхо­ дить як множник до значення фізичної величини.

Існує кілька систем (наприклад, СГС — сантиметр, грам, секун­ да; МКГСС — метр, кілограм-сила, секунда), що відрізняються вибо­ ром основних одиниць. Системи, в основу яких покладено одиниці довжини, маси і часу, називають абсолютними.

Сучасною формою метричної системи є Міжнародна система оди­ ниць (СІ), яка поширюється в усіх державах світу.

Основними в системі СІ є одиниці: довжини — метр (м), маси — кілограм (кг), часу — секунда (с), сили електричного струму — ам­ пер (А), термодинамічної температури — кельвін (К), кількості ре­ човини — моль, сили світла — кандела (кд). Про ці одиниці йти­ меться у відповідних розділах книги.

Метр дорівнює довжині шляху, який проходить у вакуумі світло за 1/299 792 458 частину секунди. Застосовуються також кратні та

часткові одиниці метра: кілометр (103м), сантиметр (10-2 м), міліметр (10_3 м), мікрометр (10~6 м) тощо.

Кілограм є одиницею маси і дорівнює масі міжнародного прототи­ пу кілограма.

Секунда — це час, що дорівнює 9 192 631 770 періодам випромі­ нювання, яке відповідає переходові між двома надтонкими рівнями основного стану атома цезію-133.

Ампер — це сила постійного струму, який під час проходження по двох безмежно довгих паралельних прямолінійних провідниках малого кругового перерізу, розташованих на відстані 1 м один від одного у вакуумі, зумовлює на кожній ділянці провідника завдовж­ ки 1 м силу взаємодії, що дорівнює 2 10"7Н.

Кельвін є одиницею термодинамічної температури і дорівнює 1/273,16 частині термодинамічної температури потрійної точки води.

Моль є кількістю речовини системи, що містить стільки структур­ них елементів, скільки міститься атомів у карбоні-12* масою 0,012 кг.

Кандела — це сила світла у заданому напрямі джерела, що випромінює монохроматичне випромінювання з частотою 540 · 1012 Гц, енер­ гетична сила світла якого в цьому напрямі становить 1/683 Вт/ср (ср — стерадіан, див. розд. 11 ).

Для позначення розмірності довільної фізичної величини викорис­ товують її символьне позначення, яке береться у квадратні дужки. Так, символ [υ] означає розмірність швидкості. Для розмірностей

*Назви хімічних елементів і простих речовин подано за ДСТУ 2439— 94 «Еле­ менти хімічні та речовини прості. Терміни та визначення основних понять. Умовні позначення».

48

Розділ 2 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

2.1. Класична механіка

Простір і час у механіці Ньютона. Простір і час — форми існу­ вання матерії. Простір у Ньютона абсолютний за своєю суттю, без­ відносний до будь-чого зовнішнього, залишається завжди сталим і нерухомим. Простір однорідний в усіх своїх частинах та ізотропний (властивості його не залежать від напряму), тобто фізичний простір збігається з простором у геометрії Евкліда. Поняття простору, його геометричних елементів (точка, лінія, поверхня, об’єм) виникли як абстракції властивостей матеріальних тіл. Евклідів простір лише наближено відображає властивості фізичного простору. Проте для механічних явищ, які розглядатимуться, з великою точністю простір можна вважати евклідовим. Припущення про однорідність та ізо­ тропність простору в класичній механіці, яка розглядає рух макротіл із відносно малими швидкостями, також справедливе.

Інколи стверджують: механічний рух — це переміщення тіла в просторі з часом. Таке визначення потребує істотного уточнення, адже при механічному русі відбувається переміщення одних тіл відносно інших. Якби існувало тільки одне тіло, то говорити про його пере­ міщення було б безглуздо. Завжди одні тіла переміщуються відносно інших. Фактично завжди система пов’язана з якимось тілом або тіла­ ми. Без матеріальних тіл не можна уявити простору, а точніше — він тоді б не існував.

Час за Ньютоном — абсолютна плинність, що існує незалежно від тіл. При відносно повільних рухах, коли швидкість дуже мала порівняно зі швидкістю світла у вакуумі, залежність часу від віднос­ ного руху системи відліку дуже мала і нею можна нехтувати. Тому вважатимемо справедливим вибір однієї незмінної одиниці часу для всіх явищ у механіці. Отже, простір і час у механіці Ньютона об’єк­ тивно реальні, але органічно не пов’язані з матерією.

З поняттям абсолютних простору й часу Ньютона пов’язані прин­ ципові труднощі у фізиці, глибока внутрішня суперечність між тео­ рією і дослідом: теорія побудована на поняттях, які експерименталь­ но не можна виявити. З часів Ньютона ця суперечність рухала фізи­ ку. Прагнення розв’язати її привело до важливих експериментів і теоретичних досліджень. Історія фізики не раз підтверджувала ос­ новне положення діалектики про внутрішні суперечності як джере­ ло розвитку. Суперечності, введені Ньютоном, розв’язав Ейнштейн.

Основними фізичними величинами в механіці Ньютона є сила і маса. Сила. Фізичні тіла взаємодіють між собою. Проте взаємодія взагалі

дуже широке поняття, що означає взаємозв’язок, взаємовплив тіл.

50

Різні науки вивчають окремі види взаємодії. Механіка вивчає механічну взаємодію тіл, що характеризується силою. Під силою в механіці розуміють фізичну причину зміни стану руху тіла або його форми і розмірів, яка виникає у результаті взаємодії певного тіла з іншими тілами. Сила — це кількісна характеристика механічної вза­ ємодії тіл. Дія сили на тіло виявляється двояко: динамічно, коли тіло під впливом прикладеної до нього сили набуває прискорення, і статично, коли тіло деформується. Сила характеризується точкою прикладання, напрямом та числовим значенням (модулем).

Сила оцінюється за результатом дії одного тіла на інше: за при­ скоренням, що його набуває тіло, або за деформацією. Отже, силу можна вимірювати за прискоренням і деформацією еталонного тіла. Для вимірювання сил використовують пружинні терези, динамомет­ ри. Основним елементом цих приладів є стандартна пружина, яка під дією прикладеної сили деформується. В межах малих деформацій сила пропорційна величині деформації (закон Гука).

Маса — це властивість матерії, що характеризує її інертність і гравітацію.

2.2. Перший закон Ньютона

Кінематика не розкриває причин руху. Вона лише описує сам рух. Розкрити причини руху не так просто.

До Галілея протягом майже двох тисяч років існувала динаміка Арістотеля (384—322 до н. е.). За Арістотелем, небесні тіла за своєю природою відмінні від земних і рухаються лише по досконалих кри­ вих — колах, першоджерело їхнього руху — дух (Бог). Земні тіла самі по собі, без дії сил перебувають у стані спокою, причина їхнього руху — сила. Основне характерне положення динаміки Арістотеля: без сили немає руху. Тобто для підтримання руху тіла на нього ма­ ють діяти інші тіла. Цей погляд відповідає безпосередньому, інтуї­ тивному уявленню про рух. Так, візок рухається лише тоді, коли його підштовхують. Якщо штовхнути візок сильніше, то він рухати­ меться швидше, і, нарешті, якщо зовсім припинити дію сили на ньо­ го, візок зупиниться.

Наявність у тіла швидкості пов’язувалась з дією на нього інших тіл, а числове значення і напрям швидкості — з характером та інтен­ сивністю цієї дії.

Уявлення Арістотеля про рух спростував Г. Галілей (1564—1642), який уперше застосував метод наукового міркування в тлумаченні поставлених ним експериментів.

Вивчаючи скочування гладенької кулі з похилої площини, Г. Галі­ лей помітив, що вниз куля рухається прискорено, поступово збільшу­ ючи швидкість, а вгору — сповільнено. Звідси він зробив висновок, що, скотившись на горизонтальну площину, куля вічно рухатиметь­

51

ся з тією самою швидкістю на нескінченній площині, якщо ніщо не заважатиме її руху. Це саме можна спостерігати з візком, що ру­ хається по гладенькій поверхні. Зазнавши поштовху, візок починає рухатись і через деякий час зупиниться. Проте зменшуючи опір по­ вітря й тертя між візком і площиною, можна необмежено збільшу­ вати його шлях. У граничному наближенні (без тертя й опору по­ вітря) візок рухатиметься безмежно довго зі сталою за числовим зна­ ченням і напрямом швидкістю. Це твердження називається законом інерції. Чітке визначення його вперше дав І. Ньютон: будь-яке тіло зберігає стан спокою аборівномірного прямолінійного руху доти, доки дія сил не примусить його змінити цей стан.

Властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямоліній­ ного руху називають інерцією. Тому перший закон Ньютона назива­ ють ще законом інерції.

Нескінченну площину реалізувати не можна, не можна постави­ ти тіло і в такі умови, щоб на нього не діяли інші тіла. Однак можна перевірити протилежне: в усіх випадках, коли тіло змінює свою швидкість за числовим значенням і напрямом, тобто дістає приско­ рення, завжди можна показати тіла, дія яких спричинює це приско­ рення. Наприклад, траєкторія тіла, яке кинули під кутом до гори­ зонту, викривлюється під дією притягання з боку Землі; куля, зіткнув­ шись зі стіною, змінює свою швидкість під дією сили, яка діє з боку деформованої стіни.

Отже, причиною прискорення тіла є сила, що діє на нього. Дослід свідчить, що напрями векторів сили й прискорення збіга­

ються і що прискорення пропорційне діючій силі. Такого висновку дійшли Г. Галілей і І. Ньютон. Вони також ототожнювали фізично стан спокою і рівномірного прямолінійного руху тіла, бо ці стани реалізуються за однакових умов — коли сила, що діє на тіло (рівнодійна сил), дорівнює нулю. Із закону інерції можна зробити висно­ вок, що тіло рухатиметься й тоді, коли на нього не діятиме сила. Все це суперечить динаміці Арістотеля, який вважав, що тіла рухаються лише тоді, коли на них діє сила, пропорційна швидкості (не приско­ ренню!) тіла. У динаміці Арістотеля явища розглядалися поверхово, а також неправильно тлумачилися.

Динаміка Галілея — Ньютона глибше проникає в суть явищ і правильно тлумачить їх. Проте вона не наочна, її закони ще слід довести. Історично це стало можливим на більш високому рівні роз­ витку науки (експерименту й теорії).

Ми переконалися, що стан тіла змінюється під дією інших тіл. А як впливають на зміну стану властивості самого тіла? Нехай на якесь тіло, що перебуває у стані спокою, подіяла сида. Оскільки під дією сили тіло набуває не швидкості, а прискорення, то потрібний час для досягнення кінцевої швидкості. Цей час для різних тіл буде неоднаковим.

52

Скалярна величина, що характеризує інерцію тіла, називається його інертною масою. Чим повільніше тіло змінює свій стан під дією сили, тим більша його маса. З визначення зрозуміло, що маса будьякого тіла більша від нуля. Маса — величина адитивна. Вона не залежить ні від умов, у яких перебуває тіло, ні від взаємодії його з іншими тілами. Перший закон Ньютона справедливий не в будьякій системі відліку, а лише в інерціальній.

2.3. Інерціальні системи відліку

Тіло або сукупність тіл, які умовно вважаються нерухомими і відносно яких розглядається рух інших тіл, називають у фізиці тіла­ ми відліку. Систему відліку можна вибрати довільно. При цьому рух будь-якого тіла в різних системах відліку матиме неоднаковий ви­ гляд, тобто тіло рухатиметься, наприклад, по різних траєкторіях. Якщо взяти довільну систему, то може трапитись, що навіть закони зовсім простих явищ будуть складними.

Природно вибрати систему відліку так, щоб явища природи опи­ сувались у ній найпростіше. Для цього розглянемо тіло, що розмі­ щується настільки далеко від інших тіл, що вони не діють на нього. Рух такого тіла називається вільним. Умови вільного руху можна реалізувати з більшою чи меншою точністю.

Якщо система відліку пов’язана з якимось тілом, що рухається вільно, то в ній вільний рух інших тіл має досить простий вигляд: він відбувається прямолінійно і рівномірно, тобто зі сталою за чис­ ловим значенням й напрямом швидкістю. У цьому полягає зміст за­ кону інерції. Тому система відліку, пов'язана з тілом, що вільно рухається, називається інерціальною. Якщо деяка система рухаєть­ ся відносно інерціальної системи зі сталою (за числовим значенням й напрямом) швидкістю, то вона також буде інерціальною. Дослід засвідчує, що інерціальні системи нічим не відрізняються між со­ бою, фізичні явища в них відбуваються однаково, закони механіки мають однаковий вигляд. Отже, не можна виділити одну із систем як особливу, бо такої системи не існує. Якби можна було виділити якусь систему, то це означало б, що існують абсолютний простір і абсолютний спокій відносно цієї виняткової системи відліку.

Системи відліку, які пов’язані з Сонцем і зірками, практично можна вважати інерціальними. Систему, початок якої поміщено в центр Сонця, точніше в центр мас Сонячної системи, а осі напрям­ лені до будь-яких трьох «нерухомих» зірок (що не беруть участі в обертанні Сонця навколо його осі), назвемо «сонячною», або геліо­ центричною. Саме нею скористався Й. Кеплер, вивчаючи кінемати­ ку небесних тіл, і відкрив закони руху планет. Перехід до сонячної системи відліку був нелегким, але він мав велике значення в бо­ ротьбі з геоцентризмом.

53

Якщо стверджують, що закони Ньютона справедливі у «світово­ му просторі», в «нерухомій системі», то мають на увазі реальну Со­ нячну систему, а не ілюзорний абсолютний простір. Проте й це не є принциповим розв’язанням питання про систему відліку, адже Сон­ це у Всесвіті — звичайна зірка, тому в певному розумінні безглуздо віддавати перевагу як геліоцентризму, так і геоцентризму.

Практично системи відліку, що використовуються у фізичних експериментах, є інерціальними з більшою чи меншою точністю. Найпоширенішою є система відліку, пов’язана із земною кулею. Проте вона не є інерціальною, оскільки Земля обертається навколо своєї осі й рухається по еліптичній орбіті навколо Сонця. Ці рухи здійсню­ ються різними точками земної кулі не з однаковими і не зі сталими швидкостями.

Ураховуючи повільну зміну напряму швидкості обох рухів Землі, для багатьох фізичних експериментів із невеликою похибкою можна вважати «земну* систему відліку інерціальною. Зокрема, Земля за ЗО хв руху по орбіті зі швидкістю ЗО км/с описує дугу лише 1'. Сонячна система також обертається навколо центра Галактики, що­ правда, з періодом близько 200 млн років і зі швидкістю 250 км/с.

2.4. Принцип відносності Галілея

Розглянемо дві системи відліку К і К' (рис. 2.1). Нехай система К' рухається відносно системи К уздовж осі х зі швидкістю і>0. Тоді можна записати зв’язок між координатами матеріальної точки А для цих систем:

(2.1)

X = х - v0t, t' = t.

Перші дві координати точки збігаються тому, що обмежено рух системи К' лише вздовж осі х. Отже, з часом змінюється тільки ця координата. Проте в загальному випадку змінюватимуться всі коор­ динати. Плинність часу в обох системах однакова.

Формули (2.1) називають перетвореннями Галілея. Якщо від пер­ ших трьох рівнянь (2.1) візьмемо похідні за часом, то дістанемо відповідні проекції швидкостей v'z = v2; v'y = vy; υ'χ = υχ - υ0. Ці спів­

відношення можна записати у векторній формі:

Швидкість_р відносно нерухомої системи відліку К складається із швидкості ν' відносно рухомої системи К' і швидкості ϋ0 систе­ ми К' відносно системи К . Формулу (2.2) називають законом дода­ вання швидкостей.

54

Візьмемо похідну за часом від лівої та правої частин рівності (2.2). Враховуючи, що ϋ0 є вели­

тобто в усіх інерціальних систе­ мах прискорення залишається ста­ лим.

Взагалі абсолютної системи відліку не існує, а поняття абсо­

лютного спокою позбавлене сенсу. Якщо тіло перебуває в стані спо­ кою в одній із інерціальних систем відліку, то відносно всіх інших воно рухатиметься з різними сталими швидкостями, тому немає підстав віддавати перевагу одній системі перед іншими. У класичній механіці немає поняття абсолютної швидкості, тільки відносна швидкість тіл має фізичний зміст. Водночас поняття абсолютного прискорення справедливе, оскільки воно в різних інерціальних си­ стемах відліку однакове.

Як видно із співвідношення (2.3), рівняння динаміки не зміню­ ються, якщо перейти від однієї інерціальної системи відліку до іншої, тобто вони інваріантні щодо перетворень Галілея. З погляду механі­ ки всі інерціальні системи відліку абсолютно еквівалентні: жодній з них не можна віддавати перевагу перед іншими. Практично це вияв­ ляється у тому, що ніякими механічними дослідами, проведеними в цій системі відліку, не можна встановити, перебуває вона в стані спокою чи в стані рівномірного і прямолінійного руху.

Такі властивості інерціальних систем вперше з’ясував Галілей. Принцип відносності Галілея можна сформулювати так: усі механічні явища в різних інерціальних системах відліку відбуваються однако­ во, внаслідок чого ніякими механічними дослідами неможливо вста­ новити, нерухома ця система чи рухається рівномірно і прямолі­ нійно.

2.5.Другий закон Ньютона

У1687 p. І. Ньютон у своїх «Математичних началах натуральної філософії* сформулював усі основні закони механіки. Узагальню­ ючи численні досліди, він установив зв’язок між масою і прискорен­ ням тіла та силою, що діє на нього,

де F — векторна сума всіх сил, що діють на тіло; т — маса тіла; а — прискорення. Співвідношення (2.4) називають другим законом Нью­

55

тона, який можна сформулювати так: сила, що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, якого надає ця сила.

Слід зазначити, що закон інерції є наслідком другого закону Нью­ тона. Справді, нехай на тіло не діє сила, тоді ліва частина рівності (2.4) дорівнює нулю. Оскільки т Φ0,то нулю дорівнює прискорення.

Звідси випливає, що ϋ = const, або а = — = 0, що є математич­ ок

ним виразом закону інерції. Істотним є у цьому разі сталість вектора швидкості, що забезпечує прямолінійність руху. Вираз (2.4) ще на­ зивають рівнянням руху тіла.

Основне завдання механіки полягає у тому, щоб за заданим ста­ ном тіла (координати і швидкість у певний момент) визначити в будьякий момент часу всі наступні його стани без додаткових вимірю­ вань. При цьому припускається, що сили, які діють на тіло, відомі.

Другому закону Ньютона можна дати більш загальне визначення.

де Fdt — елементарний імпульс сили, що відповідає досить малому проміжку часу dt; dp — елементарна змінаімпульсу тіла; ти — імпульс, абокількість руху. Отже, другийзаконНьютона можна сформулювати так: імпульс сили, що діє на тіло протягом малого проміжку часу, дорівнює зміні імпульсу тіла за цей самий проміжок часу.

Запишемо рівняння (2.6) у такому вигляді:

d (ти)

(2-7)

Це дає змогу дати другому закону Ньютона більш загальне фор­ мулювання: зміна імпульсу тіла за секунду в певний момент часу дорівнює прикладеній силі й відбувається в тому самому напрямі, в якому діє ця сила. Або: перша похідна за часом від імпульсу тіла дорівнює прикладеній силі.

У другому законі Ньютона є дві фізичні величини: сила та маса. Сила кількісно характеризує числове значення і напрям дії на певне тіло інших тіл. Маса є кількісною характеристикою інертності.

56

Одиницю сили в СІ називають ньютоном (Н). Згідно з рівністю (2.4) ньютон дорівнює силі, під дією якої тіло масою 1 кг дістає прискорення 1 м/с2. Одиницю сили в системі СГС називають диною (дин). Одна дина дорівнює силі, під дією якої тіло масою 1 г дістає прискорення 1 см/с2. Між ньютоном та диною існує таке співвідно­

шення: 1 Н = 1 к г* 1 м /с2 = 105 г · см/с2 = 105 дин.

У другому законі Ньютона йдеться про сили, що діють на певне (одне) тіло, але не відображено ролі другого тіла, з боку якого діє сила. Сила характеризує взаємодію принаймні двох тіл; роль друго­ го тіла в динамічних явищах визначена третім законом Ньютона.

2.6. Детермінізм Лапласа

Другий закон Ньютона дає змогу виразити зв’язок станів механіч­ ної системи у вигляді закону динамічного типу. В ньютонівському розумінні причиною зміни стану руху тіла виступає зовнішня дія на нього, при цьому початковий стан тіла є умовою його руху. В лапласівському розумінні початковий стан тіла розглядається як причина його кінцевого стану, а зовнішня дія на нього є умовою руху тіла.

При всіх відмінностях ньютонівське тлумачення причини як сили, що зумовлює механічний рух, і лапласівське тлумачення причин­ ності як зв’язку станів механічної системи пов’язані одне з одним. Визначення причинної зумовленості механічного об’єкта веде до виз­ нання детермінованості його станів, і навпаки, визнання детер­ мінованого стану пов’язане з визнанням зумовленості руху об’єкта певною силою.

Лапласівський детермінізм (твердження про можливість точного передбачення руху механічних об’єктів) є визнанням пізнаваності законів, що відображають зв’язок станів механічного об’єкта, а отже, пізнання причинних зв’язків, що зумовлюють його рух.

Лапласівський детермінізм у класичній механіці збігається з ма­ тематичним детермінізмом. Диференціальні рівняння, що описують рух механічної системи, за заданих початкових умов мають тільки один розв’язок, за допомогою якого можна визначити поведінку цієї системи в майбутньому.

Другий закон Ньютона виражає в опосередкованій формі необхід­ ний зв’язок між початковим станом системи та її станом у наступ­ ний момент часу при заданих зовнішніх діях на систему. Він вира­ жає те, що такий початковий стан за заданих умов неодмінно детер­ мінує наступні стани, які, в свою чергу, детермінують свій наступ­ ний стан і т. д. Тому поняття необхідного зв’язку станів, так званий класичний детермінізм, може формулюватися так: з одного і того самого початкового стану за однакових зовнішніх умов виникає один і той самий ряд станів системи.

57