Фізика (Чоплан П.П

ють тотожними, тому в фізиці йдеться просто про масу. Тотожність інертної і гравітаційної мас А. Ейнштейн поклав у основу загальної теорії відносності.

2.13. Визначення мас Сонця і Землі

Розглянемо рух Землі навколо Сонця, взявши земну орбіту за колову. Щоб Земля рухалася по коловій орбіті, на неї має діяти до­ центрова сила = ти2 /г, якою є сила тяжіння між Землею і Сон­ цем. Прирівнявши ці сили і зробивши потрібні перетворення, знай­ демо

ця; G — гравітаційна стала; Т = 31 536 000 с — період обертання Землі навколо Сонця (рік). Підставивши значення цих величин у ви­ раз (2.27), дістанемо Мс = 1,98 · ІО30 кг. Аналогічно можна обчис­ лити масу планет, що мають супутники.

Масу Землі можна визначити, прирівнявши вагу тіла на поверхні Землі до сили тяжіння тіла до Землі. Поправку на вагу (динамічну складову), зумовлену добовим обертанням Землі, не враховуватиме­

Із співвідношення (2.28) маємо М3 = 5,98 · 1024 кг. Можна також розрахувати середнє значення густини земної кулі, знаючи її масу

невих шарів Землі рп = 2500 кг/м , то густина в центрі земної кулі

рц = (10...11)103 кг/м3. Тиск помітно зростає з наближенням до центра Землі: на глибині 100 км тиск має досягти 2000 МПа. В ядрі Землі, на глибині 3000 км і більше тиск досягає 9,8 *1010 Па.

Температура також підвищується з глибиною: в шахтах і бурових свердловинах — у середньому на один градус на кожні 33 м. При­ пускають, що на глибині близько 100 км температура доходить до 1500...2000 К і далі залишається сталою.

68

2.14. Космічні швидкості. Освоєння космосу

Щоб тіло рухалося навколо Землі по коловій орбіті, яка мало від­ різняється від радіуса Землі R3, воно повинно мати цілком певну швидкість . Цю швидкість можна визначити з рівності mg = muf / jR3. Звідси

Отже, для того щоб будь-яке тіло стало супутником Землі, йому треба надати швидкість і^, яку називають першою космічною швид­ кістю.

Віддаль супутника від центра Землі г = R3 + Н, де R3 — радіус Землі; Н — висота супутника над поверхнею Землі. Оскільки Я « jR3, при розрахунках величиною Н можна знехтувати. Підстав­ ляючи значення g і #з у формулу (2.29), дістанемо

Маючи швидкість і^, тіло не падатиме на Землю. Проте цієї швид­ кості замало для того, щоб тіло вийшло за межі впливу земного тя­ жіння. Потрібну для цього швидкість υ2 називають другою косміч­ ною швидкістю. Щоб знайти цю швидкість, треба обчислити роботу, яка потрібна для подолання сили земного тяжіння. Визначимо цю роботу вздовж прямої, що проходить через центр Землі. Елементар­ на робота на шляху dr становитиме

„ т Л тМп , dA = Fdr = G— 7^ -dr.

r2

Щоб подолати притягання Землі й вийти за межі дії сили земного тяжіння, тіло повинно мати запас енергії для виконання роботи (2.31). Найменша потрібна для цього швидкість и2 і є другою космічною швидкістю. Її визначимо з умови

69

Порівнюючи (2.33) і (2.29), бачи­ мо, що друга космічна швидкість разів більша за першу. Добу­ ток 7,9 км/с на V2 дає для υ2 зна­

чення близько 11,2 км/с. За цієї швидкості тіло долає силу зем­ ного тяжіння і рухається по па­ раболі; траєкторія його стає гіпер­ болічною, якщо і; > 11,2 км/с. При і;3 > 16,7 км/с тіло вийде за межі Сонячної системи. Цю швидкість називають третьою космічною швидкістю (рис. 2.7).

К. Б. Ціолковський вивів фор­ мулу для визначення швидкості польоту ракети. З урахуванням дії

Рис. 2.7 на ракету сили тяжіння і опору повітря швидкість ракети при вер­

тикальному старті можна визначити за формулою

де υκ — кінцева швидкість при згорянні всього палива; k — ко­ ефіцієнт, що враховує опір повітря й силу тяжіння; и — швидкість витікання газів із сопла двигуна; М0 — початкова маса ракети; Мк — кінцева маса ракети.

Як видно із формули (2.34), кінцева швидкість ракети υκ зале­ жить від двох величин — швидкості витікання газів и і відношення

Ціолковського й позначають літерою Ζ.

Звідси зрозуміла причина використання багатоступінчастих ракет: звільняючись від баласту, зменшують масу ракети і, отже, збільшу­ ють її швидкість (число Ціолковського збільшується). К. Е. Ціол­ ковський є засновником теоретичної космонавтики.

4 жовтня 1957 р. старт потужної ракети з космодрому Байконур поклав початок новій ері в науково-технічному прогресі людства.

12 квітня 1961 р. у колишньому СРСР стартував космічний кора­ бель «Восток*, який уперше пілотувала людина, льотчик-космонавт Ю. О. Гагарін.

Штучні супутники Землі щоденно несуть трудову космічну вах­ ту, широко застосовуються для розв’язання різних наукових і прак­

70

тичних завдань народного господарства — метеорології, дальнього радіозв’язку, телебачення, навігації, розвідки природних ресурсів нашої планети тощо.

2.15. Робота. Енергія

Нехай тіло, на яке діє сила F, рухаючись по деякій траєкторії, проходить шлях s. При цьому під дією сили або змінюється швидкість тіла (сила надає тілу прискорення), або компенсується дія іншої сили (або сил), що протидіє руху. Дію сили F на шляху s характеризують величиною, яку називають роботою.

Робота — це скалярна величина, що дорівнює добутку проекції сили на напрям переміщення F$ на шляху s, який проходить точка прикладання сили,

Вираз (2.35) справедливий у тому разі, якщо проекція сили на напрям переміщення залишається незмінною. Зокрема, це відбуваєть­ ся тоді, коли тіло рухається прямолінійно,а стала за числовим зна­ ченням сила F утворює з напрямом руху сталий кут а.

Оскільки Fs = F cosa, вираз (2.35) можна записати так:

Робота — алгебраїчна величина. Якщо сила і напрям переміщен­

нулю. Отже, поняття роботи в механіці істотно відрізняється від зви­ чайного уявлення про роботу.

Якщо проекція сили на напрям переміщення не залишається ста­ лою під час руху, то для визначення роботи шлях s поділяють на елементарні ділянки As так, щоб під час проходження тілом цієї ділянки силу Fs можна було вважати практично незмінною. Тоді

As(—»0f_i ‘

71

Дослід показує, що деякі тіла здатні виконувати роботу над інши­ ми тілами. Фізичну величину, що характеризує здатність тіла або системи тіл виконувати роботу, називають енергією. Енергія тіла може зумовлюватися, по-перше, рухом тіла з деякою швидкістю, а по-дру­ ге, знаходженням його в потенціальному полі сил. Енергію першого типу називають кінетичною, енергію другого типу — потенціаль­ ною. Отже, кінетична енергія — це енергія руху, а потенціальна — енергія положення.

Кінетична енергія матеріальної точки т, що рухається зі швид­

Помноживши на т чисельник і знаменник виразу (2.40) і взявши до уваги, що добуток ти дорівнює імпульсу тіла р, вираз для кіне­

Робота, що виконується над тілом, дорівнює зміні його кінетич­ ної енергії ΔΕΚ= 22' - Е'к.

Розглянемо матеріальну точку в потенціальному полі сил. Поста­ вимо у відповідність кожній точці поля, що характеризується радіу- сом-вектором Fj, певне значення деякої функції U(r), здійснивши це так. Для деякої вихідної точки О візьмемо довільне значення функції, що дорівнює U0. Щоб дістати значення U1 у деякій точці 2, додамо до U0 роботу А10, що виконується силами поля над тілом при його переміщенні з точки 2 у точку О:

(2.42)

Визначена у такий спосіб функція має розмірність енергії або ро­ боти. Оскільки робота в потенціальному полі сил не залежить від шляху, знайдене значення U1 виявляється однозначним.

72

Аналогічно визначимо значення U (г) для всіх точок поля. Зок­ рема, значення U (г) у точці 2 буде

U1 ~ U2 = (Ц) + А10 ) - (U0 + ^20 ) = А10 + А)2 · ПРоте сУма Л10 + А)2 дорівнює роботі, яку здійснюють сили при переміщенні тіла з точ­

ки 1 у точку 2 по траєкторії, що проходить через точку О. Однак робота, що виконується над тілом при його переміщенні по будьякій іншій траєкторії, буде такою самою. Тому суму А10 + AQ2 мож­ на записати як А12, отже, дістанемо співвідношення

здійснюється над тілом силами поля на будь-якому шляху, обмеже­ ному точками 1 і 2. Ця робота дорівнюватиме зменшенню функції (7(f) на шляху 1—2,що дає підставу трактувати фізичну величину

U (г) як одиніз різновидів механічної енергії, якуназивають потен­ ціальною.

Кожній точці потенціального поля відповідає деяке значення сили F, що діє на тіло, і потенціальної енергії тіла U. Отже, між силою і потенціальною енергією має існувати певний зв’язок. Для встанов­ лення цього зв’язку використаємо вираз для елементарної роботи ΔΑ (2.37), яку здійснюють сили поля при малому переміщенні тіла As, що відбувається вздовж довільно обраного напряму в просторі, який позначимо літерою s.

Оскільки у цьому разі робота здійснюється за рахунок запасу по­ тенціальної енергії, вона дорівнює зменшенню потенціальної енергії

Звідси маємо середнє значення Fs на відрізку As. Щоб дістати значення Fg у даній точці, треба виконати граничний перехід

AU

Fs = lim-^rf. (2.47) д«—>0 As

Оскільки U змінюється не лише при переміщенні вздовж осі S , а й при переміщенні вздовж інших напрямів, то границя у формулі (2.47)

73

є частинною похідною від U по осі s:

Для сил, що залежать лише від положення тіла, може трапитись, що робота, яку вони здійснюють над тілом, не залежить від шляху, а визначається лише початковим і кінцевим положеннями тіла у прос­ торі. У цьому разі поле сил називають потенціальним, а самі сили — консервативними. Сили, робота яких залежить від шляху, яким тіло переходить з одного положення в інше, називають неконсервативними. Прикладом неконсервативних сил можуть бути сили тертя.

Розглянемо, як змінюються кінетична і потенціальна енергії будьякої ізольованої системи, в якій діють лише консервативні сили. Елементарна робота консервативних сил дорівнює взятій з проти­ лежним знаком елементарній зміні потенціальної енергії (2.45). Крім того, оскільки інші сили в консервативній системі не діють, то та сама елементарна робота дорівнює елементарній зміні кінетичної енергії. Отже, cLA = dEK = ~dEn або d (Ек + Επ) = 0, звідки

Ця рівність є виразом закону збереження механічної енергії, який стверджує, що повна механічна енергія консервативної системи не змінюється. Один з основних законів механіки — закон збереження енергії — можна сформулювати так: повна механічна енергія замкне­ ної системи тіл, між якими діють лише консервативні сили, зали­ шається сталою.

У СІ одиницею роботи є джоуль (Дж), що дорівнює роботі, яку здійснює сила в 1 Н на шляху в 1 м, а в СГС — ерг, що дорівнює роботі, яку здійснює сила в 1 дин на шляху в 1 см. Між одиницями роботи існує співвідношення:

1 Дж = 1 Η · 1 м = 105 дин · 102 см = 107 ерг.

Енергія виражається в тих самих одиницях, що й робота.

2.16. Поступальний і обертальний рухи твердого тіла

Розглядаючи рух твердого тіла, розрізняють поступальний і обер­ тальний рухи. Поступальним рухом твердого тіла називають такий його рух, при якому будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається паралельною самій собі.

Обертальним рухом твердого тіла називають такий його рух, при якому всі точки, з яких складається тіло, описують кола, що лежать у паралельних площинах, а геометричне місце центрів цих кіл утво­ рює пряму, яку називають віссю обертання.

74

Розглянемо поступальний і обертальний рухи абсолютно твердого тіла.

Поступальний рух абсолютно твердого тіла можна описати рухом окремої його точки. Як зазначалося в підрозділі 1.1, абсолютно твер­ дим називають тіло, яке не змінює своєї форми при будь-яких діях. Інакше кажучи, відстань між будь-якими точками абсолютно твер­ дого тіла залишиться сталою за всіх умов. Звичайно, таких тіл у природі не існує. Це поняття є зручною ідеалізацією, справедливою лише тоді, коли можна нехтувати деформацією тіл.

Якщо абсолютно тверде тіло переміщується поступально зі швид­ кістю у, то й будь-яка його точка матиме таку саму швидкість. Умовно поділимо тіло А на η частин і знайдемо його кінетичну енергію як суму кінетичних енергій його частин:

де Μ — маса тіла; ті — маса його і-'і частини.

Отже, кінетичну енергію твердого тіла, яке поступально рухає­ ться, можна визначити з формули, аналогічної формулі для кіне­ тичної енергії матеріальної точки.

Якщо тверде тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю ω, то лінійна швидкість окремих точок збільшуватиметься зі збільшенням відстані від осі обертання відповідно до формули (1.21).

η

де I = Σ miri — момент інерції тіла. і=1

Момент інерції будь-якого тіла є фізичною величиною, яка врахо­ вує масу і її просторове розміщення відносно осі обертання. Момен­ том інерції матеріальної точки називають добуток маси точки на квадрат відстані її від осі обертання:

Скориставшись формулою (2.53), можна визначити моменти інерції різних тіл. Наприклад, момент інерції тонкого кільця відносно гео-

метричної осі І - т г 2 , диска І - т г 2 /2 , кулі І - 2mr2 /5 тощо. Розглянемо тіло, яке обертається з кутовоюшвидкістю ω(рис. 2.9)

і під дієюсили F, що прикладена доточки А на відстані г від осі

75

ють моментом імпульсу. Вираз (2.56) називають основним рівнян­ ням динаміки обертального руху твердого тіла. Запишемо його так:

Mdt=d(I(i>). (2.57)

Якщо на систему не діють зовнішні сили або рівнодійна їх не створює моменту сил відносно осі обертання, то М = 0 і вираз (2.57)

Отже, якщо на систему не діють моменти зовнішніх сил, то мо­ мент імпульсу її залишається сталим. Це закон збереження моменту імпульсу.

Наведемо приклади, що ілюструють закон збереження моменту імпульсу. Кулька утримується на нитці, що намотується на палку. Із зменшенням довжини нитки зменшується момент інерції кульки і, отже, збільшується кутова швидкість. Гімнаст під час стрибка через голову притискує до тулуба руки й ноги. Цим він зменшує свій момент інерції, а оскільки добуток /ω має залишатися незмінним, то кутова швидкість обертання ω збільшується, і за короткий проміжок часу, поки гімнаст перебуває в повітрі, він робить повний оберт, а то й кілька.

76

2.17. Коливання. Гармонічні коливання

Коливаннями називають процеси, що відбуваються з точним або наближеним повторенням станів системи. Така повторюваність влас­ тива, наприклад, коливанням маятника годинника, коливанням стру­ ни, зміні напруги між обкладками конденсатора в контурі радіо­ приймача тощо.

Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розріз­ няють коливання механічні, електромеханічні, електромагнітні тощо. У цьому розділі розглянемо механічні коливання.

Залежно від характеру дії на систему, що коливається, розрізня­ ють вільні (або власні), вимушені, параметричні коливання та автоколивання. Найпростішими є гармонічні коливання, тобто такі, коли значення, що змінюється при коливаннях (наприклад, відхилення маятника від положення рівноваги), змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Цей різновид коливань важливо розглянути з таких причин: по-перше, коливання, що спостерігаються в природі й техніці, за своїм характером наближаються до гармонічних, а, подруге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можна уявити як накладання кількох гармонічних коливань. Коли­ вальний рух має особливо простий характер тоді, коли зворотна сила збільшується пропорційно зміщенню від положення рівноваги тіла, що коливається. Саме у цьому разі відбуваються гармонічні коли­ вання.

Розглянемо гармонічні коливання суто тематично. Нехай точка В (рис. 2.10) рухається по колу радіуса а зі сталою кутовою швидкістю ω. Простежимо за рухом точки С (проекції В на вертикальну вісь). У момент часу t = 0 радіус ОВ займав положення ОА. Тоді в момент часу t радіус ОВ повернеться з початкового положення ОА на кут ер. Зміщення х точки Су що дорівнює відрізку ОС, визначається так:

Кут φ називають фазою коливання точки С.

Якщо 2π є довжиною дуги повного кола в кутових одиницях, а Т — час обходу точкою В повного кола, то кутова швидкість до­ рівнює

2π ω = -ξγ (2.60)

Τ *

Величину ω також називають коловою, або циклічною, частотою. Звідси неважко виразити фазу φ через ω:

(2.61)

77