Фізика (Чоплан П.П

Частина 1

МЕХАНІКА

Кінематика. Одиниці фізичних величин. Динаміка матеріальної точки: закони Ньютона, принцип відносності Галілея, детермінізм Лапласа тощо. Закон всесвітнього тяжіння. Сила Коріоліса. Поступальний і обертальний рухи твердого тіла. Механічні коливання та хвилі, явище Доплера. Основи механіки суцільного середовища: рівняння гідростатики, гідродинаміка іде­ альної та в'язкої рідини. Елементи теорії пружності.

Розділ 1 КІНЕМАТИКА

1.1. Механіка. Система відліку. Матеріальна точка

Механіка — це наука про найпростішу форму руху тіл (механіч­ ний рух, або переміщення). Рух у широкому філософському розумін­ ні — це зміна взагалі, будь-яка зміна чи процес: фізичний, хімічний, біологічний тощо.

Під механічним рухом розуміють зміну положення тіла з часом відносно іншого тіла або системи тіл, що умовно вважають нерухо­ мими. Таку систему тіл разом із годинником називають системою відліку. Годинником може бути будь-який періодичний процес: ко­ ливання маятника, обертання Землі, електромагнітні коливання тощо.

Для строгого математичного описання руху з системою відліку пов’язують систему координат, наприклад декартову. Між системою відліку й системою координат є істотна відмінність. Систему відліку утворюють реальні тіла, а система координат є математичною абст­ ракцією. Для того щоб описати рух, умовимось, відносно якого іншого тіла (або групи нерухомих один щодо одного тіл) відраховуватиметь­ ся переміщення певного тіла. Обране для цього тіло (або група тіл) утворює разом із годинником систему відліку.

39

Координати тіла визначають його положення у просторі. Оскіль­ ки тіло рухається як у просторі, так і в часі, для описайня руху потрібно також відлічувати час.

Маючи координатну систему, що пов’язана з обраним тілом відліку та годинником, можна приступати до описання руху тіла.

Тіло, деформаціями якого в умовах розв’язування задачі можна знехтувати, називають абсолютно твердим.

Тіло, розмірами якого в умовах певної задачі можна знехтувати, називають матеріальною точкою.

Можна певне конкретне тіло вважати матеріальною точкою чи ні — це залежить не від розмірів самого тіла, а від умови задачі. Те саме тіло в одних умовах можна вважати матеріальною точкою, а в інших його треба розглядати як таке, що має протяжність.

Будь-який рух твердого тіла можна розкласти на два головних види — поступальний і обертальний.

Поступальний рух — це такий рух, при якому будь-яка пряма, проведена в тілі, що рухається, залишається паралельною сама собі.

При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній прямій, що її називають віссю обертання. Вісь обертання може бути поза тілом. Далі під рухом розумітимемо меха­ нічний рух, а під тілом — матеріальну точку. Лінію, що її описує під час руху матеріальна точка, називають траєкторією. За формою траєк­ торії рухи поділяють на прямолінійні й криволінійні. Відстань, яку відраховано вздовж траєкторії, називають пройденим шляхом.

Механіку поділяють на три розділи: кінематику, статику і динамі­ ку. Кінематика вивчає рух тіл без урахування причин, що зумовлюють цей рух. Статика розглядає умови рівноваги тіл. Динаміка вивчає рух тіл у зв’язку з тими причинами (взаємодією між тілами), які породжують той чи інший характер руху. Оскільки рівновага — окре­ мий випадок руху, закони статики випливають із законів динаміки.

1.2. Швидкість

Положення матеріальної точки у просторі можна задати за допо­ могою радіуса-вектора г. Зафіксуємо певний момент часу t. Йому відповідає значення f\ радіуса-вектора (рис. 1.1). Протягом наступ­ ного (після моменту t) невеликого проміжку часу At (називатимемо його елементарним) точка проходить елементарний шлях і дістає елементарне переміщення Аг , яке збігається з приростом радіусавектора за час At.

Відношення

є векторною величиною, що залежить від проміжку часу At. При досить малих значеннях At вектор (1.1) практично припиняє зміню­

40

ватись як за числовим значенням, так і за напрямом. Отже, при А* —>0 відношення (1.1) прямує до певної границі, яку назива­ ють швидкістю ϋ точки, що рухається, в момент часу t:

( 1. 2)

Δί—>0 At

Отже, швидкістю називають границю, до якої прямує відношення Аг / At при необме­ женому зменшенні At. Швидкість можна ви­ значити як похідну від радіуса-вектора точ­

Як випливає з означення, швидкість — величина векторна. Век­ тор швидкості має напрям, що збігається з напрямом дотичної до траєкторії в певній точці.

Відповідно до формули (1.2) модуль вектора швидкості запишемо так:

Тут замість |Аг| не можна писати Аг. Символ |Аг| означає модуль приросту вектора г, тоді як Аг — приріст модуля цього вектора А|г|. Ці величини не дорівнюють одна одній: |Аг| ФА|г| = Аг.

Елементарний шлях As у загальному випадку відрізняється за числовим значенням від модуля елементарного переміщення Аг (див. рис. 1.1). Проте для невеликих проміжків часу At різниця між As і |Аг| буде невеликою, до того ж зі зменшенням At шлях As зі зроста­ ючою точністю збігатиметься з |Аг|. На цій підставі запишемо, що

1і ш ^ = lim — , Δί—>0 At Δί—>θΑ*

звідки відповідно до (1.4) для модуля швидкості дістанемо

Формула (1.3) визначає вектор миттєвої швидкості, тобто швид­ кості для певного моменту часу. Середня швидкість визначається відно­ шенням пройденого шляху s до часу t, за який цей шлях подолано:

Швидкість виражається в метрах на секунду (СІ) та сантиметрах на секунду (СГС).

41

1.3. Прискорення. Прискорення при криволінійному русі

Градієнт швидкості матеріальної точки ΰ з часом t характеризу­ ють прискоренням

Прискорення виражається в метрах на секунду в квадраті (СІ) та сантиметрах на секунду в квадраті (СГС).

При прямолінійному русі вектор швидкості напрямлений уздовж однієї й тієї самої прямої — траєкторії, внаслідок чого напрям век­ тора а збігається з напрямом вектора ϋ або протилежний до нього. Якщо а збігається за напрямом із у, то швидкість збільшується і рух буде прискореним. Якщо а протилежне за напрямом до ϋ, то швидкість зменшується і рух буде сповільненим.

Прямолінійний рух зі сталим прискоренням називають рівнозмінним. Залежно від зміни швидкості в часі розрізняють рівномірно прискорений та рівномірно сповільнений рухи. При рівнозмінному

де ϋ — швидкість у момент часу t; DQ — швидкість у початковий момент часу (при t = 0); а — прискорення. При цьому вектори ϋ,

а напрямлені вздовж однієї прямої.

Визначимо прискорення точки у разі її руху по криволінійній траєкторії (рис. 1.2). Нехай у момент часу t точка була в положен­ ні А, а в момент часу t + t — у положенні Б. Швидкості ϋγ і ϋ2 у точках А і В напрямлені по дотичних до траєкторії в цих точках.

42

йназва цього вектора — нормальний (тобто перпендикулярний). Визначимо модуль нормального прискорення. Як видно з рис. 1.2,

для малого кута Δα можна записати

Отже, модуль an у деякій точці траєкторії дорівнює відношенню квадрата швидкості до радіуса кривизни траєкторії в цій самій точці: an = v 2 /R.

Якщо на нормалі до траєкторії відкласти в точці А одиничний вектор Я, що напрямлений до центра кривизни, то вектор нормаль­

Δί—>0 Δί

Зазначимо, що модуль вектора Αν' дорівнює за абсолютною вели­ чиною різниці модулів ν2 та ϋ^ (див. рис. 1.2). Тоді

Отже, значення тангенціального прискорення дорівнює першій похідній від швидкості за часом або другій похідній_від шляху. На­ прям вектора ατ визначається напрямом вектора Αν' 9який він на­ буває в граничному випадку, коли At —>0. Неважко побачити, що в граничному випадку вектор Αν' напрямлений по дотичній до траєк­ торії в точці А. Звідси і назва цього вектора — тангенціальний (до­ тичний). Якщо ввести одиничний вектор τ, дотичний до траєкторії і напрямлений у бік руху точки, то вектор тангенціального приско­ рення можна записати так:

43

Вектор άτ показує, як змінюється швидкість за числовим значен­ ням, а вектор ап характеризує зміну швидкості за напрямом. Отже, для повного прискорення запишемо

Модуль вектора загального прискорення знайдемо із співвідно­

1.4. Рух точки по колу

Рух матеріальної точки по колу є окремим випадком криволіній­ ного руху. Розглядаючи такі величини, як швидкість ϋ, прискорен­ ня а, радіус-вектор г, питання про вибір їхнього напряму не вини­ кало, оскільки воно випливало з їхньої природи. Подібні вектори називають полярними. Вектори типу άφ, напрям яких пов’язаний із напрямом обертання, називають аксіальними. У цьому разі кут мож­ на розглядати як вектор. Для дуже малих кутів повороту Δφ, оскіль­ ки шлях, що проходить матеріальна точка при такому малому пово­ роті, можна розглядати як прямолінійний.

Величину

де At — час, за який здійснюється поворот на кут Δφ, називають кутовою швидкістю точки. Вектор ω напрямлений уздовж осі, нав­ коло якої обертається тіло. Напрям обертання визначається за пра­ вилом правого гвинта. Кутова швидкість — це аксіальний вектор.

dt

лою кутовою швидкістю називають рівномірним, при цьому ω = φ/1. Отже, при рівномірному обертанні ω показує, на який кут повер­ тається тіло за одиницю часу.

Рівномірний рух можна характеризувати періодом 7і. Це час, про­ тягом якого тіло робить один оберт, тобто повертається на кут 2п. Оскільки проміжку часу At = Т відповідає кут φ = 2π, то

44

Тоді

ω = 27τν.

Вектор ώ може змінюватись як унаслідок зміни швидкості обер­ тання тіла навколо осі (у цьому разі він змінюється за довжиною),

Δώ. Зміну вектора кутової швидкості з часом характеризують куто­ вим прискоренням

Вектор β, як і ώ, є аксіальним. Якщо напрям осі обертання в просторі залишається сталим, то кутова швидкість змінюється лише за числовим значенням і |А6Ь|= Δω. У цьому разі з формули (1.17) дістанемо

Вираз (1.18) запишемо у векторній формі

де β — алгебраїчна величина, яка додатна, якщо ω з часом збільшуєть­ ся (у цьому разі вектори β та ώ мають однаковий напрям), і від’ємна, якщо ω зменшується (у цьому разі напрями Р та ω протилежні).

Лінійна швидкість υ визначається кутовою швидкістю обертан­ ня тіла ω та відстанню г матеріальної точки від осі обертання. Нехай за малий проміжок часу At тіло повертається на кут Δφ. Точка, яка розміщується на відстані г від осі, проходить при цьому шлях

У векторній формі ϋ = [ώ, г]. Отже, чим далі розміщується точка від осі обертання, тим з більшою лінійною швидкістю вона рухається.

Знайдемо зв’язок модулів лінійного та кутового прискорення, покладаючи, що г = const. Тоді, виходячи з (1.18), запишемо

45

При рівномірному русі точки по колу модуль швидкості зали­ шається сталим, але напрям її безперервно змінюється. Розглянемо два вектори швидкості тіла через невеликий проміжок часу Δί. Віднімаючи перше значення швидкості від наступного и2> діста­ немо приріст Δϋ (рис. 1.3). За загальним правилом дії над вектора­ ми можна перенести початок векторів швидкості в одну точку (пара­ лельне перенесення). Напрям цих векторів збігається з напрямом дотичної до кола в тій точці, де лежить точка у певний момент. Вектор Δϋ не буде перпендикулярним ні до iJj, ні до ϋ2· Проте при Δί —>0 і Δϋ —>0 напрям вектора Δϋ стає перпендикулярним до век­ тора швидкості ϋ.

Отже, нескінченно малий приріст вектора dv перпендикулярний до вектора ϋ, тому прискорення ап = ^ перпендикулярне до швид­

кості йнапрямлене до центра кола. Значенняприскорення можна

пов’язати зі значенням швидкості ϋ руху тіла по колуй значенням радіуса г. При малому Δφ

де η — одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом век­

Розділивши на Δί праву і ліву частини (1.24) і зробивши відповідні

Знайдене прискорення напрямлене вздовж нормалі до траєкторії, тобто воно є нормальним.

Якщо матеріальна точка рухається по колу нерівномірно, то крім нормального (його у разі руху по колу називають ще доцентровим)

46

яке характеризує зміну швидкості за числовим значенням. Урахову­ ючи вираз (1 .21), для тангенціального прискорення дістанемо

(1.28)

Отже, тангенціальне прискорення зростає лінійно зі збільшен­ ням відстані від осі обертання. Остаточно для вектора прискорення (рис. 1.4) запишемо

1.5. Одиниці фізичних величин

Фізична величина — характеристика однієї з властивостей фізич­ ного об’єкта (фізичної системи, явища або процесу), спільна в якісно­ му відношенні для багатьох фізичних об’єктів, проте в кількісному відношенні індивідуальна у кожного з них. Термін «величина» не треба застосовувати для позначення тільки якісного боку досліджуваної влас­ тивості, наприклад писати «величина маси», «величина тиску», «ве­ личина сили», бо ці властивості (маса, тиск, сила) самі є величинами.

Утаких випадках слід застосовувати термін «розмір величини». Розмір фізичної величини — кількісна означеність фізичної вели­

чини, властива конкретному матеріальному об’єкту, системі, явищу або процесу. Часто в словосполученні «розмір величини» слово «роз­ мір» відкидають або замінюють на «значення величини».

Значення фізичної величини — оцінка розміру фізичної величини у вигляді певного числа прийнятих для неї одиниць (наприклад, 25 м, 68 кг). Не слід використовувати словосполучення «вимірювання зна­ чення величини» тому, що значення величини — це результат закін­ ченого вимірювання.

47