Фізика (Чоплан П.П

У ньютонівській механіці простір і час розглядаються як об’єктивні форми існування матерії, але у відриві один від одного та від руху матеріальних тіл. І. Ньютон вважав, що тіла та їхні рухи аж ніяк не впливають на перебіг часу та властивості простору. Його погляди на матерію, простір і час, їхній взаємозв’язок суперечливі.

Крім відносного часу та відносного простору, які характерні для повсякденного життя, І. Ньютон вводить поняття абсолютного часу та абсолютного простору, що існують незалежно від процесів і тіл. Абсолютний простір за своєю суттю безвідносний до всього зовніш­ нього, залишається завжди однаковим, нерухомим. Абсолютний час сам по собі і за своєю суттю, без всякого відношення до чогось зов­ нішнього, плине рівномірно. Його називають ще тривалістю.

Абсолютний час і абсолютний простір існують незалежно від тіл і процесів у природі, незалежно один від одного. Взаємозв’язок між абсолютним простором та тілами, за Ньютоном, має такий характер: простір є необмеженим вмістилищем матеріальних тіл, в якому відбу­ ваються процеси природи і яке існує як порожня місткість, що має в усіх напрямах однакові властивості. Ці погляди, що відокремлюють простір і час від матерії та один від одного, дістали свій конкретний вираз у «теорії далекодії», яка ґрунтується на метафізичному відриві простору і часу від матерії, на визнанні порожнього простору, позбав­ леного матеріальних предметів і процесів. Захищаючи теорію далеко­ дії, прихильники її заперечували нерозривний зв’язок простору, часу і матерії. Проте якщо немає порожнього простору, позбавленого будьяких видів матерії та матеріальних процесів, то взаємодія між тіла­ ми відбуватиметься обов’язково за участю проміжного середовища, яке розділяє їх. При цьому вона передаватиметься з деякою скінчен­ ною швидкістю, а сигнал, що йде від одного тіла до іншого, спричи­ нить у просторі, що оточує їх, певні матеріальні процеси, що потре­ бують певного проміжку часу. В цьому полягає головна ідея теорії близькодії.

І. Ньютон був першим, хто сформулював повну систему прин­ ципів механіки і на їхній підставі побудував струнку будівлю цієї науки. Досягнення механіки Ньютона, а також його науковий авто­ ритет майже на 200 років відвернули увагу вчених від недоліків його механіки. Серйозне критичне ставлення до механіки Ньютона з’явилося лише у другій половині XIX ст.

Після Ньютона механіка швидко розвивалась. Проте нічого принципово нового до фізичних основ механіки не було внесено аж до XX ст., коли положення змінилося з розвитком А. Ейнштейном теорії відносності. Теорія відносності підказала, а дослід підтвердив, що механіку Ньютона не можна застосовувати для описання руху частинок, швидкість яких наближається до швидкості світла у ваку­ умі. Дослід свідчить, що класичний підхід не можна застосовувати до вивчення явищ мікросвіту, точніше його застосовують до цього

88

П р и м і т к а . М — маса тіла; т а — маса атома; υ — швидкість тіла; с — швидкість світла у вакуумі; h — стала Планка.

кола явищ обмежено. Адекватне описання явищ мікросвіту дає кван­ това механіка, яка істотно відрізняється від класичної.

Механіка Ньютона може характеризуватись як класична нерелятивістська механіка. Це означає, що вона вивчає повільні рухи макротіл. Релятивістська механіка є більш загальною теорією по­ рівняно з механікою Ньютона. Остання міститься в ній як наближе­ ний граничний випадок. Релятивістська механіка переходить у ме­ ханіку Ньютона у разі повільних рухів. Квантова механіка перехо­ дить у механіку Ньютона, якщо тіла мають досить великі маси і рухаються в силових полях, що плавно змінюються.

Умовно зв’язок механіки Ньютона з іншими розділами сучасної фізики подано в табл. 2.1.

Отже, механіка Ньютона не втратила свого значення до цього часу. Відмовлятися від механіки Ньютона вимушені лише поза межами її застосовності, коли вона призводить або до неправильних, або до недостатньо точних результатів. Такими, наприклад, є задачі про рух заряджених частинок у прискорювачах, де слід використовува­ ти рівняння релятивістської механіки, і про рух електронів у ато­ мах, які розв’язуються за допомогою квантової механіки.

Контрольні запитання і завдання

1.Щ о називають масою тіла?

2.Який фізичний зміст поняття сили?

3.Сформулюйте закони Ньютона.

4.Запишіть перетворення Галілея.

5.Сформулюйте принцип відносності Галілея.

6.Дайте визначення закону збереження імпульсу.

7.В яких системах відліку діють сили інерції?

8.Чому в північній півкулі ріки підмивають правий берег і праві рейки залізнич­ них колій зношуються більше, ніж ліві?

9.Що таке вага тіла і від чого вона залежить?

10.Запишіть умови запуску штучного супутника Землі та умови подолання зем­ ного тяжіння. Вирахуйте першу і другу космічні швидкості.

11.Чому для запуску штучних супутників Землі та космічних кораблів застосо­ вують багатоступінчасті ракети?

89

12.У чому полягає відмінність між поняттями енергії і роботи?

13.Які рухи називають гармонічними коливаннями?

14.Що називають математичним маятником?

15.Що таке хвиля? Дайте визначення поперечної і поздовжньої хвиль.

16.Які хвилі називають когерентними?

17.Що називають фронтом хвилі? Яку форму він має, якщо джерело коливань точкове і середовище однорідне?

18.Який діапазон частот звукових хвиль?

Розділ З ОСНОВИ МЕХАНІКИ СУЦІЛЬНОГО СЕРЕДОВИЩА

3.1. Основні рівняння гідростатики

Хоча за своїми властивостями рідини і гази багато в чому відрізня­ ються одне від одного, існує загальна властивість, що об’єднує їх, — плинність, тобто їх малий опір до деформації зсуву. Отже, досліджую­ чи рух рідин і газів, використовуємо єдиний підхід. Розділ механі­ ки, що вивчає рівновагу та рух рідин і газів, їх взаємодію між собою та обтічними твердими тілами, називають гідроаеромеханікою.

У гідроаеромеханіці нехтують молекулярною будовою рідин і газів, сприймаючи їх як суцільне середовище, неперервно розподілене в просторі. Густина рідин і газів у загальному випадку залежить від тиску. Проте у багатьох задачах цією залежністю можна нехтувати і користуватися єдиним поняттям нестисливої рідини — рідини, гус­ тина якої завжди стала і не залежить від часу.

Якщо в нерухомій рідині помістити тонку пластину, то частинки рідини, що розміщуються з різних боків від неї, діятимуть на кож­ ний її елемент As із силами AF, які незалежно від орієнтації пласти­ ни будуть рівні за модулем і напрямлені перпендикулярно до пло­ щини As, оскільки наявність дотичних сил привела б частинки ріди­ ни в рух і рівновага порушилася б (рис. 3.1).

Фізичну величину, що дорівнює відношенню нормальної сили, яка діє з боку рідини на будь-яку площину, до її площі, називають

тиском рідини р:

Одиниця тиску — паскаль (Па): один паскаль дорівнює тиску, що створює сила в один ньютон, рівномірно розподілена по нормальній

до неї поверхні площею 1 м2

Для рідини, що перебуває в рівновазі, виконується закон Паска­ ля: тиск у рідині чи газі передається в усіх напрямах однаково.

90

Розглянемо, як впливає сила тяжіння на розподіл тиску всере­ дині нерухомої нестисливої рідини, що перебуває у спокої. Умовно виділимо в рідині елемент певної форми, наприклад паралелепіпед, площа основи якого As, а висота h (рис. 3.2). Оскільки рідина цього об’єму перебуває у спокої, то рівнодійна всіх сил, що діють на об’єм рідини, дорівнює нулю, а сили, що діють на бічну поверхню, взаєм­ но зрівноважуються. Щоб знайти умови рівноваги паралелепіпеда у вертикальному напрямі, треба врахувати тиски р1 і р2> Щ° Діють на верхню і нижню основи паралелепіпеда. Запишемо умову рівно­ ваги для вертикального напряму:

де ρgh — гідростатичний тиск рідини, зумовлений дією земного тя­ жіння; р — густина рідини.

Рівняння (3.2) є основним рівнянням гідростатики для нестис­ ливої рідини.

Гідростатичний тиск рідини залежить від густини рідини р та висоти її стовпа і не залежить від форми посудини, в якій зберігає­ ться рідина. Отже, якщо тиск на вільну поверхню нерухомої рідини р0, т о гідростатичний тиск на глибині h визначають рівнянням (3.2).

Відповідно до цього рівняння сила тиску на нижні шари рідини буде більша, ніж на верхні, а тому на тіло, занурене в рідину, діє виштовхувальна сила, яка визначається законом Архімеда: на тіло, занурене в рідину (газ), діє з боку цієї рідини напрямлена вгору ви­ штовхувальна сила, яка дорівнює вазі витісненої тілом рідини (газу):

де FA — сила Архімеда; р — густина рідини; V — об’єм зануреного в рідину тіла.

Для вимірювання гідростатичного тиску застосовують маноме­ три. Найпростіший тип манометра має вигляд U-подібної трубки, один кінець якої з’єднується з посудиною, в якій вимірюється тиск, дру­

91

гий — з атмосферою або запаяний і повітря з нього відкачано. За різни­ цею рівнів рідин у колінах манометра визначають тиск у посудині.

Великі тиски вимірюють металевими манометрами, в яких мета­ лева пружна трубка приєднується до резервуара, де вимірюється тиск. При зміні тиску змінюється конфігурація трубки. Її зміна фіксуєть­ ся стрілкою чи іншим показником тиску. Низькі й високі тиски ви­ мірюють приладами, дія яких ґрунтується на залежності електрич­ ного опору манганінової дротини від тиску або електричних власти­ востей кварцових пластинок від тиску (п’єзоелектричний ефект).

Манометри складаються з чутливого елемента і елемента, який тиск перетворює в іншу величину, зручну для вимірювання. За ти­ пом чутливого елемента манометри поділяють на рідинні, механічні, поршневі, електричні, теплові, радіоактивні тощо.

3.2. Гідродинаміка ідеальної рідини

Завдання гідродинаміки полягає в тому, щоб знайти співвідно­ шення, які дають можливість за числовими значеннями сил описати стан руху рідини або за станом руху рідини знайти діючі сили.

Рух рідини або газу можна вивчати двома методами. За допомо­ гою першого методу вивчають рух кожної частинки окремо. Він по­ требує визначення кінетичних характеристик руху (переміщення, швидкість, прискорення) частинок рідини при переміщеннях їх у просторі й часі. Такий метод вивчення стану руху рідини запропону­ вав французький математик і механік Ж. Лагранж (1736—1813), тому його називають методом Лагранжа. Одержання законів руху рідини за методом Лагранжа пов’язане зі значними математичними труднощами, тому на практиці користуються іншим методом. Спо­ стерігають не за рухом кожної частинки рідини, а в потоці рідини виділяють фіксований елементарний об’єм і вивчають, що відбуваєть­ ся з часом у кожній точці виділеного об’єму. Такий метод вивчення стану руху рідини розробив видатний математик і фізик Л. Ейлер (1707—1783). Його називають методом Ейлера. За цим методом ана­ лізують не швидкості й прискорення частинок рідини, а швидкості й прискорення потоку рідини.

Вивчаючи рух рідини, користуються ідеалізованим об’єктом або рідиною, яку називають ідеальною, тобто рідиною, яка абсолютно нестислива і повністю позбавлена внутрішнього тертя.

Потік рідини або газу називають стаціонарним, якщо його швидкість в усіх точках простору з часом не змінюється.

Для полегшення аналізу руху рідини або газу користуються лінія­ ми і трубками течії. Під лінією течії розуміють лінію, дотична до якої в кожній точці збігається з вектором швидкості ν (рис. 3.3).

Лінія течії і траєкторія руху частинки в загальному випадку не збігаються. Траєкторія показує шлях тієї самої частинки за весь час

92

Рис. 3.3 Рис. 3.4

її руху. Лінія течії характеризує напрям руху нескінченної множи­ ни частинок, які у певний момент часу розміщуються на лінії. Тільки при стаціонарному потоці рідини або газу лінії течії збігаються з траєкторіями руху частинок. Для нестаціонарних потоків такого збігу немає.

Частину рідини, обмежену лініями течії, називають трубкою течії. Всі частинки, що містяться всередині трубки течії, не виходять за межі трубки, і жодна з частинок, які залишаються за межами труб­ ки течії, не проникає в неї. Трубка течії має вигляд трубки з жорст­ кою бічною поверхнею, по якій протікає рідина. Якщо поперечний переріз трубки течії малий, то можна вважати, що швидкість рідини для всіх точок заданого перерізу однакова.

Течію рідини називають усталеною (або стаціонарною), якщо форма і розміщення ліній течїі, а також значення швидкостей у кожній точці поперечного перерізу з часом не змінюються.

Розглянемо будь-яку трубку течії. Виберемо два її перерізи і s2 (рис. 3.4). За час At через довільний переріз s пройде об’єм рідини svAt; отже, за 1 с через s1 пройде об’єм рідини де υ1 — швидкість течії рідини в перерізі Sj. Через s2 за 1 с пройде об’єм рідини s2υ2, де υ2 — швидкість течії рідини в перерізі s2. Якщо рідина нестислива,

Отже, добуток швидкості течїі нестисливої рідини на площу по­ перечного перерізу трубки течії є величиною сталою для цієї трубки течїі.

Співвідношення (3.4) називають рівнянням нерозривності для не­ стисливої рідини. Його можна застосувати не тільки до реальних рідин, а й до газів.

Виділимо в ідеальній рідині, що рухається стаціонарно, трубку течії малого перерізу. Розглянемо об’єм, обмежений перерізами s1 та s2 і стінками трубки течії. За досить малий час At цей об’єм зміститься ВЗДОВЖ трубки течії, причому переріз S i займе положення s [ 9 про­ йшовши шлях = V i At, а переріз s 2 займе положення s 2' , пройшов­ ши шлях Аі2 = v2At.

93

Завдяки нерозривності струменя заштриховані об’єми матимуть одна­ ковий розмір (рис. 3.5):

= AV2 = s2AZ2 = s2v2At = AV.

Енергія кожної частинки рідини складається з її кінетичної енергії й потенціальної енергії в полі сил тя­ жіння. Внаслідок стаціонарності течії частинка, що знаходиться через час

Af у будь-якій із точок незаштрихованої частини цього об’єму, має таку саму швидкість, яку мала частинка, що була в тій самій точці в початковий момент часу. Тому приріст енергії можна визначити як різницю енергій заштрихованих об’ємів Δν^ і AV2.

Візьмемо переріз трубки течії s і відрізок АІ настільки малими, щоб усім точкам кожного із заштрихованих об’ємів можна було на­ дати одне і те саме значення швидкості у, тиску р і висоти h. Тоді приріст енергії

Оскільки маси заштрихованих об’ємів однакові

Ащ = рАТ^ = Алі2 = pAV2 = pAV\

де р — густина рідини,

В ідеальній рідині сил тертя немає. Тому приріст енергії АЕ має дорівнювати роботі, яку виконують сили тиску над виділеними об’є­ мами. Сили тиску на бокову поверхню перпендикулярні в кожній точці до напряму переміщення частинок, до яких вони прикладені, внаслідок чого вони роботи не виконують. Відмінна від нуля лише робота сил= р1s1 і F2 = - p2s2, прикладених до перерізів sx і s2.

Сумарна робота дорівнює

А - F±Ali + F2Al2 - P\SiAli - p2s2A^ - - p2)AV. (3.6)

Порівнявши вирази (3.5) і (3.6) і зробивши деякі перетворення,

+ рх = ?ψ· + рgtl2 + р2.

94

Оскільки перерізи Sj і s2 взято довільно, то для будь-якого пере­ різу трубки течії виконується умова

„2

Рівняння (3.7) одержав Д. Бернуллі (1700—1782). Його назива­ ють рівнянням Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини.

Це рівняння є математичним виразом закону збереження енергії щодо усталеної течії ідеальної рідини. Експериментально доведено, що рівняння Бернуллі (3.7) можна застосовувати і для реальних рідин, в’язкість яких невелика, а також для газів, швидкість руху яких значно менша від швидкості поширення в них звуку. Величину р у

виявляється меншим у тих точках, де швидкість більша. Отже, при течії рідини по горизонтальній трубі, що має різні перерізи, швидкість рідини, згідно з рівнянням нерозривності, в місцях звуження більша, а статичний тиск менший, в більш широких місцях труби — навпаки. Це можна продемонструвати, встановивши вздовж труби ряд мано­ метрів (рис. 3.6). Повний тиск вимірюють трубкою Піто. Вона має вигляд зігнутої манометричної трубки, яку розміщують у рухомій рідині так, що її відкритий кінець повернутий назустріч течії рідини.

Досвід засвідчує, що в манометричній труб­ ці, прикріпленій до вузької частини труби в точці Б, рівень рідини нижчий, ніж в мано­ метричних трубках, прикріплених до широ­ кої частини труби в точках А і С.

95

Зменшення статичного тиску в точках, де швидкість потоку більша, покладено в основу роботи водоструминного насоса (рис. 3.7). Струмінь води подається в конусоподібну трубку, відкриту в атмосфе­ ру так, що тиск на виході із трубки дорівнює атмосферному. В місці звуження трубки вода тече з більшою швидкістю. В цьому місці тиск менший від атмосферного. Цей тиск установлюється також у відка­ чаній посудині, зв’язаній з трубкою через отвір у вузькій частині трубки. Повітря підхоплюється водою, що витікає з вузького кінця трубки з великою швидкістю. У такий спосіб можна відкачати по­ вітря із посудини до досить низьких тисків.

3.3. Гідродинаміка в'язкої рідини

В'язкість (внутрішнє тертя) — це властивість реальних рідин (газів) чинити опір переміщенню однієї частини рідини відносно іншої. При переміщенні одних шарів реальної рідини відносно інших ви­ никають сили внутрішнього тертя, що спрямовуються по дотичній до поверхні шарів. Дія цих сил виявляється в тому, що з боку шару, який рухається швидше, на шар, який рухається повільніше, діє прискорювальна сила. І навпаки, з боку шару, що рухається по­ вільніше, діє гальмівна сила на шар, який рухається швидше.

Сила внутрішнього тертя F тим більша, чим більша виділена пло­ ща поверхні шару s (рис. 3.8), і залежить від зміни швидкості течії рідини при переході від шару до шару. На рис. 3.8 показано два шари, які розміщуються один від одного на відстані Ах і рухаються зі швидкостями і ϋ2, при цьому ϋι - l>2 = Αϋ. Напрям, в якому відраховується відстань між шарами, перпендикулярний до швид­

кості течії шарів. Відношення Ах показує зміну швидкості при пе-

реході від шару до шару в напрямі х , перпендикулярному до напря­ му руху шарів, і називається градієнтом швидкості.

де коефіцієнт пропорційності η, що залежить від природи рідини, називається коефіцієнтом динамічної в'язкості (або просто в’язкіс­ тю). В’язкість виражається в паскаль-секундах (Па с): один пас- каль-секунда дорівнює коефіцієнту динамічної в'язкості середовища, в якому при ламінарній течїі і градієнті швидкості з модулем, що дорівнює 1 м/с на 1 м, виникає сила внутрішнього тертя в один нью­

тон на 1 м2 поверхні дотику шарів (і Па · с = 1 Н · с/м2 j. Чим більша

в’язкість, тим більше рідина відрізняється від ідеальної, тим більші сили внутрішнього тертя в ній виникають. В’язкість залежить від

96

температури, причому характер цієї за­ лежності для рідин і газів різний: зі збільшенням температури в’ язкість рідин зменшується, а газів, навпаки, збільшується. Це свідчить про різну природу в них механізмів внутрішньо­ го тертя. Від температури особливо за­ лежить в’язкість деяких масел. Наприк­ лад, в’язкість касторового масла за тем­ ператури 18...40 °С зменшується в чоти­ ри рази. Відомий фізик П. J1. Капиця

(1894—1984) відкрив надтекучий стан рідкого гелію, в’язкість яко­ го за температури 2,17 К дорівнює нулю.

Існує два режими течії рідин (газу). Течія називається ламінар­ ною, якщо вздовж потоку кожний виділений тонкий шар сковзає відносно сусідніх, не переміщуючись з ними, і турбулентною (вих­ ровою), якщо вздовж потоку відбуваються інтенсивне вихроутворення і перемішування рідини (газу). Ламінарна течія рідини спостері­ гається при відносно невеликих швидкостях її руху. Зовнішній шар рідини, що межує з поверхнею нерухомого твердого тіла, завдяки силам молекулярної взаємодії прилипає до неї і залишається неру­ хомим. Швидкість інших шарів буде тим більша, чим більша їх відстань від поверхні тіла.

При турбулентній течії частинки рідини мають складові швид­ кості, перпендикулярні до течії, тому вони можуть переходити з од­ ного шару в інший. Швидкість частинок рідини тим більша, чим далі вони перебувають від поверхні тіла. Оскільки частинки рідини переходять із одного шару в інший, то їхні швидкості в різних ша­ рах відрізняються мало. Завдяки великому градієнту швидкості бі­ ля поверхні тіла, як правило, утворюються вихори. Англійський учений О. Рейнольдс (1842—1912) установив, що характер течії залежить від безрозмірної величини, яку називають числом Рейнольдса:

(3.10)

де р — густина рідини; ν — середня швидкість рідини; г — харак­ терний лінійний розмір (наприклад, радіус труби, радіус кулі);

ν = — — коефіцієнт кінематичної в’язкості.

Р

При числах Рейнольдса, менших ніж 1000, спостерігається ламі­ нарна течія, при великих — турбулентна. Крім того, число Рейнольдса може бути критерієм подібності для різних течій одного і того само­ го типу (наприклад, обтікання куль різного радіуса рідинами різної

97