Фізика (Чоплан П.П

в’язкості). Течії, які можна одержати одну з іншої простою заміною масштабу вимі­ рювання координат і швидкостей, нази­ ваються подібними. Можна сказати, що течії однакового типу з однаковим числом Рейнольдса подібні — у цьому полягає суть

закону подібності.

Наведемо два характерних приклади ламінарної течії рідини.

Прик лад 1. Розглянемо капіляр ра­ діусом R і завдовжки І. У рідині подумки виділимо циліндричний шар радіусом г і завтовшки dr (рис. 3.9).

У цьому разі з внутрішнього боку діє сила внутрішнього тертя, що визначається співвідношенням (3.9):

де s = 2nrl — бокова поверхня циліндричного шару; знак «мінус» означає, що при збільшенні радіуса швидкість зменшується з набли­ женням до стінки капіляра.

Для усталеної течії рідини сила внутрішнього тертя зрівноважуєть­ ся різницею тисків на кінцях циліндра

F = пг2(р1 - р 2) = пг2Ар.

Звідси

-η2nrl 4^ = nr2Ар dr

або

dv = —2r\l rdr.

Припускаючи, що біля стінок відбувається прилипання рідини, тобто швидкість на відстані R від осі капіляра дорівнює нулю, після інтегрування дістанемо

! d v = - 2£ηίi l rdr

або

(3.11)

- Ι ί Η * 2 - ' 2)·

Цей вираз уперше одержав Ж. Пуазейль (1799—1869). Вектори швидкості частинок рідини розподіляються за параболічним зако­ ном, причому вершина параболи лежить на осі капіляра.

98

За допомогою виразу (3.11) легко визначити об’єм рідини, що витікає з капіляра за час t:

кульок у рідині, коли їхні розміри значно менші, ніж розміри посу­ дини, під дією сил тяжіння. На кульку, що падає в рідині верти-

рідини) і сила опору, вираз якої емпірично встановив Дж. Стокс (1819—1903); F3 = 6nrvr\ (υ — швидкість кульки). При рівномірно­ му русі кульки

FX = F2 +

або

I nr3pg = I nr3p0g + 6ππ>η.

Після простих перетворень дістанемо

2 ( p - p 0 ) g ^

9η

3.4. Елементи теорії пружності

Розглядаючи механіку твердого тіла, ми користувалися поняттям абсолютно твердого тіла. Однак у природі абсолютно твердих тіл не­ має, оскільки всі реальні тіла під дією сил змінюють свою форму і розміри, тобто деформуються.

Деформація називається пружною, якщо після припинення дії зовнішніх сил тіло відновлює первинні розміри і форму. Деформа­ цію, що зберігається в тілі після припинення дії зовнішніх сил, на­ зивають пластичною (або залишковою). Деформації реального тіла завжди пластичні, оскільки вони після припинення дії зовнішніх сил ніколи повністю не зникають. Проте якщо залишкові дефор­ мації досить малі, то ними можна нехтувати і розглядати їх як пружні, що ми і враховуватимемо надалі.

99

Силу, що діє на одиницю площі поперечного перерізу, називають

Якщо сила напрямлена по нормалі до поверхні, то напруження називається нормальним, а якщо по дотичній до поверхні — танген­ ціальним.

Кількісною мірою, що характеризує ступінь деформації тіла, є відносна деформація. Так, відносна зміна довжини стрижня (поздовж­

де d — діаметр стрижня. Величини ε і ε' завжди мають різні знаки (при розтягу величина АІ позитивна, a Ad — негативна; при стис­ ку, навпаки, АІ — негативна, a Ad — позитивна). Із досвіду випли­ ває взаємозв’язок ε і ε':

ε' = με,

де μ — позитивний коефіцієнт, що залежить від властивостей мате­ ріалу і називається коефіцієнтом Пуассона.

Англійський фізик Р. Гук (1635—1703) встановив, що для будьякої малої деформації сила пружності пропорційна деформації, або

для малих деформацій напруження σ, що виникає всередині тіла, прямо пропорційне відносній деформації ε (закон Гука):

де коефіцієнт пропорційності Е називають модулем Юнга. Із виразу (3.17) видно, що модуль Юнга визначається напруженням, що спри­

100

чинює відносне видовження, яке дорівнює одиниці. Знак мінус вказує на протилежний напрям напруження і деформації.

Із формул (3.14), (3.15) і (3.17) випливає, що

або

F = -Щ м = -кАІ

де k — коефіцієнт пружності. Вираз (3.18) випливає із закону Гука, відповідно до якого видовження стрижня при пружній деформації пропорційне силі, що діє на стрижень.

Деформація твердих тіл описується законом Гука до певної межі. Зв’язок між деформацією і напруженням можна показати у вигляді діаграми напружень, яку розглянемо для металевого зразка (рис. 3.11). Із рисунка видно, що лінійна залежність σ від ε, встановлена Гуком, виконується у дуже вузьких межах до так званої межі пропорцій­ ності σπ. При подальшому збільшенні напруження деформація ще пружна (хоча залежність σ(ε) уже нелінійна) і до межі пружності σπ' залишкові деформації не виникають. За межами пружності в тілі виникають залишкові деформації і графік, що описує повернен­ ня тіла в початкове положення, після припинення дії сили зобра­ зиться кривою CF, паралельною БО. Напруження, при якому виникає помітна залишкова деформація, називають межею текучості στ — точка С на кривій залежності σ(ε). У ділянці CD деформація зрос­ тає без збільшення напруження, тобто тіло немов би «тече». Цю об­ ласть називають ділянкою текучості (або пластичної деформації).

Матеріали, для яких ділянка плинності значна, називають в'яз­ кими, для яких її практично немає — крихкими. При подальшому розтягу (за точку D) тіло руйнується. Максимальне напруження, що виникає в тілі до руйнування, називають границею міцності σΜ. Діаграма напружень для реальних твердих тіл залежить від різних факторів. Одне й те саме тверде тіло може при короткочасній дії сил виявити крихкі властивості, а при тривалій дії і слабких силах —

101

__________Частина 2_________

МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

Статистичний метод у молекулярній фізиці. Атомістичні уявлення у фізиці. Ідеальний газ. Газ Ван дер Ваальса. Броунівський рух. Явища перене­ сення газів: дифузія, в'язкість і теплопровідність. Будова і властивості кристалів, аморфних тіл ірідин. Термодинамічний метод у фізиці. Енергія, робота і теплота. Перший і другий принципи термодинаміки. Енергетизм і причини його виникнення. Ентропія. Статистичний зміст другого прин­ ципу термодинаміки. Третій принцип термодинаміки, від'ємні темпера­ тури.

Розділ 4 ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ ГАЗІВ

4.1.Молекулярно-кінетична теорія

істатистичний метод у молекулярній фізиці

Молекулярна фізика вивчає фізичні властивості речовини в різних агрегатних станах — твердому, рідкому та газоподібному — у зв’яз­ ку з її будовою, міжмолекулярною взаємодією та особливостями руху молекул.

Відповідно до молекулярно-кінетичних уявлень будь-яке тіло — тверде, рідке або газоподібне — складається з великої кількості дуже малих частинок — молекул*. Молекули будь-якої речовини перебу­ вають у безладному, хаотичному русі, в якому не можна виділити переважного напряму, а інтенсивність його залежить від температу­ ри речовини.

Безпосереднім доказом існування хаотичного руху молекул є бро­ унівський рух. Це явище полягає в тому, що дуже малі (їх можна спостерігати лише за допомогою мікроскопа) завислі в рідині час­ тинки завжди перебувають у стані безперервного, безладного руху, який не залежить від зовнішніх причин, а є проявом внутрішнього руху частинок, з яких складається речовина. Броунівські частинки

*Атоми можна розглядати як одноатомні молекули.

103

рухаються під впливом безладних зіткнень з молекулами речовини. Молекулярно-кінетична теорія має на меті пояснити властивості тіл, що безпосередньо спостерігаються на досліді (тиск, температуру тощо), як сумарний ефект дії молекул. Для цього вона використовує статистичний метод, розглядаючи не рух окремих молекул, а лише деякі усереднені величини, які характеризують рух великої сукуп­

ності частинок.

Молекулярна фізика розглядає явища, які є результатом сукуп­ ності дії багатьох частинок. Ці явища, в яких бере участь величезна кількість частинок, підлягають законам великих чисел, або законам статистики.

Сукупність великої кількості молекул має властивості, яких не має кожна молекула окремо. Такими властивостями сукупності є, наприклад, тиск, температура, теплопровідність, в’язкість тощо. Тому рух такої сукупності молекул є вже новою, що якісно відрізняється від механічної, формою руху матерії, хоча рух кожної молекули окре­ мо підлягає законам механіки. Виникнення у сукупності молекул нових властивостей, яких немає в окремих молекулах, є одним з конкретних проявів положення діалектичного матеріалізму про ви­ никнення нової властивості внаслідок кількісних змін.

Існує певний якісний і кількісний зв’язок між властивостями су­ купності молекул і середніми значеннями тих фізичних властивостей, які характеризують поведінку та властивості кожної молекули окре­ мо. Наприклад, температура газу зв’язана із середнім значенням кіне­ тичної енергії молекули. Для встановлення цього зв’язку не потрібно точно знати положення або швидкість кожної окремої молекули, а досить знати ймовірні значення їх.

Статистика оперує середніми значеннями тих фізичних величин, які характеризують поведінку і властивості кожної окремої молеку­ ли. Тому ні напрям руху, ні швидкість окремої молекули, ні концен­ трація їх у кожному малому об’ємі тепер не відіграють істотної ролі, а важливі тільки середні значення цих величин. Уведення середніх значень величин у молекулярній фізиці зумовлене не лише тим, що ми не можемо стежити за рухом кожної молекули окремо через ве­ лику кількість їх, а й тим, що сукупність величезної кількості моле­ кул має нові властивості, яких немає в кожної молекули окремо, і підлягає новим статистичним законам.

Категорії ймовірності відіграють у науці всезростаючу роль і тісно пов’язані з пізнанням внутрішніх властивостей, з розкриттям внут­ рішньої структури відносно елементарних об’єктів. Динамічні зако­ ни діють тільки там, де можна не враховувати внутрішню структуру об’єктів. Урахування структури, аналіз багатьох фізичних властиво­ стей неодмінно пов’язані з уведенням ймовірностей і застосуванням ймовірнісних методів. Статистичні закони виражають об’єктивну необхідність у її нерозривному зв’язку з випадковістю, вони не нех­

104

тують випадковістю, а розглядають її як форму виявлення необхід­ ності.

Звертаючись до історії розвитку молекулярно-кінетичних уявлень, слід насамперед зазначити, що уявлення про атомістичну будову ре­ човини були висловлені ще стародавніми греками. Вони стверджу­ вали, що основою всіх речей є матерія, розуміючи під нею речовину.

Фалес уявляв матерію як нескінченний прояв основної речови­ ни — води. Анаксімен за єдину матеріальну першооснову брав по­ вітря. Основоположник старогрецької діалектики Геракліт пішов далі Фалеса та Анаксімена. Він стверджував, що світ єдиний із всього не створений ніким із богів і ніким із людей, а був, є і буде вічно жи­ вим вогнем, який закономірно спалахує і закономірно згасає.

За Гераклітом, вогонь є першоосновою, рухомою силою. Грецькі філософи Левкіпп (V ст. до н. е.), Демокріт (бл. 460—370 до н. е.) та Епікур (341—270 до н. е.) були впевнені в існуванні межі подільності матерії. З надзвичайною переконливістю, з поетичним пафосом вчення атомістів викладено у філософській поемі Лукреція Кара (бл. 96—55 до н. е.) під назвою «Про природу речей», що дійшла до наших днів. У грецьких філософів атоми неподільні в геометричному і механіч­ ному розумінні. Саме слово «атом» грецького походження і означає «неподільний». Взаємодію між атомами філософи-атомісти зводили до суто механічної, наділяючи атоми спеціальним механічним при­ строєм, щоб забезпечити їм можливість зчеплення.

У XVIII — XIX ст. вчені вважали, що існує спеціальний вид сил, так звані сили хімічної «спорідненості», внаслідок яких відбувається взаємодія між атомами і молекулами речовини. Тоді був поширений метод з’ясування нового явища введенням спеціальних сил.

Вагомий внесок у розвиток атомно-молекулярних уявлень зробив М. В. Ломоносов (1711—1765). Він піднявся до розуміння закону збе­ реження матерії і руху як єдиного і загального закону природи, чим випередив розвиток фізики більш як на півтораста років. М. В. Ло­ моносов є основоположником молекулярно-кінетичної теорії, він роз­ крив природу теплоти, зв’язаної з рухом частинок тіла, та взаємну перетворюваність теплової і механічної форм руху.

Велике значення для науки в цілому і для атомістичної теорії зокрема мало відкриття 1869 р. періодичного закону Д. І. Менде­ лєєвим, за допомогою якого він установив періодичну залежність властивостей простих тіл і сполук елементів від атомних мас еле­ ментів. На підставі цього закону Д. І. Менделєєв дійшов висновку, що кількість елементів обмежена, періодичність елементів є зако­ ном природи, передбачив існування ряду елементів та їхні власти­ вості. Ці далекосяжні теоретичні передбачення дали змогу на досліді перевірити закон, на багато років уперед вказати шлях розвитку не тільки хімії, а й фізики. До Д. І. Менделєєва хімічні елементи роз­ глядались ізольовано, поза зв’язком між ними, поза розвитком їх,

105

тому спроби систематизації елементів не давали істотних наслідків. Відкриття Д. І. Менделєєва було не тільки науковим, а й філософ­ ським узагальненням. Періодичний закон є одним із наочних проя­ вів діалектичного закону виникнення нової властивості в результаті кількісних змін.

Отже, у XIX ст. молекулярні уявлення закріпились у науці оста­ точно. Визнання реального існування атомів було покладено в осно­ ву молекулярно-кінетичної теорії газів Дж. Максвеллом, JI. Больцманом, Μ. М. Пироговим та іншими фізиками, які спирались у своїх наукових дослідженнях на матеріалістичні уявлення про навколишній світ.

4.2. Агрегатні стани речовини

Речовина залежно від термодинамічних параметрів — тиску, об’єму і температури — може перебувати в трьох агрегатних станах: твер­ дому, рідкому та газоподібному. Крім того, речовина за певних умов може бути в стані плазми. Сучасні агрегатні стани дещо нагадують чотири стихії давніх: Земля — твердий стан, вода — рідкий стан, повітря — газоподібний стан, вогонь — плазму.

Будова тіл і характер молекулярного руху визначаються силами взаємодії між молекулами, а сили взаємодії тим менші, чим більші міжмолекулярні відстані. У газах середня відстань між молекулами досить велика порівняно з розмірами молекули. Молекули рухають­ ся хаотично, змінюючи напрям руху при зіткненнях одна з одною або зі стінками посудини, але між зіткненнями молекули рухаються практично незалежно одна від одної, оскільки сили взаємодії малі.

Утвердих кристалічних тілах відстані між молекулами значно менші, ніж у газах, а тому міжмолекулярні сили більші. Через це молеку­ лярний рух у кристалах має зовсім інший характер, ніж у газах.

Укристалах молекули, атоми або йони (залежно від роду речовини) переходять з місця на місце порівняно рідко, більшу частину часу вони перебувають у коливальному русі відносно деяких нерухомих точок, або вузлів, які є положеннями рівноваги. Ці вузли розподіля­ ються в просторі залежно від характеру міжмолекулярної взаємодії. Підвищення температури твердого тіла призводить до збільшення амплітуди коливань молекул, відстаней між вузлами (розширення тіла від нагрівання) і, отже, до послаблення сил зчеплення. Від цьо­ го атоми частіше залишають свої вузли, а за певної температури, що називається температурою плавлення, зникає впорядкованість у розміщенні центрів коливань, ґратки руйнуються і відбувається пе­ рехід у рідкий стан.

Гази і кристали відрізняються будовою і характером молекуляр­ ного руху. Гази характеризуються хаотичністю, кристали — впоряд­ кованістю у розміщенні молекул. У цьому розумінні гази і кристали

106

мають протилежні властивості. У рідинах діалектично поєднуються ці протилежні властивості. Молекули газів рухаються поступально, а молекули кристалів коливаються навколо нерухомих положень рівноваги. Молекули рідин коливаються подібно до молекул крис­ талів, але положення рівноваги, відносно яких відбуваються коли­ вання, не залишаються нерухомими, як у кристалах, а час від часу зміщуються. У рідині виступають в єдності порядок, характерний для кристалів, і безпорядок, характерний для газів. Молекули ріди­ ни не так міцно зв’язані одна з одною, як молекули твердих тіл, але взаємодія між ними значно більша, ніж у газоподібному стані. Моле­ кули рідини можуть долати ці сили зв’язку. За певної температури молекули рідини мають різну швидкість і та чи інша молекула може набути достатньої енергії для подолання сил зв’язку. Якщо рух мо­ лекули напрямлений до поверхні рідини, то вона може вийти з неї. Цей процес називається випаровуванням. Він може відбуватися за будь-якої температури. Такі міркування можна застосувати також для твердого тіла, щоб пояснити можливість випаровування твердих тіл без попереднього перетворення в рідину. Це явище називають

сублімацією.

Густина газу за нормальних умов значно менша, ніж густина тієї самої речовини в рідкому стані: рр =1000рг. Зв’язок відстаней між

частинками для газу і рідини такий: RT = ^jlOOORр. Довжина вільно­

го пробігу молекул у газоподібному стані λ « 10-7 м, середня швидкість руху молекул газу за кімнатної температури 400...500 м/с. Розміри одного атома близько 10“10 м, молекули — 3 · 10~10 м. Серед­ ня густина атомів у Сонячній системі становить 109 атомів/м3, у Га­ лактиці — 106 атомів/м3, поза межами Галактики — 105...106 атомів/м3.

За законом Авогадро, якщо будь-які два гази займають однакові об'єми при однаковому тиску і мають однакові температури, то в цих об'ємах міститься однакове число молекул. Із цього закону ви­ пливає, що молі будь-яких речовин у газоподібному стані при одна­ кових тисках і однакових температурах займають однакові об’єми. Число молекул у молі будь-якої речовини Να = 6,02 1023 моль-1. Це число називається числом Авогадро. Дослід засвідчує, що моль будь-якої речовини в газоподібному стані за нормальних умов зай­ має об’єм 22,4 · 10-3 м3. Звідси можна визначити число молекул газу, що міститься за нормальних умов у 1 см3. Це число називається числом Лошмідта і дорівнює 2,7 · 1019 см-3.

Закон Дальтона для суміші газів формулюється так: тиск суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків газів, які утворюють суміш. Парціальним тиском називається тиск, який мав би газ, коли б він один заповнював увесь об'єм.

107