Фізика (Чоплан П.П

щею, охопленою кривою ВаС, ординатами ВВ' і СС' та віссю об’ємів у першому випадку, і площею, охопленою кривою ВЬС, ординатами ВВ' і СС' і віссю об’ємів — у другому випадку. З рис. 7.4 видно, що ці площі різні: при переході зі стану В у стан С шляхом ВаС система виконує більшу роботу, ніж при переході шляхом ВЬС. Отже, робо­ та, яку виконує система при переході з одного стану в інший, зале­ жить від шляху переходу. Оскільки U у рівнянні (7.9) є величи­ ною сталою для даних початкового й кінцевого станів, а кількість виконуваної роботи не є величиною сталою і залежить від шляху, то очевидно, що кількість теплоти, яку треба видати системі, щоб пе­ рехід відбувся, також залежить від шляху переходу. Як випливає з (7.9), для переходу зі стану В у стан С шляхом ВаС система має дістати більшу кількість теплоти, ніж для переходу шляхом ВЬС.

Отже, як робота, виконана системою, так і кількість теплоти, яку дістає система при переході з одного стану в інший, залежать від шляху переходу.

Цілком зрозуміло, що наведені міркування залишаються в силі і тоді, коли система при переході віддає теплоту або коли над систе­ мою виконується робота.

Таким чином, коли відомі тільки початковий і кінцевий стани системи, а шлях, яким відбувся перехід, невідомий, то не можна нічого сказати про те, скільки енергії система дістала (або втратила) в результаті роботи і скільки від нагрівання: кількість роботи й кількість теплоти не є функціями стану термодинамічної систе­ ми. Отже, зміст першого принципу термодинаміки можна розкрити за допомогою внутрішньої енергії системи і двох єдино можливих еквівалентних форм передавання енергії — роботи й теплоти.

7.5. Адіабатичний процес. Рівняння адіабати

Адіабатичним називають такий процес, який відбувається без теплообміну системи з навколишнім середовищем. Для здійснення адіабатичного процесу треба оточити систему такою оболонкою, яка не пропускає теплоти, але заважає тому, щоб система виконувала роботу або робота виконувалась над системою. Таку оболонку нази­ вають адіабатичною. Прикладом оболонки, близької до адіабатич­ ної, може бути оболонка з поганого провідника теплоти. При адіаба­ тичному процесі система обмінюється енергією із середовищем тільки в результаті роботи, при цьому вона не дістає і не віддає теплоти, тобто Q = 0. Перший принцип термодинаміки для цього випадку і нескінченно малих величин має вигляд

де dU — повний диференціал; δΑ — неповний диференціал. Нехай моль ідеального газу знаходиться під поршнем. Закріпивши поршень,

178

підвищимо температуру газу на dT. Оскільки об’єм газу залишаєть­ ся сталим, то кількість теплоти, що потрібна для такого нагрівання, дорівнює CvdT. А оскільки при цьому не виконується робота, то ця кількість теплоти дорівнює збільшенню внутрішньої енергії газу dU = CydT.

Якщо початковий стан (Τ, V) буде таким самим, що й у поперед­ ньому досліді, але поршень не закріплений, а може вільно переміщу­ ватися при незмінному зовнішньому тиску р, то газ виконуватиме роботу δΑ = pdV. Оскільки внутрішня енергія газу залежить тільки від температури, то вона змінюється так само, як і у попередньому випадку.

Отже, при адіабатичному процесі система виконує роботу за раху­ нок внутрішньої енергії, яка зв’язана з температурою. Зміна внут­ рішньої енергії при адіабатичному процесі приводить до зміни тем­ ператури системи. Враховуючи, що ΔΑ = pAV [див. формулу (7.2)] і

U =СуАТ9формула (7.10) набере такого вигляду:

При адіабатичному розширенні газу, коли збільшується об’єм (Д1^>0), з формули (7.11) видно, що температура знижується (ΔΤ < 0), тобто газ охолоджується. Якщо ж AV < 0, то AT > 0, тобто газ нагрівається. До речі, властивість газів охолоджуватись при роз­ ширенні їх в адіабатичних умовах покладено в основу принципу дії холодильників. Отже, при адіабатичному процесі температура сис­ теми може змінюватись, хоча системі теплота не передається. Звідси випливає, що теплоємність системи при адіабатичному процесі дорів­ нює нулю. Проте нуль — це стале число, а процес, при якому тепло­ ємність залишається сталою, називають політпропним. Тому адіаба­ тичний процес є окремим випадком політропного процесу, а саме таким політропним процесом, при якому теплоємність дорівнює нулю. Рівняння адіабати ідеального газу має такий вигляд:

де γ = Ср / Су — відношення теплоємності газу при сталому тиску і сталому об’ємі. Рівняння (7.12) називають рівнянням Пуассона. Із співвідношення (7.11) дістанемо вираз для роботи, якщо система адіабатично переходить із одного стану в інший:

179

Можна показати, що для адіабатичного процесу

Замінивши в (7.13) відношення температур відношенням об’ємів відповідно до (7.14), дістанемо вираз для роботи при адіабатичному розширенні ідеального газу

7.6.Енергетизм і причини його виникнення

Усередині XIX ст. у фізиці було обґрунтовано один із її найваж­ ливіших принципів — принцип збереження енергії. Він дав змогу з єдиного погляду пояснити багато фізичних процесів, які до того вва­ жались істотно різними і незалежними один від одного. У фізиці виник надзвичайно ефективний метод пізнання, який називається енергетичним (термодинамічним або феноменологічним) і який ши­ роко застосовувався у другій половині XIX ст. в описовій (феномено­ логічній) термодинаміці.

Феноменологічний метод ще називають методом принципів. Цей метод не висуває ніяких гіпотез про внутрішній механізм досліджу­ ваних явищ. Дослідні факти узагальнюються і вважаються принци­

пами. Прикладом таких принципів крім закону збереження енергії може бути принцип сталості швидкості світла, а типовими дисциплі­ нами, побудованими за таким методом, — феноменологічна термо­ динаміка та електродинаміка Максвелла (макроскопічна електроди­ наміка). Метод принципів безпосередньо спирається на дослідні факти, дає сумарну характеристику і не заглиблюється у внутрішні деталі досліджуваних процесів. У цьому сила й слабкість методу принципів.

Крім методу принципів у фізиці широко застосовується метод мо­ дельних гіпотез. Яскравими прикладами застосування цього методу є молекулярно-кінетична теорія (класична статистична механіка) та електронна теорія (мікроскопічна електродинаміка).

Теорії, побудовані з урахуванням внутрішньої структури, внут­ рішніх механізмів процесів, розвивають і поглиблюють відповідні феноменологічні дисципліни. В історії науки методи принципів і гіпо­ тез взаємно доповнюють один одного і однаково потрібні для її успіш­ ного розвитку. При цьому в різні періоди і в різних сферах досліджен­ ня то один, то другий з цих методів може відігравати і відіграє про­ відну роль, проте це не дає ніяких підстав абсолютизувати жоден із них.

180

У зв’язку з бурхливим розвитком термодинаміки в другій поло­ вині XIX ст. виникла нова філософська течія — енергетизм. Виник­ нення філософського енергетизму спричинене метафізичною абсолю­ тизацією термодинамічного методу В. Оствальдом, Е. Махом та їхніми послідовниками. Прихильники енергетизму виступали проти визнан­ ня існування атомів, вважали єдиним завданням фізики відшукати і описати енергетичні співвідношення. Е. Мах, наприклад, порівню­ вав визнання фізиками реального існування атомів з вірою середньо­ вічних обскурантів та відьом і називав атомістичну гіпотезу «шаба­ шем відьом». Разом із запереченням існування атомів прихильники енергетизму взагалі заперечували наявність матеріального носія енергії, вважали, що енергія існує сама по собі. При цьому послідов­ ники В. Оствальда не вважали себе ідеалістами. Вони заявляли, що енергетизм стоїть над матеріалізмом й ідеалізмом, немовби долає протилежність їх.

У термінах «енергетики» так само можна виразити матеріалізм й ідеалізм з більшою чи меншою послідовністю. Якщо оголосити все існуюче енергією, а енергію субстанцією, яка існує поза і незалежно від свідомості, то ми залишимось на позиціях матеріалізму, правда, плутаного й непослідовного. Чіткий термін для позначення об’єктивної реальності «матерія» замінено двозначним у такому розумінні терміном «енергія». Проте прихильники енергетизму ввели у філософський вжиток поняття енергії зовсім не для того, щоб позначити ним об’єк­ тивне джерело наших знань, а, навпаки, щоб під благовидними підста­ вами не визнавати такого джерела. Прихильники енергетизму, мета­ фізично роздуваючи глибоко розкриту природознавством неможливість існування об’єктів поза рухом, оголошують, що існує тільки один рух.

Отже, намагання подати енергію як фундаментальну філософську категорію безпідставне і не витримує критики. Поняття енергії не долає протилежності матерії і свідомості, а, навпаки, є спробою за­ плутати, завуалювати ці протилежності. Неправомірні намагання та­ кож з фізичного погляду подати енергію єдиним об’єктом фізичного дослідження, вони є результатом метафізичної абсолютизації ролі енергетичного методу в фізичному дослідженні.

Праці А. Ейнштейна і М. Смолуховського з вивчення броунівського руху остаточно довели реальне існування атомів і молекул. В. Оствальд, який за кілька років до цього оголосив, що через 50 років атоми будуть лише в «пилу бібліотек», змушений був визнати реальне існу­ вання їх — в «пилу бібліотек» опинився енергетизм, а не атоми.

7.7. Другий принцип термодинаміки

Перший принцип термодинаміки стверджує, що не можна ство­ рити таку машину, яка б породжувала енергію. Проте він нічого не говорить, наприклад, про таку теплову машину, яка б усю теплоту,

181

відібрану в тіла, повністю перетворювала в роботу і обходилась, отже, без холодильника або будь-якого тіла, яке б заміняло його. (У паро­ вих машинах холодильником є конденсатор або в менш економіч­ них — атмосферне повітря.) Якби це стало практично можливим, то така машина була б вічним двигуном другого роду.

Під вічним двигуном другого роду розуміють такий тепловий дви­ гун, який, повторюючи довільне число разів той самий процес, був би здатний повністю перетворити в роботу всю теплоту, що надхо­ дить від якого-небудь тіла або тіл, які є джерелом теплоти, і при цьому обходиться без інших тіл, які б відбирали теплоту, не пере­ творену в роботу. Якби за допомогою вічного двигуна другого роду ми навчилися безпосередньо перетворювати одержану від води оке­ анів теплоту в роботу, то океан був би, по суті, невичерпним джере­ лом енергії. Так, при зниженні температури світового океану лише на соту частину градуса енергії, яку б дістали від нього, вистачило б длд всього людства на 1700 років.

Досвід засвідчує, що описані вічні двигуни першого й другого роду можуть існувати тільки в людській фантазії, реально їх бути не може. Намагання побудувати вічні двигуни заздалегідь приречені на невдачу. Зусилля потрібно спрямувати не на здійснення їх, а насам­ перед на те, щоб усвідомити, чому такі двигуни не можуть існувати.

Другий принцип вказує на те, що процес, при якому відбувається перехід теплоти в роботу, можливий тільки тоді, коли він компен­ сується певними змінами термодинамічного стану тіл, що беруть участь у процесі. Некомпенсований перехід теплоти в роботу немож­ ливий. Під компенсацією розуміють зміну стану робочого тіла або якогось третього тіла, залученого до процесу. Другий принцип дещо обмежує перетворення однієї форми передачі енергії — теплоти — в іншу форму передачі енергії — роботу. Внаслідок цього для розумін­ ня суті другого принципу завжди треба сукупно розглядати принаймні три тіла: перше — віддає деяку кількість теплоти (нагрівник), дру­ ге — теплоту відбирає від першого (робоче тіло) і третє — від другого дістає енергію у формі роботи. Якщо ж потрібно, щоб у кінці проце­ су одне з цих тіл (робоче) повернулося до свого початкового стану, то залучають у процес ще четверте тіло — холодильник.

Перший принцип термодинаміки встановив кількісний зв’язок між теплотою, роботою і внутрішньою енергією системи, проте нічого не говорить про напрям процесу. Другий принцип термодинаміки якраз вказує на напрям теплових процесів. Отже, неможливі такі процеси, єдиним кінцевим результатом яких був би перехід деякої кількості теплоти від тіла менш нагрітого до тіла більш нагрітого. Другий принцип термодинаміки можна сформулювати так: «перпетуум мо­ біле* другого роду неможливий.

Тепер розглянемо таке питання: чи може тепловий двигун пере­ творити всю передану йому теплоту в роботу, чи може ККД (коефіцієнт

182

корисної дії) теплового двигуна дорівнювати одиниці. Нехай робо­ чим тілом буде ідеальний газ. Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури. Отже, при ізотермічному рівно­ важному розширенні ідеального газу (нехай газ діє на поршень, під яким він міститься) внутрішня енергія залишиться незмінною і вся передана теплота перетвориться в роботу, виконану газом при роз­ ширенні. За першим принципом термодинаміки Q = ΔΑ + Δ17. Якщо U = const, то збільшення Q приведе до збільшення лише А . Проте при використанні газу як робочого тіла в тепловому двигуні після розширення його потрібно повернути до початкового об’єму. На це треба затратити непродуктивно частину роботи, виконаної газом. Для здійснення цього переходу слід залучити в процес ще третє тіло — холодильник, якому у вигляді теплоти буде віддана робота, затраче­ на на стиснення газу. Тому другий принцип термодинаміки можна ще сформулювати так: неможливий процес, єдиним результатом якого було б повне перетворення всієї теплоти, яку одержали від тіла, в роботу.

Отже, в циклічно діючій тепловій машині лише частина теплоти від нагрівника перетворюється в роботу, а друга частина (і досить значна) віддається холодильнику. Тому ККД теплової машини, навіть тоді, коли б вона була сконструйована ідеально (без втрат на тертя), ніколи не дорівнюватиме одиниці. ККД теплової машини залежить від форми циклу і меж температур, в яких робоча речовина вико­ нує цикл. Особливості фізичної і хімічної природи робочої речовини не впливають на ККД. Для теплових машин оптимальним є цикл, описаний вперше основоположником термодинаміки Саді Карно (1796—1832).

7.8. Цикл Карно

Саді Карно, вивчаючи проблему можливого підвищення ККД теплових машин, показав, що найбільший ККД теплової машини не залежить від природи тіла і повністю визначається граничними температурами, в яких машина виконує цикл.

Знайдемо ККД машини, в якій ідеальний газ здійснює цикл, обме­ жений двома адіабатами і двома ізотермами (цикл Карно) (рис. 7.5). Під час першої, ізотермічної стадії розширення (крива 1—2) нагрівник віддає, а ідеальний газ — робоче тіло — дістає теплоту Qj, що дорів­ нює роботі розширення газу від об’єму Vj до об’єму V2:

де п — число молів газу. В другій, адіабатичній стадії розширення (крива 2 —3) робота виконується за рахунок зменшення внутрішньої

183

енергії газу, тобто внаслідок зниження температури газу від температури на­ грівника до температури холодильника. При цьому газ не дістає і не віддає тепло­ ти.

Потім ідеальний газ стискається ізотер­ мічно від об’єму F3 до об’єму V4. На це стиснення газу (крива 3—4) має затратити­ ся робота, яка внаслідок ізотермічності про­

цесу повністю перетвориться в теплоту, що газ віддає холодильнику:

Цикл завершується адіабатичним стисненням газу до початкового об’єму Уг; при цьому затрачена робота йде на підвищення темпера­ тури газу до початкового значення, тобто до температури нагрівника.

Отже, за повний цикл газ дістає теплоту і віддає Q2* Оскільки в кінці циклу газ повертається у свій початковий стан і,

отже, внутрішня енергія, яка визначається станом системи, набуває

За визначенням, ККД є відношенням цієї роботи до кількості те­ плоти, яку дістало робоче тіло від нагрівника:

,718)

Якщо використати співвідношення (7.16) і (7.17) та взяти до ува-

Тобто ККД циклу Карно для ідеальної теплової машини дорівнює різниці температур нагрівника и холодильника до абсолютної тем­ ператури нагрівника.

ККД теплових машин, що працюють за циклом Карно з одними і тими самими нагрівником і холодильником, однакові й не залежать від робочої речовини та конструкції машини, яка здійснює цикл. ККД теплових машин у разі необоротних процесів завжди менший від ККД у разі оборотних процесів.

Основними елементами теплової установки є нагрівник, циліндр з робочою речовиною (пара) і холодильник. Часто роль холодильни­

184

ка виконує навколишнє середовище, зокрема повітря. ККД парових машин дуже низький. Для його збільшення підвищують температу­ ру нагрівника (котла) і знижують температуру холодильника, вико­ ристовуючи тепловідбираюче тіло. Так досягають збільшення різниці Ті - Т2, а отже, і ККД, що видно зі співвідношення (7.19). Наприк­ лад, знайдемо максимальний ККД парової машини, що працює за циклом Карно, якщо температура пари становить 500 К, температу­ ра холодильника — 300 К:

тобто в оптимальному випадку ККД теплової машини дорівнювати­ ме 40 %.

Зауважимо, що звичайні парові машини за цих температур пари й холодильника мають менший ККД — близько 20 %. Пояснюється це тим, що парові машини, як і всі інші теплові машини, не працю­ ють за циклом Карно, а також тим, що в усіх звичайних машинах відбуваються необоротні процеси. Проте загальною особливістю ро­ боти теплових машин є те, що частина енергії, яку дістає робоче тіло від нагрівника, обов’язково віддається холодильнику. Якщо механічна енергія рухомих тіл (поршня) при всіх перетвореннях повністю пе­ реходить у внутрішню енергію тіла (газу, пари), то внутрішня енер­ гія лише частково перетворюється в енергію руху механізмів. Хао­ тичний рух молекул не може бути таким, щоб усі молекули одночас­ но передали тілу (поршню) весь запас кінетичної енергії. Якщо навіть припустити, що це стало можливим, то частина внутрішньої енергії залишиться у вигляді потенціальної за наявності взаємодії між час­ тинками. Внутрішня енергія тіл не може повністю перетворюва­ тись у механічну енергію рухомих механізмів. Якщо два тіла мають різні температури і > Т2, то теплота передаватиметься від першо­ го до другого тіла, а при Т[ = Т2 настане теплова рівновага. Чи може теплота сама по собі передаватися від другого до першого тіла тоді, коли температура другого тіла нижча від температури першого? Та­ кий процес не суперечив би першому принципу, але суперечив би другому.

У. Томсон дав таке формулювання другого принципу термодина­ міки: неможливий коловий процес, єдиним результатом якого було б виконання роботи тільки за рахунок охолодження теплового резер­ вуара.

Під тепловим резервуаром розуміють тіло або систему тіл, що перебувають у стані термодинамічної рівноваги і мають певний за­ пас внутрішньої енергії. Сам тепловий резервуар не виконує макро­ скопічної роботи, він може тільки віддавати внутрішню енергію іншо­ му тілу або системі тіл. Якщо така система виконує роботу за раху­

185

нок внутрішньої енергії теплового резервуара, то в термодинаміці її називають робочим тілом. За У. Томсоном, неможливий коловий процес, єдиним результатом якого було б виконання роботи за раху­ нок зменшення внутрішньої енергії теплового резервуара.

М. Планк сформулював другий принцип термодинаміки так: не­ можливо побудувати періодично діючу машину, єдиним результатом якої було б підняття вантажу за рахунок охолодження теплового резервуара.

Вказівка на періодичність дії машини у формулюванні М. План­ ка істотна так само, як істотний у формулюванні У. Томсона той факт, що процес має бути коловим. Формулювання М. Планка відрізняється від формулювання У. Томсона лише за формою. В обох випадках розглядається коловий процес, єдиним результатом якого є виконання роботи за рахунок охолодження теплового резервуара.

Інше формулювання другого принципу термодинаміки дав 1850 р. Р. Клаузіус: теплота не може сама по собі переходити від тіла менш нагрітого до тіла більш нагрітого. Під теплотою тут слід розу­ міти внутрішню енергію тіла. Зміст формулювання Р. Клаузіуса по­ лягає в тому, що немає жодного способу, яким можна було б відібрати теплоту від менш нагрітого тіла і цілком передати її більш нагрі­ тому, до того ж так, щоб у природі не відбулося жодних змін.

7.9. Ентропія

Розглянемо ідеальну теплову машину, що працює за циклом Кар­ но. Для обчислення її ККД скористаємося співвідношенням (7.18) і зробимо такі перетворення:

Крім того, ККД такої машини можна визначити за формулою (7.19):

ΆΆ

Прирівнюючи праві частини цього виразу і виразу (7.20), дістанемо

Відношення ψ називають зведеною теплотою. Формулу (7.21)

можна прочитати так: якщо система виконує оборотний процес, який графічно зображується у вигляді відрізків двох ізотерм та двох адіа­ бат, то алгебраїчна сума зведених теплот дорівнює нулю. Нескінчен­

186

но малим відрізкам ізотерм відповідають нескінченно малі кількості теплоти δQ. Отже, для суми зведених теплот для оборотного процесу дістанемо таке співвідношення:

(7.22)

Кружечок на інтегралі означає, що інтеграл береться по замкненому контуру, який зображує процес. Отже, для обчислення інтеграла (7.22) треба знати діаграму процесу. Формула (7.22) є кількісним виразом другого принципу термодинаміки. Проте цю формулу можна засто­ сувати лише до оборотних циклів.

Щоб дістати загальний вираз другого принципу термодинаміки, який можна застосувати до будь-якого термодинамічного процесу, треба насамперед увести поняття про нову фізичну величину, яку називають ентропією. У 1865 р. у фізику це поняття ввів Р. Клаузіус.

Введемо функцію стану системи S, зміна якої при переході систе-

1

називають ентропією. Якщо ентропію в стані І позначити Sp а в стані 2 — S2, TO зміна ентропії при переході зі стану 1 у стан 2 буде

(7.23)

і

Для нескінченно малих змін ентропії можна записати

(7.24)

Ентропія є функцією стану системи, і в цьому неважко перекона­ тися. Розглянемо два стани системи І і 2, подані на рис. 7.6. Засто­ суємо другий принцип до оборотного процесу 1А2В1:

Рис. 7.6

187