Фізика (Чоплан П.П

значеннями діелектричної проникності, то для характеристики поля зручніше використати іншу величину, яка, на відміну від напруже­ ності, не змінюється стрибкоподібно поблизу поверхні поділу двох різних діелектриків. Цю величину називають вектором електричної індукції D. Вона пов’язана з вектором напруженості таким співвідно­ шенням:

Із наведеної рівності випливає, що індукція при переході через межу поділу двох діелектриків залишається незмінною, оскільки зміна Е при переході в середовище з діелектричною проникністю ε компенсується відповідним множником.

Оскільки для вакууму і практично для повітря ε = 1, то для них

D —EQE.

Якщо електричне поле створено одним точковим зарядом q, то вектор електричної індукції на відстані г від заряду буде

(8.14,

За аналогією з силовими лініями (лініями напруженості) для гра­ фічного зображення електростатичних полів використовують лінії електричної індукції. Кількість ліній індукції, що проходять через довільну поверхню, проведену в полі, називають потоком вектора електричної індукції через цю поверхню.

Обчислимо потік вектора електричної індукції N через поверх­ ню сфери радіуса г, у центрі якої міститься заряд д, що створює електричне поле. Оскільки напруженість електричного поля в кожній

ТОЧЦІ сферичної поверхні Е = ---- f то через одиницю поверхні 4πε„ nr2

проходить Е ліній напруженості або D ліній індукції. Тоді потік век­

тора електричної індукції, що пронизує поверхню сфери радіуса г, можна визначити так:

Неважко довести, що отриманий результат справедливий не тільки для випадку сферичної поверхні, а й для будь-якої замкненої по­ верхні, всередині якої у довільній точці міститься точковий заряд q.

Формулу (8.15) можна узагальнити і на випадок, коли поле ство­ рене системою точкових зарядів ql9 q2, qn· Урахувавши принцип суперпозиції електричних полів, дістанемо

208

Отже, потік вектора електричної індукції через довільну замкне­ ну поверхню не залежить від діелектричних властивостей середови­ ща і дорівнює алгебраїчній сумі електричних зарядів, що містяться всередині цієї поверхні. Отриманий результат називають теоремою Остроградського — Гаусса.

Теорему Остроградського — Гаусса застосовують для розрахунку індукції (або напруженості) полів, які створюються довільним заря­ дом, оскільки будь-який заряд можна подати у вигляді суми не­ скінченно великої кількості точкових зарядів.

8.6. Робота в електростатичному полі

Розглянемо однорідне електричне поле. Воно утворюється між зарядженими площинами, якщо вони паралельні й нескінченно ве­ ликі. Практично можна вважати однорідним електричне поле між скінченними паралельними зарядженими площинами, якщо розмі­ ри їх значно більші, ніж відстань d між ними. Розглянемо пере­ міщення полем позитивного заряду q у трьох випадках. Нехай поле переміщує цей заряд з точки а в точку а' (рис. 8.3). Робота поля в цьому разі

Якщо поле переміщує заряд із точки b у точку а', то робота

Підрахуємо тепер роботу поля з переміщення електричного заря­ ду із точки с у точку а'. Розіб’ємо криву s3 на велику кількість ділянок, кожну з яких можна з великою точністю взяти за пряму. Нехай таких ділянок буде п. Тоді

пп

Оскільки поле однорідне, сила F залишається сталою для всіх ділянок. Із наведених прикладів можна зробити висновок, що робота елек­ тростатичного поля не залежить від шляху: вона для трьох випадків однакова, хоча траєкторія переміщення електричного заряду різна. Нехай електричне поле утворене точковим зарядом q. Обчислимо роботу сил поля, яка виконується при переміщенні вздовж силової лінії заряду з точки 2, що перебуває на відстані від джерела поля, в точку 2 на відстані г2 від нього (рис. 8.4). Робота dA з пе­ реміщення заряду на нескінченно малому шляху dr визначиться

dA = Fdr. Оскільки F = q0E, то

dA = q0Edr.

209

Тоді вся робота з переміщення заряду q0 з точки 1 в точку 2 буде

Робота з переміщення заряду в електростатичному полі дорів­ нює добутку заряду на різницю потенціалів між початковою і кінце­ вою точками. Звідси видно також, що ця робота не залежить від

форми шляху. Якщо г2 = °°, то A - q0- —- ---- = ς0Φχ» звідки

4πε0εΓ1

φι = 7~-

(8.23)

%

Отже, потенціал — це фізична величина, що чисельно дорівнює роботі, яку виконує електричне поле з переміщення одиничного пози-

210

тивного заряду з певної точки поля на нескінченність. Або потен­ ціал певної точки поля — це величина, що чисельно дорівнює ро­ боті, яку має виконати зовнішня сила з переміщення одиничного позитивного заряду із нескінченності в цю точку. Потенціал даної точки поля визначає потенціальну енергію одиничного позитивного заряду, вміщеного в цю точку. Якщо кожний із зарядів g2>···> Яп утворює в певній точці поле з потенціалом відповідно Φχ, Ф2>···, фл> то потенціал поля, утвореного у цій точці всіма зарядами, дорівню­ ватиме алгебраїчній сумі потенціалів полів, утворених кожним за­ рядом окремо:

На практиці потенціал Землі умовно взято таким, що дорівнює нулю. Тому заземлений провідник має нульовий потенціал. У теоре­ тичних розрахунках зручніше нульовий потенціал пов’язати з точ­ кою, що міститься на нескінченності.

Одиницю різниці потенціалу можна ввести, скориставшись фор­ мулою

Фі “ Ф2 = ~ ·

%

У СІ за одиницю різниці потенціалів узято вольт (1 В). Це різни­ ця потенціалів між такими двома точками, перенесення заряду в один кулон між якими супроводжується виконанням роботи в 1 Дж:

1 Дж ІК л '

У системі СГСЕ за одиницю різниці потенціалів узято різницю потенціалів між такими двома точками, перенесення заряду в одну абсолютну електростатичну одиницю заряду між якими супрово­ джується виконанням роботи в 1 ерг:

Оскільки 1 Дж = 107 ерг і 1 Кл = 3 · 109 СГСЕ?, то

1 В = 300 СГСЕ,f..

Часто користуються позасистемною одиницею роботи і енергії, яка називається електрон-вольтом (еВ). Один електрон-вольт дорівнює ро­ боті,яка виконується при переміщенні заряду, що дорівнює заряду елек­ трона, між двома точками поля з різницею потенціалів у 1 В. За­ ряд електрона дорівнює 1,6 10-19 Кл, тоді

1еВ = 1,6 10~19 Кл · 1 В = 1,6 · 10-19 Дж = 1,6· 10-12 ерг.

211

Запишемо значення роботи однорідного електричного поля з переміщення електрич­ ного заряду <7на відстань d від точки з потен­ ціалом <pj у точку з потенціалом ср2. Тоді

звідки

г _ Фі~Ф2

Геометричне місце точок з однаковим по­ тенціалом називають еквіпотенціальною поверхнею. Зрозуміло, що робота, яку виконує поле з переміщення

електричного заряду по тій самій еквіпотенціальній поверхні, дорів­ нює нулю. Оскільки сила, що діє з боку поля на заряд, не дорівнює нулю, то робота з переміщення заряду може дорівнювати нулю тільки тоді, коли напрям дії сили перпендикулярний до напряму переміщен­ ня. Враховуючи, що напрям дії сили на заряд збігається з напрямом вектора напруженості поля, можна зробити висновок про перпенди­ кулярність лінії напруженості до еквіпотенціальних поверхонь.

Електростатичне поле можна зобразити графічно не тільки за до­ помогою силових ліній, а й за допомогою еквіпотенціальних повер­ хонь. Навколо кожної системи зарядів проводять нескінченну мно­ жину еквіпотенціальних поверхонь. їх прийнято проводити так, щоб різниці потенціалів між будь-якими сусідніми еквіпотенціальними поверхнями були однакові.

Знаючи розміщення силових ліній електростатичного поля, мож­ на побудувати еквіпотенціальні поверхні і, навпаки, за відомим роз­ міщенням еквіпотенціальних поверхонь можна в кожній точці поля визначити розміщення силових ліній.

Оскільки робота електростатичного поля з переміщення заря­ ду не залежить від форми шляху, а визначається тільки потенціала­ ми кінцевих точок, то виходить, що робота по замкненому контуру (рис. 8.5) в електростатичному полі (.AaBdA, AbBdA, AcBdA) дорів­ нює нулю.

Поля, для яких робота по замкненому контуру дорівнює нулю, називають потенціальними.

8.7. Електроємність

Розглянемо спочатку відокремлений провідник, тобто такий, що міститься досить далеко від інших тіл. Якщо такому провіднику

надавати різні заряди g2, ···> Qn>то B*Hзаряджатиметься відповід­ но до потенціалів <plf φ2,..., φη. Зі збільшенням заряду q зростатиме

212

й потенціал φ, який змінюється так, що відношення заряду до по­ тенціалу є величиною сталою:

Це відношення називають електроємністю, або просто ємністю, провідника. Отже,

(8.27)

Ф

Електроємністю відокремленого провідника називають фізичну величину, яка чисельно дорівнює електричному заряду, що змінює його потенціал на одиницю.

За одиницю електроємності в СІ взято ємність конденсатора, на­ пруга між обкладинками якого становить 1 В при заряді 1 Кл. Цю одиницю називають фарад:

(8.28)

Одиниця електроємності в системі СГСЕ дорівнює

Неважко переконатися, що розмірність електроємності в системі СГСЕ збігається з розмірністю довжини. Тому одиницею електроєм­ ності в системі СГСЕ є сантиметр. Можна довести, що в СГСЕ одини­ ця електроємності дорівнює електроємності ізольованої кулі радіуса 1 см.

На практиці використовують також інші одиниці електроємності:

1 мікрофарад (1 мкФ)= 10 6 Ф = 9 · 105 см;

1 пікофарад (1 пФ) = 10-12 Ф = 0,9 см.

Якщо підрахувати електроємність Землі, вважаючи її провідною кулею радіуса 6400 км, то вона дорівнюватиме 711 мкФ.

Електроємність провідників залежить не від матеріалу, а від їхніх розмірів і форми, діелектричних властивостей навколишнього середо­ вища, а також наявності поблизу провідника інших провідників.

Поняття електроємності можна застосувати і до системи про­ відників, найпростішою з яких є плоский конденсатор — система з двох металевих паралельних пластин, розділених шаром діелектри­

213

ка завтовшки d і однаково наелектризованих різнойменними заря­ дами.

При наданні обкладкам конденсатора зарядів +<7 і - q вони за­ ряджатимуться до потенціалів φ1 і φ2. Електроємністю конденсато­ ра називають відношення заряду q на одній із його обкладок до різниці потенціалів між обкладками:

Виходячи з теореми Остроградського — Гаусса, можна визначити напруженість однорідного електричного поля плоского конденсатора

де S — площа обкладок; σ = q / S — поверхнева густина зарядів на обкладках; \ — коефіцієнт, що залежить від вибору одиниць вимі­

ру (в СІ кл = —^— ). Для однорідного поля справедливе співвідно4πε0

шення (8.25), тому

Підставивши цей вираз у (8.29), дістанемо формулу для обчис­ лення електроємності плоского конденсатора

EnES

С = -2— . (8.31)

а

На практиці доводиться з’єднувати конденсатори в батареї. При паралельному з’єднанні конденсаторів їхня загальна ємність дорів­ нює сумі ємностей:

Ємність батареї послідовно з’єднаних конденсаторів визначають за формулою

Отже, при паралельному з’єднанні конденсаторів ємності їх дода­ ються, а при послідовному — додаються величини, обернені до їхніх ємностей.

Сферичний конденсатор складається з двох концентричних сфе­ ричних обкладок, розділених сферичним шаром діелектрика. Якщо

214

внутрішній обкладці такого конденсатора надати заряд +q, то на зовнішній обкладці, що заземлена, наводитиметься заряд -q. Поле сферичного конденсатора зосереджене між його обкладками і є та­ ким, ніби заряд зосереджений у центрі сфери. Тому потенціали об­ кладок обчислюють за такими формулами:

Фі = -----------; Фо = ----- ------

4πε0ε1Γ1 J 4πε0ε2Γ2

Тоді різниця потенціалів між обкладками

а електроємність сферичного конденсатора відповідно до формули (8.29)

Якщо зовнішній радіус сферичного конденсатора набагато більший за внутрішній (г2 » 7\), то формула (8.34) спрощується і має такий вигляд:

Якщо г2 —» °°, то внутрішню обкладку сферичного конденсатора можна розглядати як відокремлену кулю, а формула (8.35) визнача­ тиме її електроємність. У системі СГСЕ ємність відокремленої кулі вимірюється її радіусом г, якщо ε = 1 .

8.8. Енергія електростатичного поля. Густина енергії

Припустімо, що окремі електричні заряди і заряджені тіла пере­ бувають в однорідному ізотропному середовищі, якому не притаманні сегнетоелектричні властивості. Щоб зарядити будь-який провідник, треба виконати певну роботу проти кулонівських сил відштовхуван­ ня між однойменними електричними зарядами. Ця робота витра­ чається на збільшення електричної енергії зарядженого провідника.

Нехай ми маємо провідник, електроємність, заряд і потенціал яко­ го відповідно Су qy φ. Робота, що виконується проти сил електроста­ тичного поля при перенесенні заряду dq із нескінченності на про­ відник,

215

Щоб зарядити тіло до потенціалу φ, потрібно виконати роботу

2

Енергію зарядженого провідника WE визначають за формулою

2 2 2С

Сер2

Вираз — називають власною енергією зарядженого тіла. Проте

електростатичне поле пов’язане із зарядом провідника. Тому форму­ ла (8.38) виражає енергію електростатичного поля. Очевидно, що енергію зарядженого конденсатора також визначають за формулою (8.38), де φ — різниця потенціалів між його обкладками.

Визначимо енергію електричного поля плоского конденсатора спо­ чатку для випадку ε = 1, якщо відомі напруженість його поля Е, відстань між пластинами конденсатора d, їхня площа s:

^ . с ( ф , - « , ) » . с = £|£; ь _ Н = ЕІ .

,8.39)

де V — об’єм простору між пластинами конденсатора. Тоді в загаль­ ному випадку, коли ε Ф1, енергію електростатичного поля конден­ сатора визначають за формулою

Звідси неважко визначити об’ємну густину енергії однорідного електростатичного поля

У разі неоднорідного електричного поля об’ємну густину енергії в будь-якій точці поля визначають так:

ЕAV

де WE— енергія поля в об’ємі AV.

216

8.9.Постійний електричний струм. Закони постійного струму

Якщо в провіднику створити електричне поле, то носії зарядів почнуть рухатись упорядковано: носії позитивних зарядів у напрямі поля, негативних — у протилежний бік. Упорядкований рух зарядів називають електричним струмом. Його характеризують силою стру­ му — скалярною величиною, що чисельно дорівнює електричному заряду, який проходить через поперечний переріз провідника за оди­ ницю часу:

де dq — електричний заряд, що проходить через переріз провідника за нескінченно малий проміжок часу dt.

У загальному випадку електричний струм може зумовлюватися рухом як позитивних, так і негативних зарядів. При цьому перене­ сення позитивного заряду в одному напрямі еквівалентне перенесен­ ню такого самого за значенням негативного заряду в протилежному напрямі. Якщо за час dt через деякий переріз провідника позитивні носії переносять заряд dq+> а негативні в протилежному напрямі dq_, то

(8-“ >

За напрям струму беруть напрям руху позитивних зарядів. Елек­ тричний струм називають постійним, якщо з часом залишаються постійними сила струму та його напрям.

Одиниця сили струму в СІ — ампер (А) — визначається на основі електромагнітної взаємодії двох паралельних прямолінійних про­ відників, по яких проходить постійний струм.

Розрізняють струм провідності і конвекційний струм. Струм про­ відності зумовлюється напрямленим переміщенням заряджених час­ тинок (електронів, йонів) усередині нерухомого провідника (твердо­ го, рідкого чи газоподібного) за наявності в ньому електричного поля. Проте впорядкований рух електричних зарядів можна здійснити й іншим способом — переміщенням у просторі зарядженого макро­ скопічного тіла (провідника або діелектрика). Такий струм назива­ ють конвекційним. Прикладом конвекційного струму може бути орбі­ тальний рух Землі, яка має надлишок негативних зарядів.

Обмежимося вивченням струму провідності, оскільки він найпрос­ тіший і має велике практичне значення. Для появи й існування струму провідності потрібні такі умови:

1) наявність у певному середовищі електричних зарядів, які б мали можливість у ньому рухатися. Такими зарядами у разі метале­ вих провідників є вільні електрони, у напівпровідниках — електрони

217