Фізика (Чоплан П.П
.).pdfкельсон здійснив у 1878—1882 і 1924—1926 pp. У результаті чис ленних вимірювань для швидкості світла у вакуумі нині взято зна чення с = 299 792 458 м/с.
Точне порівняння швидкості світла у воді та в повітрі, здійснене А. Майкельсоном, показало, що швидкість у воді в 1,33 раза менша, ніж у повітрі. Цей результат добре узгоджується з експерименталь ними даними про заломлення світла і з хвильовою теорією залом лення. Проте вимірювання швидкості світла, виконані А. Майкель соном методом обертового дзеркала, дали для відношення швидкості
світла у вакуумі с до швидкості світла в сірковуглеці υ значення
Q
— = 1,75, тоді як це саме відношення, визначене за показником за-
υ
ломлення, дорівнює 1,64. Цей факт дуже важливий. Пояснив вияв
лену суперечність англійський фізик Дж. Релей (1842—1919). Він довів, що при вимірюваннях швидкості світла методом Фуко та інши ми методами визначається так звана групова швидкість світлових хвиль, тоді як за показником заломлення визначається їхня фазова швидкість.
14.2. Фазова й групова швидкості світла
Під фазовою швидкістю розуміють швидкість поширення фази ідеально монохроматичної хвилі, тобто синусоїдальної хвилі, безмеж ної в просторі і в часі. Будь-яка інша хвиля не є монохроматичною. Ідеально монохроматичну хвилю здійснити не можна. Насправді ми завжди маємо справу з більш або менш складним імпульсом, що обмежений у просторі та часі. Спостерігаючи такий імпульс, можна відшукати властиву йому точку, переміщення якої характеризува тиме поширення імпульсу. Такою точкою може бути точка макси мальної напруженості електричного або магнітного полів, що скла дають електромагнітний імпульс. Спостереження за обраною точкою дає змогу зробити висновок про поширення імпульсу лише тоді, коли форма імпульсу при цьому зберігається або змінюється дуже повільно. Будь-який імпульс можна подати як суму великої кількості близьких за частотою монохроматичних хвиль. Якщо всі ці монохроматичні хвилі поширюються з однаковою фазовою швидкістю (в середовищі немає дисперсії), то з такою самою швидкістю переміщується і сам імпульс як ціле, зберігаючи свою форму незмінною. Проте для всіх середовищ, крім вакууму, характерна дисперсія, і, отже, монохро матичні хвилі різної довжини поширюються в них з різними фазо вими швидкостями. Це призводить до деформації імпульсу, і питан ня про швидкість поширення імпульсу ускладнюється. Коли диспер сія незначна, імпульс деформується повільно, і можна спостерігати за місцем максимального зміщення. Однак при цьому швидкість пе реміщення імпульсу відрізнятиметься від фазових швидкостей скла
328
дових його монохроматичних хвиль. За пропозицією Дж. Релея швидкість переміщення імпульсу (груп хвиль) називають груповою швидкістю. Групова швидкість є швидкістю переміщення ампліту ди, а отже, і енергії, яку переносить рухомий імпульс.
Між груповою швидкістю и і фазовою швидкістю ν, яка визна чається відношенням λ /Т (λ — довжина хвилі, Т — період коли вань), існує такий зв’язок:
и = и ~ х ж - |
(14Л) |
Співвідношення (14.1) називають формулою Релея. Якщо для се
редовища 4г > відбувається нормальна дисперсія. Тоді и < υ, тоб-
αλ
то групова швидкість и менша від фазової швидкості и. Коли ж
4 г < 0, то середовищу властива аномальна дисперсія, і и > υ, тобто
ак
групова швидкість більша за фазову. В усіх випадках вимірювання швидкості світла мають справу з переривчастими сигналами скінчен ної тривалості і, отже, визначають групову швидкість. Для вакууму
4 г = 0, тобто дисперсії немає, |
а групова і фазова швидкості одна- |
dv |
* 0 і и ФV. |
кові. Для речовини з п > 1 — |
|
αλ |
|
У дослідах А. Майкельсона для води і сірковуглецю вимірюва
лось відношення групових швидкостей. Проте для води 4г настільки |
|||
|
с |
с |
αλ |
мала величина, що практично и = ν, тому — ~ —= п. Для сірковуг- |
|||
d |
и |
ν |
|
лецю величина |
значна, тому другим членом у співвідношенні |
||
|
с |
с |
що спостерігав |
(14.1) знехтувати не можна, тоді и <v і — > —= л, |
|||
А. Майкельсон.
14.3. Дослід Майкельсона
Описуючи досліди з визначення швидкості світла, ми абстрагува лись від того, що Земля, на якій виконуються ці досліди, рухається у світовому просторі зі швидкістю ν = 30 км/с. Щоправда, в цих дослідах спостерігач і джерело світла нерухомі один відносно одно го, але, якщо вважати, що Земля рухається відносно нерухомого ефіру, в якому поширюються світлові хвилі, то слід чекати впливу цього руху на результати спостережень.
А. Майкельсон за допомогою винайденого ним інтерферометра зробив спробу виявити абсолютний рух Землі, вимірюючи швидкість поширення світла у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Ідею таких вимірювань висловив Дж. Максвелл. Перший дослід А. Май-
329
кельсон виконав 1881 p., а 1887 р. він разом з Морлі повторив його з більшою точністю. На рис. 14.3 зображено схему досліду Майкельсона. Промінь світла, що виходить із джерела S, падає на півпрозору пластинку К , розміщену під кутом 45°. Половина світлового потоку відбивається в напрямі до дзеркала Lj, друга половина проходить крізь пластинку до дзеркала 1^. Дзеркала відбивають світлові про мені назад, вони знову попадають на пластинку К, причому світло, відбите від Zq, проходить крізь пластинку і попадає в реєструвальний інтерферометр F; світло, відбите від 1^, відбивається від плас тинки К і теж попадає в реєструвальний пристрій (для наочності дещо зміщено прямі й зворотні промені на рис. 14.3, а). Отже, в реєструвальний пристрій попадатимуть два світлових промені, які від джерела S до пластинки К прямували за однакових умов, а потім один з них пройшов шлях KLyKF, а другий — шлях KL2KF. Якщо прилад рухається разом із Землею у напрямі, показаному стрілкою, то умови поширення променів відповідатимуть двом випадкам, зоб раженим схематично за допомогою відрізка АВ на рис. 14.3, б. Від стані KLy і KL2 однакові й дорівнюють а. Позначимо через с швид кість світла відносно нерухомого ефіру. Далі потрібно врахувати, що внаслідок руху Землі за законами механіки Ньютона швидкість світла відносно Землі не дорівнюватиме с. Якщо напрям поширення світло вого променя збігається з напрямом руху Землі, то ця швидкість дорівнюватиме c - v , якщо світло й Земля рухаються в протилежних напрямах, то вона становить с + vy де ν — швидкість Землі відносно ефіру. На рис. 14.3, б зображено випадок, коли світло поширюється паралельно напряму руху Землі. Тоді від А до В промінь поширюється з відносною швидкістю с - ν, а в зворотному напрямі — зі швидкіс-
Отже, відстань від В до А промінь пройде за час ------ |
, а від А до |
|||
a |
|
Ц визначимо так: |
|
c + v |
В за час ------ . Повний час |
|
|
||
с - и |
|
|
|
|
j. _ а |
а |
- 2ас _ 2а |
1 |
ІЛА оч |
* |
|
Т 7 Г7 7 7 ’ |
(142) |
|
або з точністю до четвертого порядку малості величини v/c |
можна |
записати |
|
tx = ψ ( ΐ + ν2 /с2). |
(14.3) |
Множник (і + и2/ с 2) враховує рух Землі. Зазначимо, що він мало
відрізняється від одиниці, оскільки |
= 10"8. |
с
Розглянемо тепер другий випадок, зображений на рис. 14.3, б, коли світло поширюється перпендикулярно до напряму руху Землі.
Швидкість світла відносно Землі в цьому разі дорівнюватиме Vc2 - ν2
і в прямому (від А до Б), і в зворотному (від В до А) напрямах. На прям швидкості с відносно ν визначається тим, що за час проходження світлового сигналу від А до В сама точка В зміщується вправо, так само відбуватиметься при зворотному шляху від В до А .
Повний час поширення світла визначимо так:
х |
2а |
2а |
1 |
· |
|
/лл л\ |
||
h = |
і „ |
„ = ~ — і.....--- ■- |
|
(14.4) |
||||
|
Vc2 - u 2 |
с л / Г ^ / с 2 |
|
|
\-1/2 |
|||
Враховуючи, що |
v/c |
— мала величина, |
вираз |
^1 - u 2 |
||||
/c 2j |
||||||||
розкладемо в ряд по степенях |
v/c. Обмежуючись двома членами |
|||||||
розкладу, дістанемо |
|
|
,2 ^ |
|
|
|
||
|
|
2а |
|
|
(14.5) |
|||
|
|
і + І ^ |
|
|
|
|||
|
|
с |
2 <2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З формул (14.3) і (14.5) знайдемо різницю часів |
|
|
||||||
|
|
*1 -*2= £ 4 · |
|
|
|
<14·6) |
||
|
|
|
с с |
|
|
|
|
|
Отже, визначення різниці часів ^ і t2 при двох взаємно перпенди кулярних напрямах поширення світла дасть змогу визначити швидкість руху Землі відносно ефіру. В формулу (14.6) входить квадрат відношення шуканої швидкості до швидкості світла, а це означає, що йдеться про встановлення ефектів другого порядку ма
331
лості. Хоча сам А. Майкельсон визначив швидкість світла з точніс тю до 1 км/с, тобто наближено з точністю до 0,000003 вимірюваної величини, вона була недостатньою для виявлення ефектів другого порядку, що відповідають одній стомільйонній частині вимірюваної величини. А. Майкельсону вдалося уникнути цих труднощів, викорис тавши хвильові властивості світла. Спостерігаючи інтерференцію пер шого й другого променів, він зумів визначити запізнення цих коли вань з точністю до 0,01 періоду світлової хвилі. Оцінимо відносне запізнення променів за формулою (14.6). Для збільшення ефекту А. Майкельсон повертав установку на 90°, тоді співвідношення між променями змінювалось на протилежне. Отже, якщо раніше запіз-
2 2
нення дорівнювало —-Цг, то тепер воно було - —Щгу а повне запіз-
С £2 |
|
|
с ~2 |
нення становитиме |
|
|
с |
|
|
|
|
а у2 |
а у2 |
2а у‘2 |
(14.7) |
т = с 7 |
‘ є2 |
с2 ’ |
|
У прикладі А. Майкельсона внаслідок використання багатократ них відбивань відстань а дорівнювала 5,5 м (весь прилад розміщу вався на плиті 1,5 х 1,5 м). Отже, за розрахунками за формулою (14.7) запізнення мало дорівнювати 0,4 10"15 с. Оскільки період світлових коливань для видимих променів близько 10~15 с, то і таке запізнення відповідає 0,4 періоду, тобто становить значну частку періоду. А. Майкельсон міг виявити за допомогою свого інтерферо метра навіть 1/40 частину досліджуваного ефекту, незважаючи на порівняно малу відстань а. Проте результат досліду виявився нега тивним.
Ніякого запізнення одного променя відносно другого не було ви явлено, оскільки очікуваний ефект пропорційний квадрату швид кості Землі. Звідси випливає, що швидкість Землі відносно ефіру
завжди менша >/і/40, тобто 1/6 від орбітальної швидкості Землі. Наступні досліди лише уточнили цей результат, знизивши верхню межу для швидкості Землі відносно ефіру, або, що те саме, швид кості 4ефірного вітру» відносно Землі до величини, меншої за 1/30 орбітальної швидкості Землі.
14.4. Висновки з досліду Майкельсона
Негативний результат досліду Майкельсона поставив фізиків у дуже скрутне становище. Цей результат суперечив теорії нерухомо го ефіру.
В. Рітц спробував пояснити негативний результат досліду Май кельсона. Він висунув так звану балістичну гіпотезу, згідно з якою до швидкості світлового променя, випущеного рухомим джерелом,
332
додається швидкість самого джерела, так |
|
само, як і до швидкості снаряда, випуще |
|
ного крейсером, додається швидкість са |
|
мого крейсера. Ця гіпотеза справді пояс |
|
нювала добутий нульовий результат. Про |
|
те гіпотеза Рітца була відкинута як така, |
|
що суперечить хвильовій теорії світла, бо |
|
швидкість поширення будь-якої хвилі не |
|
залежить від швидкості її джерела. У хви |
|
лі, як і в будь-якому неперервному про |
|
цесі, все визначається нескінченно близь |
|
кими точками, а не джерелом. У 1913 р. |
|
астроному де Сіттеру вдалося прямими |
|
спостереженнями за подвійними зірками |
Рис. 14.4 |
довести хибність гіпотези Рітца. |
Уявімо собі (рис. 14.4), що зірка Б обер тається навколо зірки А за ходом стрілки годинника. В положенні 1
швидкість напрямленого на Землю світла має бути меншою на швидкість зірки, а в положенні 2 швидкість зірки додаватиметься до швидкості світла. І хоча зірки рухаються порівняно зі світлом надзвичайно повільно, все ж цієї різниці швидкостей досить, щоб протягом своєї довгої мандрівки «швидке» світло догнало й перегна ло «повільне» раніше, ніж вони попадуть на Землю в об’єктив теле скопа. Неважко собі уявити, що тоді повинен бачити в телескоп астро ном. Якщо обидва промені дійдуть до нього одночасно, він замість подвійної зірки побачить потрійну, оскільки крім центрального світи ла свій сигнал пошле йому й супутник, причому відразу з двох різних місць.
Тобто «швидке» світло догнало б «повільне» до досягнення Землі,
іспостерігач побачив би зірку-супутника в положенні 2 раніше, ніж
вположенні 1. Проте ніяких зіркових «привидів» на небі ніхто ніко ли не бачив, хоча за точними розрахунками, якщо виходити з баліс тичної гіпотези Рітца, вони обов’язково мали б спостерігатись. Отже, треба визнати, що гіпотеза «крейсера і снаряда» для світла супере чить досліду і є неприйнятною.
Перший крок на шляху до правильного розв’язання суперечнос тей у зв’язку з негативним результатом досліду Майкельсона зробив X. Лоренц, який розробив теорію оптичних явищ рухомих тіл. Він припустив, що рухомі тіла стискаються у напрямі руху, причому саме так, що дослід Майкельсона повинен дати негативний резуль тат. Із порівняння формул (14.2) і (14.4) виходить, що плече КЬ^
потрібно скоротити в Vl “ 1)2• / с 2 разів, тоді ty дорівнюватиме f2>а РІ3_
ниця їх ty - 12 = 0, що й відповідає результату досліду Майкельсона. Незалежно від X. Лоренца таку саму гіпотезу висловив Дж. Фітцдже-
333
ральд, тому цей ефект називають лоренц-фітцджеральдовим скоро ченням.
Якщо лінійні розміри тіла в стані спокою /Q, а розміри рухомого тіла Z, то, за Лоренцом — Фітцджеральдом,
(14.8)
де β = υ / с. Така гіпотеза «рятувала» ефір і пояснювала нульовий результат експерименту Майкельсона. Проте оскільки лоренц-фітц- джеральдовому скороченню мають підлягати однаковою мірою всі тіла в рухомій системі, то це скорочення неможливо виявити зви чайними вимірюваннями довжини. Звичайне вимірювання довжини полягає в порівнянні твердого стрижня одиничної довжини з вимі рюваною відстанню. Оскільки під час руху і одиниця довжини, і вимірювана відстань скоротяться в однакову кількість разів, відно шення між ними збережеться.
Остаточну відповідь на питання про скорочення тіл у напрямі руху при великих швидкостях дав А. Ейнштейн, створивши спе ціальну теорію відносності. Негативний результат досліду Майкельсо на став основою для створення цієї теорії. А. Ейнштейн говорив А. Майкельсону так: «Ви відкрили фізикам нові шляхи і своїми чу довими експериментами проклали дорогу для теорії відносності. Ви виявили помилки ефірної теорії світла і стимулювали ідеї Лоренца і Фітцджеральда, з яких розвинулась спеціальна теорія відносності. Без вашої роботи ця теорія була б і нині лише цікавим допущенням; вона дістала перше реальне підтвердження у ваших дослідах*.
14.5. Перетворення Лоренца
Розвиваючи свою гіпотезу, X. Лоренц показав, що для подолання суперечностей, які виникли при поясненні досліду Майкельсона та інших, треба ввести нові рівняння для перетворення координат при переході від системи координат, що перебуває в стані спокою, до системи координат, яка рухається рівномірно і прямолінійно віднос но першої. До цього фізики користувались перетвореннями коорди нат Галілея (2.1), із яких випливає, що в усіх системах відліку, які рухаються рівномірно і прямолінійно одна відносно одної, час про ходить однаково, а тіла зберігають свої розміри сталими.
Розглянемо дві системи відліку К і К' (рис. 14.5), просторові координати яких є прямокутними, декартовими. Позначимо їх відпо відно через х, у, ζ і х\ у\ ζ . Нехай система відліку К' рухається відносно системи К прямолінійно і рівномірно вздовж координати X
*Джефф Б. Майкельсон и скорость света. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963. — С. 144— 145.
334
зі швидкістю υ. Координатні осі х і х' |
κ |
κ |
|
збігаються за напрямом, осі у, ζ і у\ ζ |
|||
відповідно паралельні. У момент часу |
|
|
|
t = t' = 0 початок координат в обох |
|
|
|
системах відліку збігається. X. Лоренц |
^ |
|
|
користувався не тривимірним, а чоти- |
|
||
ривимірним простором Мінковського. |
|
Рис. 14.5 |
|
Просторових |
координат три, четвер |
|
|
та — часова, |
що якісно відрізняється від просторових. Об’єднання |
||
чотирьох координат події в один комплекс зовсім не означає праг нення стерти будь-яку відмінність між простором і часом. У про сторі, наприклад, можна рухатись назад і вперед, але жодна теорія, в тому числі й теорія відносності, не дає можливості побудувати «машину часу», на якій можна було б відправитися в минуле.
Виявляється, що за цих умов координати тієї самої події в обох
системах пов’язані такими формулами: |
t - vx |
|||
|
x - v t |
|
||
X = |
у = у; ζ —z\ t = |
(14.9) |
||
Vi - v 2 /c2 |
||||
|
|
Vl - v 2 /c2 |
||
Ці формули дають змогу визначити координати х\ у\ г\ t' деякої події в системі К\ якщо відомі її координати в системі К. Зворотний перехід від системи К до системи К' визначають такими формулами:
|
X + vt |
і' + Ц - |
|
|
X = |
у = у; z = z'; t = |
с* |
(14.10) |
|
V i - u 2 / c 2 |
|
|||
|
yjl - |
υ2 / с2 |
|
|
Формули (14.9) і (14.10) називають перетвореннями Лоренца, оскіль ки їх вперше вивів X. Лоренц. До речі, відомі рівняння Максвелла, не інваріантні перетворенням Галілея, виявилися інваріантними пере творенням Лоренца. Розглядаючи ці формули, насамперед помічаємо, що координати і/, ζ не змінюються; це відповідає відсутності попереч ного лоренцового скорочення. Формули перетворень симетричні, лише швидкість υ замінена на -υ. Це, звичайно, відповідає рівноправності всіх систем відліку. Основним є те, що змінюється не лише просторо ва координата х, а й час t. Це свідчить про відносність не тільки просторових координат, а й часу. Як зазначалося в ньютонівській механіці, час не змінювався при переході від однієї системи коорди нат до іншої: t = t'. Неважко помітити, що коли швидкість υ віднос ного руху систем відліку мала порівняно зі швидкістю світла с, пере творення Лоренца переходять у перетворення Галілея. Це означає, що релятивістська механіка не відкидає класичну, яка є граничним ви падком релятивістської механіки, коли υ « с.
335
14.6. Висновки з перетворень Лоренца
Слід зазначити, що у формули перетворень Лоренца (14.9) і (14.10) входять не довжини відрізків і не проміжки часу, а координати окре мих подій. Наприклад, час t відлічується за годинником, який пере буває в стані спокою в системі К, а час t' — за годинником, що не рухається в системі К'. Із перетворень Лоренца випливає чимало незвичайних з погляду класичної механіки висновків.
1. Відносність одночасності. У класичній фізиці проміжок часу між будь-якими двома подіями не залежить від системи відліку. Це знайшло своє відображення у перетвореннях Галілея для часу: t = Ґ . Тоді проміжок часу
τ — t 2 — — t 2 — t ^ — τ ,
де tt і t[ — моменти часу, що відповідають здійсненню першої (^ і t[) і другої (t2 і t'2) подій, виміряних відповідно в нерухомій і ру хомій інерціальних системах відліку. Якщо τ = τ', то дві події одно часні в деякій інерціальній системі відліку (τ = 0) мають бути одно часними і в усіх інших інерціальних системах відліку (τ' = 0). Отже, виходячи з перетворень Галілея, одночасність абсолютна. З перетво рень Лоренца випливає відносність одночасності: події, одночасні в одній інерціальній системі відліку, не обов’язково є одночасними в інших інерціальних системах, які рухаються відносно першої пря молінійно і рівномірно. Справді, нехай у системі К дві події сталися в момент часу ^ і t2, а місце їх визначається координатами х1 і х2. У системі К' цим подіям відповідатимуть моменти часу t[ і Ґ2 і координати х[ і х2. Припустімо, що в системі К події відбуваються одночасно, тобто = t2 = t. Тоді, виходячи з перетворень Лоренца (14.9), можна записати
Χ γ - v t |
, _ |
X 2 - V t |
(14.11)
Із формул (14.11) випливає, що коли одночасні події в системі К відбуваються в одній точці простору (хі = х2), вони збігатимуться в просторі (х'і = х2) і часі (t[= t2) і в системі К\ а також у будь-якій іншій інерціальній системі, яка рухається відносно системи К. Проте якщо одночасні події в системі К просторово розділені (х1 * Χβ), то в системі К' ВОНИ неодночасні (t[ Фt2 ) І просторово розділені (хі * х2 ).
336
2. Сповільнення часу. Розглянемо процес, що відбувається в точці з координатою х\ нерухомій відносно системи К Позначимо трива лість цієї події за годинником системи К' через τ', причому τ' = t2 - t[ , де індекси 1 і 2 відповідають початку і кінцю процесу. Визначимо тривалість події τ = t2 - ΐγ у системі К. Відповідно до формул пере творення Лоренца (14.10) можна записати:
t |
(14.12) |
Отже, тривалість події, що відбувається в певній точці, мінімаль на в тій інерціальній системі відліку, відносно якої ця точка є неру хомою. Одержаний результат можна сформулювати інакше, а саме: годинник, який рухається відносно інерціальної системи відліку, йде повільніше від годинника, що перебуває у стані спокою. Тому плин ність часу в рухомій системі повільніша, ніж у нерухомій. Із співвідно шення (14.12) видно, що сповільнення ходу годинника стає істотним лише при швидкостях υ, що наближаються до швидкості світла у вакуумі. Релятивістський ефект сповільнення плинності часу блис куче підтвердився в дослідах з μ-мезонами — нестабільними елемен тарними частинками, що входять до складу космічного випро
мінювання. Середній час життя нерухомого μ-мезона становить близь-
_л
ко 2-Ю с. Здавалося б, що, рухаючись навіть зі швидкістю світла, μ-мезони можуть пройти шлях близько 600 м. Проте, як свідчать спостереження, μ-мезони виникають у космічному випромінюванні
на висоті 20...30 км і багато з них досягає поверхні Землі. Це пояс-
_л
нюється тим, що 2 -Ю с — власний час життя μ-мезона — час, виміряний за годинником, який би рухався разом з ним. Час, відра хований за годинником експериментатора на Землі, відповідно до співвідношення (14.12), набагато більший.
3. Формула лоренцового скорочення. Розглянемо стрижень, роз ташований уздовж осі Ху який перебуває в стані спокою відносно системи К'. Тоді відносно системи К цей стрижень рухатиметься зі швидкістю υ. Порівняємо довжини стрижня у системах К і К\ У системі К\ відносно якої стрижень перебуває у стані спокою, визна чення довжини стрижня зводиться до визначення координат х[ і х2 ЙОГО КІНЦІВ. Довжиною стрижня у системі К' Є Ґ - X2 -х'і·
У системі Ку відносно якої стрижень рухається, справа усклад нюється тим, що треба визначити одночасно координати кінців стриж
ня х1 і х2. Тоді І = х2 -Χχ· |
Відповідно до формул перетворень Ло |
ренца (14.9) маємо |
Хл - vt |
Хо - vt |