Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Фізика (Чоплан П.П

.).pdf
Скачиваний:
520
Добавлен:
06.02.2016
Размер:
8.76 Mб
Скачать

ідеальним газом, на основі порівняння кількості частинок п2 і

в

однакових елементарних об’ємах, розміщених на різних висотах

 

і Ίΐγ. Якщо ж (5.8) застосовувати до броунівських частинок, то по­ трібно врахувати виштовхувальні сили, які діють на ці частинки з боку середовища, в якому вони розміщуються. Інакше кажучи, у

формулі (5.8) замість mg подаємо -оя г 3 (р -р 0)^, де р — густина

броунівських частинок; г — радіус їх;

р0 — густина середовища.

R

вираз (5.8) можна записати так:

Враховуючи рівність k = ---- ,

|jtr3(p-p0)g(*2-*i)N0

п2 = пхе

RT

(5.9)

Із співвідношення (5.9) можна визначити число Авогадро:

 

3RTln^-

 

N.

_______^2

(5.10)

 

°4яг3(р -р 0)^(Л2-fy )

Такий метод визначення числа Авогадро розробив і здійснив Ж. Перрен. Основна складність в його дослідах полягала у виготов­ ленні емульсії з однакових частинок. Проте цю складність усунули: однорідну емульсію одержали зі смолистих речовин центрифугуван­ ням. Емульсію поміщали в плоску кювету з прозорим склом і ре­ тельно термостатували. За допомогою мікроскопа досліджували роз­ поділ завислих частинок на висоті і за даними вимірів визнача­ ли число Авогадро. З подібних дослідів Ж. Перрен визначив, що N0 =6,5· ΙΟ23.

Це значення досить добре узгоджувалося з результатами визна­ чення числа Авогадро іншими методами.

5.Β. Дифузія газів

Дифузією називається явище взаємопроникнення двох або кількох речовин, які дотикаються одна до одної. Дифузія виникає в газі, якщо газ неоднорідний за складом, тобто якщо він складається з двох або кількох різних компонент, концентрація яких змінюється від точки до точки. Процес дифузії полягає у тому, що кожна з компо­ нент суміші переходить із тих частин об’єму газу, де його концен­ трація більша, туди, де вона менша, тобто в напрямі падіння кон­ центрації.

Переміщення тієї чи іншої компоненти під дією різниці концентра­ цій називається дифузійним потоком цієї компоненти. Виражається

128

він кількістю дифундуючої компоненти, яка проходить за одиницю часу через одиницю площі, перпендикулярної до напряму дифузії, тобто до напряму падіння концентрації.

Дифузійний потік можна виразити в одиницях маси. У СІ він ви­ ражається у кілограмах на квадратний метр-секунду [(кг/(м2 · с)], а в системі СГС — у грамах на квадратний сантиметр-секунду [(г/(см2 · с)]. Одиницею виміру дифузійного потоку може бути також число молів [(моль/(см2 · с)] або молекул [(молекула/(см2 · с)] і т. д. Концентрація цієї компоненти може виражатися в кілограмах на кубічний метр (кг/м3), грамах на кубічний сантиметр (г/см3), моль на кубічний сантиметр (моль/см3) і т. д.

Неоднорідна газова суміш, на яку не впливають зовнішні факто­ ри, стане через певний час, завдяки дифузії, однорідною (гази пере­ мішуються).

Дифузію, що приводить до вирівнювання концентрацій, тобто до зміни різниці концентрацій і самих концентрацій компонент, нази­ вають нестаціонарною дифузією.

Стаціонарна дифузія відбувається у газовій системі, коли яки­ мось штучним шляхом різниця концентрацій компонент суміші підтримується незмінною. Для цього потрібно, наприклад, в одну частину посудини неперервно добавляти таку компоненту, а з другої частини посудини відбирати її в такій самій кількості. Найчастіше доводиться мати справу з нестаціонарною дифузією.

Основний закон дифузії (закон Фіка). Досвід показує, що дифу­ зійний потік будь-якоі компоненти пропорційний градієнту концен­ трації цієї компоненти, взятому з оберненим знаком (закон Фіка).

Градієнтом будь-якої величини (скалярної) G, що залежить від координат, називають вектор, який характеризує зміни цієї величи­ ни у просторі. Надалі розглядатимемо випадки, коли величини G, які ми аналізуємо, змінюються лише вздовж якогось одного напря­ му, наприклад уздовж осі х. У цьому разі чисельне значення гра­ дієнта G (позначається grad G) дорівнює швидкості зміни величини

G зі зміною х, тобто похідній —-, або зміні величини G на одиницю dx

довжини.

Якщо концентрація п певної компоненти газової суміші змінюється вздовж осі х, а по інших напрямах залишається однаковою, то гра-

і dn

дієнтом концентрації п називається величина grad п = — . dx

Відповідно до основного закону дифузії (закону Фіка) запишемо:

/ = -£>4lL,

або N = - D 4і ,

(5.11)

dx

dx

 

де / — дифузійний потік заданої компоненти у напрямі осі х. Знак мінус у правій частині (5.11) вказує на те, що дифузійний потік спря­

129

мований у бік зменшення концентрації. Коефіцієнт D в рівнянні (5.11) називають коефіцієнтом дифузії. Суть його полягає в тому, що він чисельно дорівнює дифузійному потоку, коли градієнт концентрації становить 1.

Коефіцієнт дифузії у СІ виражається у квадратних метрах на се­ кунду (м2/с), а у системі СГС — у квадратних сантиметрах на секунду (см2/с).

Проте слід мати на увазі, що в рівнянні (5.11) кількість речовини в обох частинах рівності виражають в однакових одиницях. Це озна­ чає, якщо потік дифундуючої компоненти виражати його масою М (кількість грамів, що протікає через 1 см2 за одиницю часу), то кон­ центрація має виражатися кількістю цієї компоненти в 1 см3 суміші густиною р:

(5.12)

ла: '

Коефіцієнт дифузії D залежить від властивостей дифундуючої ре­ човини і компонент. При стаціонарній дифузії градієнт концентрації залишається сталим (незмінним з часом). Тому залишається сталим також і дифузійний потік. У разі нестаціонарної дифузії градієнт концентрації змінюється (концентрації вирівнюються). Відповідно до цього змінюється з часом і дифузійний потік.

5.4.Нестаціонарна дифузія

Уреальних умовах відбувається нестаціонарна дифузія. За неста­ ціонарних умов, коли маємо суміш з нерівномірним розподілом будьякої компоненти, під час дифузії концентрації вирівнюються. Тому при нестаціонарній дифузії градієнт концентрації й самі концентра­ ції компонент змінюються.

Нехай дві посудини з об’ємами V1 і V2 з’єднані між собою труб­ кою завдовжки І з площиною перерізу s (рис. 5.3) і наповнені суміш­ шю газів різного складу, але за однакових тисків і температур, а

концентрації заданої компоненти в обох посудинах дорівнюють відпо­

відно П2 І /12» а п1 > п2 · Унаслідок дифузії концентрації в обох посудинах вирівнювати­

муться, тобто різниця концентрацій п = п 1 - п 2 з часом зменшува­ тиметься.

 

Визначимо закон, за яким змен­

 

шується різниця концентрацій. Із

 

закону Фіка випливає, що дифу­

 

зійний потік

Рис. 5.3

dx в

130

Припустімо, що концентрація заданої компоненти мала. Тоді мож­ на записати, що

dn _ Ап d x~ І '

а рівняння (5.11) набере такого вигляду:

N= ~ D ^ .

Упроцесі дифузії молекули дифундуючої компоненти переходи­ тимуть із посудини І у посудину II. За нескінченно малий проміжок часу dt кількість молекул, які продифундують в посудину II, дорів­ нює

dN = D ^ -sdt.

(5.13)

Оскільки молекули переходять із першої посудини в другу, їхня густина в посудині І зменшиться на деяку величину dn, а в посу­ дині II відповідно збільшиться на величину dn0. Можна ще записа­

ти так: dn =

dn0= ^ г · Тому концентрації

і п2 молекул у

v \

V2

 

посудинах І і II через час dt стануть іншими:

n'l = пі + dn' = nj - - ,

η2 = η2 + dn = η2 + ^

-.

Визначимо різницю концентрацій через час dt:

 

Аη Пγ η2 Пγ

η2

dN.

 

Підставимо сюди значення dN із (5.13), а різницю

- п 2 позна­

чимо через Δη, після чого дістанемо

 

 

Δη' = An - D An J L + J -

sdt.

 

I

П V2

 

 

Звідси випливає, що зміна різниці концентрацій за час dt дорів­ нюватиме

ίί(Δπ) = Δη'-Δη = ~ D ^ V, + F, sdt.

VtV9

Величину 1

2

= V0 називають зведеним об'ємом (при Vj =

vl

 

2

= V2 = V зведений об’єм V0 = V /2).

131

Отже,

-

 

d (An) = -DAn — j dt,

 

або

V0 I

 

= - ° i dt.

(5.14)

i M

An

V0l

 

Після інтегрування (5.14) дістанемо

In (Δη) = -^ r - t + In A,

(5.15)

Vf0f\L

дe A — стала інтегрування. Звідси

 

An = A exp Ds t.

(5.16)

Стала А визначається з умови, коли відома початкова різниця концентрацій Δ/ι0, тобто різниця концентрацій у момент часу t - 0. Підставимо ці значення часу в (5.16) і одержимо, що А = Δη0, тоді

An = Δη0 exp f D s' t.

(5.17)

ν0ι

 

Ця рівність дає відповідь на поставлене питання про закон змен­ шення різниці концентрацій з часом. Різниця концентрацій з часом зменшується за експоненціальним законом і тим швидше, чим більше

значення величини Ds , яка для цього прикладу є сталою величи-

0

1 ν0ι

ною. Величина, обернена цій сталій, τ =

має розмірність часу.

Суть сталої τ полягає в тому, що вона дорівнює проміжку часу, який потрібен для того, щоб концентрація дифундуючої компоненти змен­ шилась у е разів. Величину τ називають сталою часу процесу.

Рівняння (5.17) можна записати так:

An = Ап0е~г^Т.

Отже, чим менша стала часу, тим швидше відбувається процес вирівнювання.

Дифузія в газах при атмосферному тиску — процес повільний. Наприклад, для суміші азоту і кисню різниця концентрацій змен­

шиться утричі лише за 5 год.

5.5. Стаціонарна дифузія. Коефіцієнт дифузії газів

Молекулярно-кінетична теорія дає змогу кількісно оцінити кое­ фіцієнт дифузії і виразити його через молекулярні величини — дов­ жину вільного пробігу молекул і швидкість теплового руху їх.

132

Розглянемо площадку s у посудині з

Πγ

s

пг

газовою сумішшю, перпендикулярну до осі

І

І

 

х (рис. 5.4), уздовж якої підтримується ста­

 

ла різниця концентрацій An = τίγ - п 2, тоб­

 

 

 

то розглянемо стаціонарний

процес.

 

 

 

Візьмемо для визначеності, що

Πγ > п2.

 

 

 

Оскільки концентрації молекул з одного і

 

 

 

другого боків від площадки s різні, то ви­

 

Рис. 5.4

 

никне деякий дифузійний ПОТІК уздовж ОСІ

 

 

х. Позначимо число молекул, які перети­

 

 

 

нають 1 см2 площадки s, перпендикулярної до напряму дифузії, за 1 с у напрямі позитивних значень х (праворуч) через Л^, а число молекул, які перетинають площадку в протилежному напрямі, — через N2. Тоді

дифузійний потік уздовж осі х дорівнює N =

- N2.

Як визначити число молекул, які перетинають 1 см2 площадки? Молекули мають різні швидкості, але для грубої оцінки візьмемо, що швидкості всіх молекул однакові й дорівнюють середній швид­ кості ϋ. Вважатимемо, що теплові швидкості молекул рівномірно розподіляються у трьох взаємно перпендикулярних напрямах. Тоді з усіх молекул в одиниці об’єму 1/3 частина їх рухається вздовж осі х , половина з яких рухається в позитивному напрямі осі х, а друга половина — в протилежному напрямі.

Отже, число молекул Nl9 які перетинають 1 см2 площадки за 1 с зліва направо, і число молекул N2, які перетинають ту саму пло­ щадку в протилежному напрямі, дорівнюють:

Ν.

= l n v ,

No = і η’ ϋ.

1

6

2

6

Тут п і п — концентрації молекул з одного і другого боків від площадки, які змінюються вздовж осі х внаслідок зіткнень молекул між собою. Вважатимемо, що п і п — це ті числа молекул в оди­ ниці об’єму, які були на відстані λ (середня довжина вільного про­ бігу) з обох боків від площадки.

Тоді дифузійний потік N визначаємо так:

Ν = ΝΧ- Ν 2 = ·| (η '-η ')ϋ,

де η - η — різниця концентрацій молекул між точками, віддаленими

одна від одної відстанню 2Х. Оскільки 4^ є різницею концентрацій, dx

що припадає на одиницю довжини, то на відстані 2λ вона дорівнює

dx

Ця формула справедлива, якщо значення λ досить мале.

133

Отже, для дифузійного потоку дістанемо такий вираз:

N = З dx

Якщо помножити ліву і праву частини цієї рівності на масу моле­ кули т , то одержимо

м = - іЗх ї Аdx

Порівнюючи це рівняння з рівняннями (5.11) і (5.12) закону Фіка

N = -D%L і M = - D ^ - ,

ах

ах

знаходимо вираз для визначення коефіцієнта дифузії:

£> = ±Хй.

(5.18)

Із цього виразу видно, що коефіцієнт дифузії обернено пропорцій­ ний тиску газу, оскільки λ ~ 1 / р, і прямо пропорційний квадратно­ му кореню із температури, адже ϋ ~ >/т\

Під час виведення формули (5.18) не бралася до уваги дифузія другої компоненти, яка також відбувається. Вона не може не впли­ вати на дифузію заданої компоненти.

Явище дифузії, яке ми щойно розглянули, виникає тоді, коли в газі існує різниця (градієнт) концентрації будь-якої компоненти. Процес дифузії при цьому приводить до зникнення градієнта і пере­ творює неоднорідну газову суміш в однорідну.

Крім такої «концентраційної» дифузії існує також дифузія, що називається термічною дифузією (термодифузією), яка приводить до протилежного результату — до часткового розділення однорідної газової суміші й перетворення її в неоднорідну. Це явище теоретич­ но передбачено 1911 p., а експериментально виявлено 1917 р. Яви­ ще термодифузії полягає в тому, що різниця температур в однорідній газовій суміші спричинює виникнення різниці концентрацій компо­ нент суміші в напрямі зменшення температури.

Існує ще один вид дифузії, який називається барочною дифузією (бародифузією). Вона виникає в газовій суміші під дією різниці тисків. Бародифузія також передбачає розділення газових сумішей. Цей метод, проте, не знайшов практичного застосування.

5.6. В'язкість газів (внутрішнє тертя)

В'язкість газів — це властивість газів (і рідин), завдяки якій ви­ рівнюються швидкості різних шарів газу. Швидкості сусідніх шарів газу, якщо вони різні, вирівнюються тому, що із шару газу з більшою

134

1*2

V

Напрям потоку

 

імпульсу

 

V

 

X

\Р\

5

Рис. 5.5

Рис. 5.6

швидкістю руху переноситься імпульс (кількість руху) до шару, який рухається з меншою швидкістю.

Якщо зовнішніми силами підтримується стала різниця швидкос­ тей руху різних шарів газу, то і потік імпульсу від шару до шару буде сталим (стаціонарним), причому цей потік спрямовуватиметься вздовж падіння швидкості.

Відомо, що у разі протікання газу вздовж труби швидкості різних шарів розподілені так, як це показано на рис. 5.5, де стрілки станов­ лять вектори швидкості газу. Найбільшу швидкість мають шари в середній частині, які прилягають до осі труби: з наближенням до стінок швидкість зменшується, а шар, який безпосередньо прилягає до стінок труби, перебуває у стані спокою.

За такої течії імпульс передається від центрального шару газу, де швидкість найбільша, до шарів, які рухаються з меншою швидкіс­ тю. Оскільки цей процес пов’язаний зі зміною кількості руху την, то газ веде себе так, немов би на нього діє деяка сила (сила внутрішньо­ го тертя).

Розглянемо випадок, коли швидкість руху газу змінюється в на­ прямі осі х, який у цьому разі перпендикулярний до напряму самої швидкості руху газу (рис. 5.6).

У напрямі, перпендикулярному до осі х, швидкість руху в усіх точках однакова. Це означає, що швидкість υ є функцією тільки координати х . Тоді, як показує досвід, зміна кількості руху р, що передається через площадку, перпендикулярну до осі х, визначають рівнянням

(5.19)

dv

де — — градієнт швидкості вздовж осі х, який характеризує зміну

швидкості вздовж цієї осі на одиницю довжини. Знак мінус в (5.19)

означає, що імпульс передається у напрямі, протилежному — . dx

135

Коефіцієнт η називають коефіцієнтом в'язкості, або коефіцієн­ том внутрішнього тертя газу, який так само, як і коефіцієнти ди­ фузії та теплопровідності, залежить від властивостей газу. Іноді ко­ ефіцієнт η, який визначається рівнянням (5.19), називають коефіці­ єнтом динамічної в'язкості, на відміну від коефіцієнта кінематич­ ної в'язкості, який дорівнює відношенню η /ρ, де р — густина газу.

Фізичний зміст коефіцієнта в’язкості полягає в тому, що він чи­ сельно дорівнює кількості руху, яка переноситься за одиницю часу (1 с) через 1 см2 площадки, коли градієнт швидкості (у напрямі, перпендикулярному до площадки) дорівнює одиниці.

За одиницю в’язкості в СІ беруть коефіцієнт в’язкості такої речо­ вини (газу), в якій при градієнті швидкості, що дорівнює одиниці, через 1 м2 площадки переноситься кількість руху 1 кг · м/с за 1 с. Отже, коефіцієнт в’язкості виражається в кілограмах на метр-секун- ду [кг/(м · с)]. У системі одиниць СГС коефіцієнт в’язкості виражається у грамах на сантиметр-секунду [г/(см · с)]. Цю одиницю називають пуаз. Одиницею виміру коефіцієнта кінематичної в’язкості є відпо­ відно квадратний метр на секунду (м2/с) і квадратний сантиметр на секунду (см2/с). Цю одиницю називають стокс.

При перенесенні імпульсу від шару до шару змінюється імпульс цих шарів (збільшується або зменшується). Це означає, що на кож­ ний шар діє сила, яка дорівнює зміні імпульсу за одиницю часу і через одиничну площадку (другий закон Ньютона). Отже, в’язкість приводить до того, що на будь-який шар газу, що рухається відносно сусіднього, діє деяка сила.

Ця сила є силою тертя між шарами газу, які рухаються з різними швидкостями. Звідси і походить назва внутрішнє тертя. Тому рівнян­

ня (5.19) можна записати у такому вигляді:

 

^ = - η ^ ,

(5.20)

dx

 

де F — сила, яка діє на одиницю площі поверхні, що розділяє два сусідні шари газу. Коефіцієнт в’язкості чисельно дорівнює силі, яка діє на одиницю площини при градієнті швидкості, що дорівнює оди­ ниці.

Внутрішнє тертя є причиною того,щодляпротіканнягазу (або рідини) через трубу потрібна деяка різницятисків. Вона має бути тим більшою, чим більший коефіцієнт внутрішнього тертя η.

Залежність між об’ємом газу V, що протікає за одиницю часу (1 с) через переріз труби, і певною різницею тисків Ар описують форму­ лою Пуазейля:

V . & L * .

(5.21)

де І — довжина труби; R — її радіус.

136

Визначивши об’єм газу, який протікає за деякий проміжок часу через трубу, різницю тисків на її кінцях і знаючи геометричні роз­ міри труби, за формулою (5.21) можна визначити коефіцієнт в’яз­ кості газу.

Проте для такого досліду придатна не будь-яка труба, оскільки для вимірювання в’язкості потрібно, щоб течія газу була ламінар­ ною, Це зумовлено тим, що за певних значень швидкості течії, які залежать від властивостей газу і радіуса труби, в газі починають з’являтися вихори, що порушують ламінарність течії. Для такої вих­ рової, або турбулентної, течії формула Пуазейля не справедлива. Чим менший переріз труби, тим більша швидкість потрібна для ви­ никнення вихорів. Щоб за звичайних швидкостей течії вихори не з’являлися, труба має бути дуже тонкою, або капілярною.

Метод вимірювання коефіцієнта в’язкості, який ґрунтується на використанні формули Пуазейля, часто називають капілярним мето­ дом, а відповідні прилади — капілярними віскозиметрами. Для течії в циліндричній трубі (капілярі) перехід до турбулентного руху відбу­

вається, коли безрозмірна величина Re =

стає більшою, ніж деяке

Л

_

критичне значення, порядку 1000. Тут р — густина газу; υ — серед­ ня швидкість течії; г — радіус труби; η — в’язкість газу. Ця величи­ на називається числом Рейнольдса (звідси і позначення Re). Якщо число Рейнольдса менше від критичного значення, то рух ламінар­ ний, а якщо перевищує його — турбулентний. Докладніше цей ме­ тод розглянуто в підрозділі 3.3.

5.7. Коефіцієнт в'язкості газів

Коефіцієнт в’язкості можна визначити способом, подібним до того, який застосовувався для визначення коефіцієнта дифузії.

Розглянемо площадку s, паралельну швидкості течії газу і, отже, перпендикулярну до напряму перенесення імпульсу (рис. 5.7). При­ пустімо, що швидкість течії газу зменшується у напрямі осі х, тобто швидкість течії справа від площадки менша, ніж зліва від неї. Зав­ дяки обміну молекулами під впливом теплового руху між обома шарами газу ця різниця у швидкостях зменшуєть­ ся. Під впливом цього обміну швид­ кість та імпульс шару газу справа ста­ нуть більшими, водночас швидкість та

імпульс шару зліва від площадки s зменшиться. Такий механізм передачі імпульсу в напрямі осі х від одного до другого шару газу, який протікає через трубу (капіляр).

137