Фізика (Чоплан П.П

Потік імпульсу Р, який переноситься за одиницю часу через одиницю площі площадки s, визначається різницею імпульсів Ру і Р2, як^ пере­ носять молекули, що перетинають площадку s зліва і справа. Імпульс Pj, який переноситься молекулами зліва направо, дорівнює добутку імпульсу окремої молекули на число молекул, які перетинають одини­ цю площі за одиницю часу. Це число молекул, як показано в підрозді­ лі 5.5, дорівнює 1 /6 nv (71 — число молекул в одиниці об’єму, V — середня швидкість теплового руху молекул). Імпульс окремої молеку­ ли, який вона переносить, перетинаючи площадку s, — це той імпульс, який молекула мала при останньому зіткненні перед площадкою, тоб­ то на відстані середньої довжини вільного пробігу λ від площадки.

Якщо швидкість течії газу на відстані λ зліва від s дорівнює ν', то імпульс молекули, пов’язаний з течією газу, дорівнює την (т — маса молекули).

Отже,

Рл = 4 ηντην'.

1 6

Для молекул, які перетинають площадку s справа, маємо

Р2 = —ηντην",

6

де ν' — швидкість течії газу на відстані λ справа від s. Результую­ чий потік імпульсу Р через одиницю площі за 1 с дорівнює

Р = - Р2 = ^nvm(v' - 1/),

де ν' - V 0 — різниця швидкостей течії газу в точках, які розміщу­ ються одна від одної на відстані 2 X, тобто

υ '- υ ' = - 2λ 4^· dx

Підставивши цей вираз у попередній, дістанемо

Р= -\m nvJ.^-.

Зdx

Порівняємо цей вираз з рівнянням (5.19). Беручи до уваги, що його одержано для одиниці площі й одиниці часу, маємо

де ρ = τηη — густина газу.

Цей вираз так само, як і вираз (5.18) для дифузії, дає оцінку коефіцієнту в’язкості з точністю до чисельного множника, який лише приблизно дорівнює 1/3.

138

Із цього виразу видно, що коефіцієнт в’язкості не повинен зале­ жати від тиску, оскільки добуток ρλ не залежить від тиску.

Досліди, пов’язані з вимірюванням в’язкості в широкому діапа­ зоні тисків, підтверджують цей висновок.

Коефіцієнт внутрішнього тертя має залежати від температури, оскільки у вираз (5.22) для в’язкості входить середня швидкість теп­ лового руху молекул, яка залежить від температури за законом Т1^2. Тому коефіцієнт в’язкості також має збільшуватися зі зростанням температури пропорційно Т1^2.

Насправді в’язкість збільшується швидше, ніж Т1^2. Це пов’яза­ но з тим, що з підвищенням температури не тільки збільшується теплова швидкість молекул, а й зменшується ефективний попереч­ ний переріз їх [див. співвідношення (5.5)], тому збільшується дов­ жина вільного пробігу. Відстань від місця останнього перед цим шаром зіткнення стає більшою, а отже, збільшується зміна імпульсу, який молекула з собою переносить.

5.8. Теплопровідність газів

Якщо газ нерівномірно нагрітий, тобто коли температура в одній його частині вища або нижча, ніж у другій, то відбувається вирівню­ вання температури: більш нагріта частина охолоджується, водночас більш холодна нагрівається.

Це пов’язано, напевне, з потоком теплоти від більш нагрітої час­ тини газу до більш холодної. Це явище виникнення потоку теплоти в газі (або рідині) називають теплопровідністю. В будь-якому тілі, зокрема в газі, на який не чиняться зовнішні впливи, теплопровідність приводить до вирівнювання температур. Цей процес, як правило, нестаціонарний. Однак трапляються випадки, коли різниця темпе­ ратур штучно підтримується сталою.

Щоб визначити кількісні закономірності, які характеризують процес теплопровідності, розглянемо відносно просту задачу, за своїм характером аналогічну тій, яка розглядалася при вивченні дифузії.

Припустімо, що температура газу змінюється від точки до точки

градієнта полягає в тому, що він дорів­ нює зміні температури від одної точки ДО другої, віднесеній до одиниці відстані

139

між ними. Існування градієнта температури є важливою умовою для виникнення теплопровідності.

Напрям потоку теплоти збігається з напрямом падіння темпера­ тури. Якщо зростанню координати х (тобто dx > 0) відповідає змен­ шення температури (dT < 0), то теплота тече в напрямі зростання х: потік теплоти спрямований так, щоб зменшити існуючий градієнт температури, який його викликав. Досвід показує, що потік тепло­ ти Q пропорційний градієнту температури, площі поверхні, яку пе­ ретинає, часу протікання (закон Фур’є):

(5.23)

Потік теплоти передбачає ту кількість теплоти, яка протікає че­ рез одиничну площадку за одиницю часу:

(5.24)

Коефіцієнт k у виразах (5.23) і (5.24) називають коефіцієнтом теплопровідності. Як бачимо з цих рівнянь, він чисельно дорівнює

потоку теплоти при градієнті температури ——, що дорівнює одн­ ая

ниці. Одиниці дорівнюють також площа поверхні s і час f, за який

відбувається потік теплоти. Із рівняння (5.23) видно, що коефіцієнт теплопровідності в СІ виражається в джоулях на метр-секунду-кельвін [Дж/(м · с · К)], у системі СГС в ергах на сантиметр-секунду-кельвін [ерг/(см · с · К)]. У техніці його часто виражають у кілоджоулях на метр-секунду-кельвін [кДж/(м · с · К)].

Коли на газ, в якому існує градієнт температури, не діють сто­ ронні сили, тобто до нього ззовні не підводиться енергія, тепло­ провідність приводить до вирівнювання температури. Спочатку роз­ глянемо нестаціонарну теплопровідність.

5.9. Нестаціонарна теплопровідність

Розглянемо знову дві посудини І і II, як для випадку нестаціонар­ ної дифузії (див. рис. 5.3), об’єми яких відповідно рівні V1 iV2, але наповнюються тепер однорідним за складом газом при однаковому в обох посудинах тиску. Ці посудини з’єднані трубкою І з площиною перерізу s. Припустімо, що в деякий момент часу температури газу в цих посудинах дорівнюють і Т2, і для визначеності візьмемо Τγ >Т2.

Якщо на газ не діють зовнішні впливи, то внаслідок теплопровід­ ності температури газу в обох посудинах вирівнюватимуться, тобто різниця температур

AT = Тг - Т2

140

зменшуватиметься з плином часу. Цей процес можна було б ще на­ звати «дифузією температури». Принагідно сказати, що у цьому разі відбувається також дифузія в загальноприйнятому розумінні цього слова.

Знайдемо закон зменшення різниці температур з плином часу. Відповідно до рівняння (5.24) потік теплоти через трубку визнача­ ють рівнянням

Q = ~k9~ах-

Припустімо також, що температура вздовж з’єднувальної трубки змінюється рівномірно, так що на будь-яку одиницю довжини при­ падає одна й та сама різниця температур. Тоді немає потреби корис­ туватися нескінченно малими величинами і можна записати:

За нескінченно малий проміжок часу dt із посудини І у посудину II через трубку перейде кількість теплоти, яка дорівнює

Унаслідок цього температура газу в посудині І зменшиться на деяку величину dTр а в посудині II підвищиться на величину dT2. Ця зміна температур залежить від теплоємності газу Су, яка дорів­ нює добутку питомої теплоємності газу cv на його масу т . Із відомих співвідношень між кількістю теплоти і температурою зрозуміло, що

dT1 = — 4 0 -, dT2 = -4 9 ~ , m^Cy * ^ 2 cv

де πΐγ і m2 — маси газув посудинах І і II відповідно; dT± і dT2 — абсолютні значення зміни температури.

Якщо густина газу в посудинах дорівнює р, то

Щ = pVv ТТІ2 = pv2,

тому можна записати попередні вирази у такому вигляді:

PVlcV P^2cv

Зменшення температури в посудині І на dT-γ і збільшення її на dT2 в посудині II приводить до зменшення різниці температур між ними на величину

141

Підставивши сюди значення із співвідношення (5.25), дістанемо

де А — стала інтегрування. Її легко визначити, виходячи з тих мірку­ вань, що різниця температур у початковий момент, тобто за t = 0, становить (ΔΤ)0 . Підставивши у вираз (5.26) t - 0 і AT = (ΔϋΓ)0 ,

дістанемо А = (ΔϋΓ)0 . Отже,

Рівняння (5.27) виражає закон вирівнювання температури з пли­ ном часу шляхом теплопровідності. Цей закон аналогічний закону вирівнювання концентрацій дифузією (5.17). В обох випадках вирів­ нювання відбувається за експоненціальним законом. Якщо порівня­ ти (5.27) з (5.17)

то видно, що експоненціальні множники в правій частині обох рівнянь

коефіцієнтом ♦дифузії температури». Величина k/ pcv , яка залежить

від властивостей газу, характеризує швидкість вирівнювання темпе­ ратури, тому вона називається коефіцієнтом температуропровідності

газу (або будь-якого іншого тіла). Множник S / { V Q L) є суто геомет­ ричним і характеризує лише апаратуру.

Неважко переконатися, що коефіцієнт температуропровідності так само, як і коефіцієнт дифузії, виражається в квадратних метрах на

142

секунду (м2/с). Як і під час розгляду дифузії, введемо сталу часу теплопровідності τ, що є проміжком часу, протягом якого різниця температур між двома об’ємами внаслідок теплопровідності газу змен­ шиться в е разів,

рСу IVQ

ks

5.10.Стаціонарна теплопровідність. Коефіцієнт теплопровідності

Унаслідок теплового руху молекул будь-який переріз в об’ємі, який займає газ, перетинається молекулами. Розглянемо деяку пло­ щадку s (рис. 5.9), перпендикулярну до осі х , уздовж якої підтри­ мується стала різниця температур (процес стаціонарний). Припусті­ мо, що температура Тг більша, ніж Т2 (Т^ > Т2).

Через площадку s проходять молекули як зліва направо, так і справа наліво. Якщо при цьому тиск газу в усіх точках один і той самий, то число молекул, що перетинають за 1 с одиницю площі s, зліва і справа має бути однаковим. Проте молекули, що рухаються зліва, несуть із собою більшу енергію, ніж молекули, які надходять до площадки справа, оскільки вони рухаються із зони більш високої температури. Унаслідок цього виникає потік теплоти (зліва напра­ во), який дорівнює різниці енергій, що переносять молекули зліва і

швидкість теплового руху молекул і п — число молекул в одиниці об’єму. Хоча = Ν2, проте енергії вони несуть різні. Знайдемо спочатку ці енергії.

Молекули, які надходять до площадки s зліва, рухаються до неї з тією самою енергією, яку вони мали після останнього перед площад­

143

щадки s. Кількість енергії, яку приносять молекули за 1 с до 1 см2 площадки, становить

<?1 =^nUUi.

Аналогічно кількість енергії, яку приносять молекули справа до площадки, дорівнює

Q2 =jrnUU2,

де U2 — середня енергія молекул, яка відповідає температурі Т* у точці, що лежить від площадки s на відстані X справа. Отже, ре­ зультуюче значення кількості енергії, яка протікає через 1 см2 пло­ щадки s за 1 с, становить

де Щ і U2 — середні значення енергії молекул, які відповідають температурам Т' і Т* у точках, що розміщуються одна від одної на відстані 2λ. __

Середня енергія однієї молекули U пропорційна температурі, її можна виразити через теплоємність газу Су. Середня енергія моле-

куди дорівнює Ік Т , де і - число ступені, вільності. Молярна тепло-

ємність газу Cv = ^-RT=^kN0T9 де Ν0 — число Авогадро; k —

стала Больцмана. Тому

и = ί2-kT = ^ -т . NQ

Отже, вираз для теплоти Q можна записати у такому вигляді:

Різницю температур Т'-Т* між точками, які лежать по обидва боки площадки s на відстані X від неї, можна визначити із значення градієнта температури:

т'-т' = - 2l 4L , dx

(ЛТ

оскільки градієнт температуриє зміною температури на одини­

цю довжини. Знак мінус вказує на те, що зростанню х відповідає зменшення Т. Звідси

<»·*·>

144

Зіставляючи співвідношення (5.29) і (5.24), дістанемо вираз для коефіцієнта теплопровідності:

μ — молярна маса і μ/Ν0 = т — маса однієїмолекули, то формулу (5.30) можна записати у вигляді

υО

де, як уже відомо, р = тп (добуток маси молекули на число молекул в одиниці об’єму).

Вирази (5.30) і (5.31) дають лише наближене значення коефіцієн­ та теплопровідності газу, оскільки чисельний множник у цих фор­ мулах залежить від припущень, зроблених під час розрахунків, і лише приблизно дорівнює 1/3. Точно розрахувати цей множник до­ сить важко.

5.11. Співвідношення між коефіцієнтами перенесення

Якщо порівняти вирази (5.18) і (5.22) для коефіцієнтів дифузії і в’язкості, то легко встановити, що вони між собою зв’язані таким співвідношенням:

Величину η/ρ, як ми вже знаємо, називають кінематичною в'яз­ кістю. Вона має таку саму розмірність, що й коефіцієнт дифузії, і чисельно йому дорівнює. Коефіцієнт в’язкості η — це деякий потік імпульсу (віднесений до одиничного градієнта швидкості). З іншого боку, добуток густини газу р на швидкість є імпульсом одиниці об’є­ му. Тому відношення потоку імпульсу η до густини р становить потік швидкості. Це й дає нам право називати коефіцієнт кінематичної в’язкості коефіцієнтом дифузії швидкості.

Порівнюючи вирази для коефіцієнта теплопровідності (5.31) і кое­ фіцієнта дифузії (5.18), дістанемо таке співвідношення:

де Су — питома теплоємність.

Зростання k / p c y ми спостерігали, розглядаючи процес вирівню­ вання температури (див. підрозділ 5.9), і назвали його коефіцієнтом температуропровідності. Цей коефіцієнт, як зазначалося, за суттю є

145

коефіцієнтом дифузії температури. У цьому легко переконатися з аналізу правої частини (5.33). Справді, коефіцієнт теплопровідності k визначає потік кількості теплоти, яка переноситься газом. Вели­ чина рСу є теплоємністю одиниці об’єму газу. Зміна температури газу, як відомо, визначається співвідношенням між наданою кількістю теплоти і теплоємністю газу (AT = AQ/ cv ). Тому відношення потоку КІЛЬКОСТІ теплоти ДО теплоємності, тобто k/pСу, становить потік температури при градієнті температури, що дорівнює одиниці, тобто коефіцієнт дифузії температури.

Порівнюючи вирази для коефіцієнтів теплопровідності (5.31) і в’язкості (5.22), бачимо, що між ними існує просте співвідношення:

де Су — питома теплоємність при сталому об’ємі. Це рівняння вста­ новлює зв’язок між суто механічними (коефіцієнт внутрішнього тер­ тя) і тепловими (коефіцієнт теплопровідності) явищами для газів. Величини, які входять до нього, безпосередньо визначаються експе­ риментально.

Отже, розглянуті явища перенесення можна тлумачити як про­ цеси дифузії речовини, температури і швидкості відповідно. Цим і пояснюються наведені кількісні співвідношення між коефіцієн­ тами перенесення D, k і η, які підтверджуються експериментально.

За допомогою будь-якого з коефіцієнтів перенесення, одержаного експериментально, можна оцінити середню довжину вільного про­ бігу λ молекули, а отже, і розміри молекули. Розраховані значення перерізів молекул певного газу з різних коефіцієнтів перенесення збігаються і називаються газокінетичними перерізами.

Контрольні запитання і завдання

1.Дайте визначення середньої довжини вільного пробігу молекул.

2.Як визначити сталу Сезерленда за в’язкістю?

3.Визначте число Авогадро, виходячи із броунівського руху.

4.Дайте визначення закону Фіка для дифузії.

5.Виведіть формулу для нестаціонарної дифузії.

6.Вирахуйте коефіцієнт дифузії газів.

7.Дайте визначення закону Ньютона для в’язкості.

8.Вирахуйте коефіцієнт в’язкості газів.

9.Дайте визначення закону Ф ур’є для теплопровідності.

10.Виведіть формулу для нестаціонарної теплопровідності газів.

11.Вирахуйте коефіцієнт теплопровідності.

12.Який зв’язок існує між коефіцієнтами перенесення газів? Запишіть його в аналітичному вигляді.

146

Розділ 6 БУДОВА І ВЛАСТИВОСТІ РЕЧОВИНИ

В КОНДЕНСОВАНОМУ СТАНІ

6.1. Будова і властивості кристалів

Істотною особливістю кристалічного тіла є впорядкованість у роз­ міщенні частинок, з яких воно побудоване: атомів, молекул, йонів тощо. Зручним способом описання цього розміщення частинок є про­ сторові ґратки.

Унаслідок упорядкованого розміщення частинок кристали набу­ вають властивостей, яких не мають некристалічні тіла. Однією з та­ ких властивостей є плоскогранність і сталість кутів між гранями монокристалів. Ця особливість кристалічних тіл часто відразу впа­ дає в око, тому зовнішню форму кристалів було вивчено значно рані­ ше, ніж експериментально досліджено їхню внутрішню будову. Якщо ми говоримо про який-небудь кристал, то у нас виникає образ тіла, що має певну правильну форму, а не уявлення про впорядкованість у розміщенні частинок, хоч останнє є основною властивістю криста­ ла. Найважливішими властивостями кристала, зумовленими зако­ номірним розподілом частинок у ньому, є анізотропія, симетрія в розподілі напрямів з однаковими фізичними властивостями, од­ норідність.

У XIX ст. накопичено великий експериментальний матеріал з вивчення кристалів. Було видано одинадцятитомну працю російського вченого Μ. І. Кокшарова (1818—1892) «Матеріали з мінералогії Росії». Проте зібраний на той час матеріал ще не мав теоретичного обґрун­ тування й узагальнення. Спроби деяких учених зустрічали уперту протидію з боку німецької формальної школи, представники якої заперечували реальне існування атомів. Є. С. Федоров, на відміну від формальної школи німецьких кристалографів, створив теорію кристалів, поклавши в основу її єдиний геометричний базис. У 1885 р. вийшла у світ перша монографія Є. С. Федорова «Начала вчення про фігури». З цього моменту в історії кристалографії починається но­ вий період.

Є. С. Федоров показав, що існує чотири типи просторових фігур (багатогранників), що заповнюють простір. Перші три типи федорівських ґраток — кубічні, четверта — гексагональна. Отже, за Федоровим, існують два основних типи просторових ґраток: кубічні та гексагональні. Йому належать також відкриття 32 сукупностей еле­ ментів симетрії для кристалічних тіл, 230 способів розміщення час­ тинок у кристалах, відкриття кристалохімічного аналізу і створення спеціальної апаратури та методів дослідження кристалів.

147