Фізика (Чоплан П.П

Підставивши це значення фази в рівняння (2.59), дістанемо

Розглядаючи зміну проекції точки В на горизонтальну вісь, ана­ логічно дістанемо

Коливальний характер руху, вираженого рівняннями (2.62) і (2.63), стає особливо наочним, якщо подати їх графічно, як це зроблено на рис. 2.11. Коливальний рух, що описується функцією синуса або ко­ синуса, називається простим гармонічним коливанням. Цей рух повністю визначається такими величинами: 1. Амплітудою а — відстанню найбільшого відхилення від початкового положення. 2. Пе­ ріодом коливань Т, тобто часом, протягом якого точка (тіло), що коливається, здійснить повний цикл коливального руху, зміщуючись спочатку в один, а потім у другий бік від початкового положення і знову повертаючись до нього. Замість періоду коливань можна задати його частоту V, що визначається кількістю повних коливань за 1 с. За одиницю частоти взято 1 герц (Гц) — це частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Період і частота зв’язані між собою так:

Колова частота ω дорівнює кількості повних коливань за 2π се­ кунд:

Визначимо силу, під дією якої виникатимуть прості гармонічні коливання. Для цього скористаємось, наприклад, рівнянням (2.62) і

78

знайдемо спочатку швидкість υ і прискорення W для точки, що гар­ монічно коливається:

х= a sin ω£,

ν= ^ = (oacoscof, dt

2

W = ^— = -ti?asuim ^-tii2x. (2.66) dt2

Помноживши ліву й праву частини рівняння (2.66) на масу мате­ ріальної точки, дістанемо диференціальне рівняння простого гармо­ нічного коливання:

де с = πιω — коефіцієнт зворотної сили. Отже, тіло здійснюватиме просте гармонічне коливання, якщо на нього діятиме зворотна сила, пропорційна зміщенню тіла від положення рівноваги. Гармонічне коливання — це рух, спричинений силою, що змінюється пропор­ ційно відхиленню х тіла від положення рівноваги. Сила F = -сх пов­ ністю характеризує коливання тіла поблизу положення рівноваги,

2.18. Математичний маятник

Математичний маятник є фізичною абстракцією, під якою розу­ міють точкове тіло, підвішене на пружній нескінченно довгій і нева гомій нитці. Практичним наближенням до

79

Із рис. 2.12 видно, що sin(p = jt/l. Тоді

(2.69)

де с = mg /І. Період Т гармонічних коливань зв’язаний з коефіцієн­ том зворотної сили с так:

(2.70)

Підставимо в (2.70) значення с для математичного маятника. Тоді

(2.71)

Із співвідношення (2.71) випливає, що період коливань матема­ тичного маятника залежить не від його маси, а від його довжини і прискорення вільного падіння.

Отже, за допомогою математичного маятника можна визначити прискорення вільного падіння g. Воно залежить від географічної широти місцевості та порід, що залягають у ній.

2.19. Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Коливальна система може віддавати енергію в зовнішнє середови­ ще. Це відбувається внаслідок того, що частинки середовища беруть участь у коливальному процесі. Кожне збурення, що виникає в певній ділянці середовища, поступово поширюватиметься, захоплюючи ча­ стинки, розміщені все далі від початкового збурення.

Частинка середовища, що лежить на відстані х від місця початко­ вого збурення, почне коливатися лише тоді, коли до неї дійде коли­ вальний процес, що поширюється в середовищі. Позначимо швидкість поширення коливального процесу через и. Він дійде до фіксованої частинки через проміжок часу

(2.72)

и

Якщо коливання описуються рівнянням у = asin(o)£ + (Ро)» то ко­ ливання певної частинки відбуватимуться за тим самим синусо­ їдальним законом, але із запізненням на час τ:

У = as

(2.73)

де a — амплітуда; ср0 — початкова фаза коливань.

80

Вираз у = a sin ωίί - —)+ φ0 є рівнянням плоскої біжучої хвилі,

що поширюється в додатковому напрямі осі х.

Розглянемо тепер розподіл зміщень у просторі в певний момент

(2.74)

де λ = иТ і k = 2η/λ.

Оскільки Т — період коливань, аи — швидкість поширення їх, то добуток иТ визначає відстань, на яку пошириться коливальний процес за час одного періоду. Цю відстань називають довжиною хвилі. Дві частинки, що відокремлені одна від одної інтервалом λ = иТ, коливаються в тій самій фазі. Кожна з них проходить через нульове положення одночасно з другою частинкою. Тому довжину хвилі мож­ на розглядати також як відстань між двома найближчими точка­ ми середовища, для яких різниця початкових фаз коливань стано­

Величину k = — називають хвильовим числом.

А

Геометричне місце точок середовища, яких коливання досягають у фіксований момент часу t, називають фронтом хвилі. Він від­ окремлює ту частину простору, яка втягнута у хвильовий процес, від тієї, куди коливання ще не поширились.

Крім поняття фронту хвилі використовують поняття хвильової поверхні. Хвильовою поверхнею називають геометричне місце точок, що коливаються в тій самій фазі. На відміну від фронту хвилі в кожний певний момент часу існує нескінченна множина хвильових поверхонь, оскільки їх можна проводити через будь-яку точку про­ стору, який охоплено хвильовим процесом. Зрозуміло, що фронт хвилі треба розглядати як окремий випадок хвильової поверхні. Залежно від конфігурації джерела коливань і властивостей середовища, в якому поширюється хвильовий процес, хвильові поверхні, а отже, і фронт хвилі можуть набирати певної форми — форми сфери, площини або навіть складнішої форми, яка в загальному випадку може зміню­ ватися з часом. Виходячи з форми фронту хвилі, розрізняють сфе­ ричні, плоскі, еліптичні та інші хвилі. Сферична хвиля виникає, наприклад, в однорідному та ізотропному середовищі за наявності в ньому точкового джерела коливань. У такому разі хвильові поверхні й фронт хвилі матимуть форму сфери. Умову реалізації хвильових поверхонь (фронту хвилі як окремого випадку хвильової поверхні)

81

де φ0 — початкова фаза коливань.

Різним значенням фази хвилі ср^ відповідатимуть різні хвильові поверхні. Із формули (2.75) випливає, що фронт хвилі при цьому переміщується зі швидкістю

(2.76)

Оскільки з цією самою швидкістю переміщується також поверх­ ня сталої фази, то її називають фазовою швидкістю.

При поширенні хвильового процесу частинки середовища не за­ хоплюються рухомою хвилею; вони здійснюють лише коливальні рухи навколо положення рівноваги. Швидкість хвилі и — це не швидкість поступального руху матеріальних частинок, а швидкість поширення імпульсу, що спричинює зміщення частинок. Оскільки проходжен­ ня хвилі супроводжується коливаннями частинок середовища, то разом із хвилею поширюється в просторі й енергія коливань.

Уявімо собі елемент пружного середовища з об’ємом Vf в якому поширюється хвиля з амплітудою а та частотою ω. Можна показати,

де р = m/V — густина речовини.

Густина енергії та її середнє значення (2.77) пропорційні густині середовища р, квадрату частоти ω і квадрату амплітуди хвилі а. Така залежність спостерігається не лише для плоскої хвилі зі сталою амплі­ тудою, а й для інших хвиль.

Таким чином, середовище, в якому поширюється хвиля, має до­ датковий запас енергії. Ця енергія передається від джерела коли­ вань у різні точки середовища самою хвилею. Отже, хвиля перено­ сить разом із собою енергію. Відношення кількості енергії АЕ до часу Δί, за який цю енергію перенесено, називають потоком енергії. Припускають, що At » 7і, де Т — період коливань. Потік енергії — скалярна величина, що виражається у ватах (СІ) та ергах за секунду (система СГС).

Потік енергії хвиль у різних точках середовища має різну інтен­ сивність. Для характеристики потоку енергії вводять векторну вели­ чину, яку називають густиною потоку енергії хвиль. Ця величина дорівнює відношенню потоку енергії до площі поверхні, яка розта­

82

шована перпендикулярно до напряму поширення хвиль. Напрям вектора густини потоку енергії збігається з напрямом перенесення енергії хвиль.

Нехай через площину ASj_ перпендикулярно до напряму поши­ рення хвилі переноситься енергія АЕ за час At. Тоді густина потоку енергії

Ураховуючи, що АЕ/ At є потоком енергії ΔΦ через площину SL,

Через площину S± за час At переноситься енергія АЕ±, що містить­ ся в об’ємі циліндра з основою AS± та висотою uAt (и — фазова швидкість хвилі). Якщо розміри циліндра досить малі, то густину енергії κ в усіх точках такого циліндра можна вважати однаковою і

Підставивши вираз (2.80) у формулу (2.78), дістанемо

Розглядаючи фазову швидкість и як вектор, напрям якого збігає­ ться з напрямом поширення хвиль (і перенесення енергії), можна записати

Російський фізик М. О. Умов уперше ввів поняття вектора густи­ ни потоку енергії (вектор Умова). Вектор у, як і густина енергії κ, неоднаковий у різних точках простору. Середнє його значення з ура­ хуванням (2.77) можна записати так:

Величину, що дорівнює добутку густини середовища на швидкість поширення хвиль z = pw, називають хвильовим опором.

2.20. Інтерференція хвиль. Швидкість поширення хвиль

Часто в середовищі одночасно поширюється не один, а кілька хвильових процесів, наприклад кілька коливальних систем одночас­ но випромінюють хвилі. При цьому кожна частинка середовища,

83

попадаючи в таке хвильове поле, здійснює результуючий коливаль­ ний рух, що складається з коливань, спричинених кожним із хвильо­ вих процесів. Результуюче зміщення частинки середовища у будьякий момент часу є геометричною сумою зміщень, спричинених кож­ ним із складових коливальних процесів окремо.

Властивість незалежного поширення одночасно хвильових про­ цесів називається принципом суперпозиції. Прикладом незалежного накладання хвиль можуть бути звукові хвилі, що поширюються від кількох джерел звуку. Якби принципу суперпозиції не існувало, то хоровий спів і музика були б неможливими.

Проте за певних умов спостерігається відхилення від принципу суперпозиції, а саме: при накладанні двох хвильових процесів у од­ них точках середовища коливання підсилюються (збільшується їхня амплітуда), в інших — слабшають (амплітуда коливань зменшуєть­ ся). Таке явище називають інтерференцією хвиль. Воно спостерігає­ ться тоді, коли через ту саму точку середовища поширюються два хвильових процеси з однаковою частотою й однаковим напрямом зміщення частинок, а різниця фаз коливань, що додаються, в кожній фіксованій точці середовища залишається сталою. Ці умови вико­ нуються тоді, коли джерелом обох хвильових процесів є одна й та сама коливальна система. Дістати від одного джерела дві серії хвиль зі сталою різницею фаз можна, наприклад, якщо використа­ ти крім прямої відбиту хвилю (при цьому може утворитися стояча хвиля).

Отже, умовами інтерференції хвиль є однакова частота, однако­ вий напрям зміщення частинок і сталість різниці фаз коливань, що додаються. Хвилі, для яких виконуються ці умови, називають коге­ рентними. Накладання кількох когерентних хвиль завжди приво­ дить до виникнення інтерференції.

Хвилі, для яких напрям коливання частинок середовища збігається з напрямом хвильового процесу, називають поздовжніми. Прикла­ дом поздовжніх хвиль можуть бути звукові хвилі в газах і рідинах: тут згущення й розрідження частинок періодично повторюються в напрямі поширення звуку. Хвилі, для яких напрям коливання час­ тинок середовища перпендикулярний до поширення хвильового про­ цесу, називають поперечними.

Для вивчення будь-якого хвильового процесу треба знати швид­ кість поширення хвиль, яка залежить від властивостей середовища. Тому знання швидкості поширення хвиль у середовищі дає важливу інформацію про його фізичні особливості. Помітних успіхів тепер досягла молекулярна акустика, що вивчає речовини в різних агрегат­ них станах за допомогою поширення звукових хвиль. Наприклад, у більш пружному середовищі хвилі поширюються швидше, ніж у менш пружному.

84

Можна показати, що швидкість поширення в пружному середо­ вищі поздовжніх хвиль

де К — модуль об’ємної пружності; G — модуль зсуву; р — густина середовища.

Якщо поздовжня хвиля поширюється у стрижні, а не в нескінченно протяжному середовищі, у формулі (2.84) модуль об’ємної пружності К треба замінити модулем Юнга Е:

У твердих тілах поздовжні хвилі поширюються швидше від попе­ речних, оскільки модуль об’ємної пружності К значно більший від модуля зсуву G. Наприклад, у залізі цц = 5170 м/с; и± = 2550 м/с. Різниця швидкостей поширення поздовжніх і поперечних хвиль у земній корі має цінну інформацію про внутрішню будову Землі і дає змогу визначити місцеположення епіцентрів землетрусів.

Швидкість поширення хвиль на поверхні моря залежить від співвідношення між його глибиною та довжиною хвилі. Для при­ пливних хвиль (зумовлені сукупністю дій тяжіння до Сонця й Міся­ ця) довжина хвилі досягає сотень кілометрів, тобто значно більша від глибини. Внаслідок цього швидкість поширення припливних хвиль практично залежить лише від глибини моря h і визначається

формулою и = yfgh, де g — прискорення вільного падіння.

2.21. Звук. Ефект Доплера

Звук — це хвильовий процес. У твердих тілах звук поширюється у вигляді поздовжніх і поперечних хвиль. Оскільки рідини й гази практично не мають пружності зсуву, то в таких середовищах звук поширюється тільки у вигляді поздовжніх хвиль. У газах і рідинах звукові хвилі є періодичними згущеннями й розрідженнями середо­ вища, що віддаляються від джерела звуку з певною характерною для цього середовища швидкістю.

Звук характеризується інтенсивністю (силою) та складом і час­ тотою пов’язаних з ним хвильових процесів. За суб’єктивним відчут­ тям розрізняють такі характеристики звуку: гучність, тембр і висоту.

Власне звуковими коливаннями (звуком) називають коливання, що поширюються в пружному середовищі й частота яких лежить у межах 16...20 000 Гц. Пружні хвилі частотою, меншою ніж 16 Гц, називають інфразвуковими, а більшою від 20 000 Гц — ультразвуко­

85

швидкість джерела звуку відносно нерухомої системи координат. Отже, на підставі виразу (2.93) можна зробити такий висновок:

зменшення відстані між джерелом звуку і спостерігачем завжди су­ проводжується збільшенням частоти сприйнятого звуку, і навпаки, збільшення відстані між джерелом звуку і спостерігачем приводить до зменшення частоти сприйнятого звуку.

2.22.Філософські висновки з механіки Ньютона

УXV—XVII ст. під час зародження капіталістичних відносин у Західній Європі досягли значного розвитку промислове виробництво, військова справа і мореплавство. Господарчі та культурні зв’язки між різними країнами і поява друкарського верстата стимулювали наукове спілкування, обмін знаннями між народами. Це поставило перед наукою нові завдання і підготувало умови для їхнього розв’я­ зання.

Щоб виконати ці завдання, наука мала стати на шлях самостійного розвитку та систематичного експериментального дослідження при­ роди. Початком такого дослідження була геліоцентрична система Коперника, яка прийшла на зміну космологічній системі Птолемея.

Розвиваючи геліоцентризм М. Коперника, Й. Кеплер відкрив ос­ новні закони руху планет навколо Сонця. Г. Галілей виявив також

внутрішню суперечливість динаміки Арістотеля і розробив деякі її основні наукові принципи. Дослідження Г. Галілея в галузі динаміки і астрономії поклали початок упровадженню експериментального ме­ тоду в природознавстві. Систематизуючи й узагальнюючи результати, одержані Г. Галілеєм, Й. Кеплером та іншими своїми попередника­ ми, І. Ньютон сформулював основні закони механіки. Ньютонівська фізична картина світу розглядалась не лише як основа для наукового пояснення явищ природи, а й як синтез наукових знань свого часу. Оскільки в ті часи механіка була головною наукою, наукове пояснен­ ня природи було механічним, а синтез наукових знань про природу ототожнювався або із самою механікою, або з механічною картиною світу. Як наслідок цього механічна картина світу іноді охоплювала такі явища, які фактично не належали до механіки. Вона була засо­ бом механічного пояснення немеханічних явищ (теплових, електро­ магнітних) та основою для спроб побудувати механічні теорії цих явищ. Вважалось, що механічна картина світу в принципі здатна пояснити будь-яке явище природи. При цьому за ідеал наукового бралося пояс­ нення, що виходить з простих і наочних механічних моделей.

87