112. Ентропія. Ентропія ідеального газу

Формулу коефіцієнта корисної дії ідеальної теплової машини, що працює за циклом Карно

п риведемо до вигляду

Відношення кількості переданої теп­лоти до температури тепловіддавача або теплоприймача Q/T називається зведеною кількістю теплоти.

Під час виконання циклу Карно при­ведені теплоти при процесах ізотермічного розширення і стиску однакові.

У випадку необоротної теплової машини

і

Тоді, об'єднавши формули для оборот­ної і необоротної теплових машин, маємо:

Умовимося кількість теплоти, яка віддана тілу нагрівником, вважати додат­ною, а кількість теплоти, віддану тілом хо­лодильнику, - від'ємною. Тоді

п ричому "=" відповідає оборотним переходам, а "<" - необоротним.

В загальному вигляді

П ри неперервній зміні стану тіла мож­на вважати, що воно входить у теплообмін з неперервним рядом нагрівників і холодиль­ників. Кожен з цих нагрівників і холодильни­ків віддає робочому тілу або отримує від нього нескінченно малі кількості теплоти Q. Тоді сума

п еретворюється в інтеграл

Це співвідношення називається рівніс­тю (нерівністю) Клаузіуса.

Р озглянемо оборотний цикл 1аnb1 . Запишемо рівність Клаузіуса у виг­ляді суми двох інтегралів:

З відси,

Н езалежність інтегралу від шляху оборотного переходу між станами 1 і 2 означає, що цей інтеграл виражає зміну деякої функції стану тіла. Підінтегральний вираз Q/T є повним диференціалом деякої функції, яка визначається лише станом системи і не зале­жить від шляху, яким система прийшла в цей стан. Отже,

Функція стану, диференціал якої є Q/T , називається ентропією S.

З гідно з визначенням зміна енторопії при оборотному процесі

де підінтегральний вираз і границі інтегрування треба виразити через величини, що характеризують досліджуваний процес. Ця формула визначає ентропію лише з точніс­тю до адитивної сталої, тобто початок відліку ентропії довільний.

Кожний стан тіла характеризується певним значенням ентропії S, яка є повним диференціалом.

Р озглянемо цикл 1anb1, частина яко­го 1an необоротна, вона здійснюється нерівноважним процесом, а частина nb1 обо­ротна, виконується рівноважним процесом.

Тоді на основі

тобто інтеграл від по необоротному шляху завжди менший від інтеграла по обо­ротному шляху між тими ж станами.

При необоротному процесі менший від зміни ентропії в даному процесі.

Тоді

Д ля оборотного рівноважного циклу зміна ентропії

Якщо система виконує необоротний цикл, то ентропія системи зростає: S > 0.

Ентропія замкненої системи може або зростати, або залишатися постійною.

Оскільки реальні процеси необоротні, то всі процеси в замкненій системі ведуть до збільшення її ентропії - у цьому полягає принцип зростання ентропії. Цей принцип лежить в основі формулювання другого зако­ну термодинаміки: можливі лише такі про­цеси, що відбуваються в макроскопічній сис­темі, які ведуть до збільшення її ентропії.

Знайдемо зміну ентропії у процесах ідеального газу. Оскільки

т о

Зміна ентропії S_12 ідеального газу при переході його із стану 1 у стан 2 не за­лежить від виду процесу переходу 12.

При адіабатному процесі Q = 0 і S  0.

Для оборотного адіабатного процесу зміна ентропії дорівнює 0, для необоротного S₂ >S₁ - ентропія тіла зростає.

Оборотний адіабатний процес - ізоентропічний процес.

При ізотермічному процесі T₁ = T₂ і S = m/RlnV₂/V₁, при ізохоричному процесі V₁ = V₂ і S = m/C_VlnT₂/T₁.