8.1 Момент сили та момент імпульса

О

бертальний рух викликається не силою , а моментом сили (рис.1)

О

О

Моментом сили відносно точки О (полюса) називається векторна величина , що визначається :

;

;

Плече сили — це найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання.

Напрям вектора визначається за правилом векторного добутку.

Проекція вектора на довільну вісь Z , що проходить через точку О , називається моментом сили відносно цієї осі :

О

Моменти внутрішніх сил попарно врівноважують один одного , і сума моментів усіх внутрішніх сил для будь-якої системи частинок завжди дорівнює нулю :

, а також .

По аналогії з моментом сили , моментом імпульса матеріальної точки відносно точки О називається векторна величина :

,

де - радіус-вектор , що визначає положення частинки відносно точки О ;

- імпульс матеріальної точки.

Напрям вектора визначається за правилом векторного добутку .

М

одуль момента імпульса дорівнює:

П

m

О

роекція вектора на довільну вісь Z , яка проходить через точку О , називається моментом імпульса матеріальної точки відносно цієї осі.

8.2 Рівняння моментів

З’ясуємо , від чого залежить зміна момента імпульса частинки.

Продеференціюємо вираз для момента імпульса :

О

.

Отже , : швидкість зміни момента імпульса з часом дорівнює сумарному моменту сил , які діють на частинку.

;

.

Одержане рівняння називається рівнянням моментів

8.3 Момент інерції тіла відносно осі обертання

В

Величина добутку елементарних мас на квадрат їх відстані до ( осі) називається моментом інерції тіла відносно цієї осі.

Вираз являється не зовсім однозначним, тому щоб усунути невизначеність , необхідно взяти границю виразу , коли . :

еличина називається моментом інерції матеріальної точки з масою m_i відносно осі ОО’

O`

m_i

R_i

O

, де - густина , dV – елементарний об’єм.

Таким чином, момент інерції тіла визначається за формулою:

;

Д

O`

ля прикладу , знайдемо момент інерції однорідного циліндра відносно його геометричної осі :

r

dr

; ( )

Отже , .

Так само можна довести , що момент інерції кулі масою m та радіусом R дорівнює :

,

а момент інерції стиржня масою m та довжиною відносно осі , яка проходить через середину стиржня , дорівнює : о

h

O’

O

С

Якщо вісь обертання не проходить через центр мас тіла , то для визначення момента інерції відносно цієї осі використовують теорему Штейнера :

М

O₂

O₂`

омент інерції тіла відносно довільної осі О₁О₂ ,дорівнює сумі моментів інерції відносно осі О’₁О₂’, паралельній даній , яка проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями :