Тема 7 корреляционная теория случайных процессов

• Функция корреляции и спектр мощности

7.1(УР).Случайный процессX(t) задан ансамблем своих реализаций видах(t) =acosω₀t, гдеω₀- фиксированная величина,а - случайная величина с нулевым математическим ожиданиема и конечной дисперсией σ²_a=а². Докажите, что процессX(t) не является стационарным в широком смысле.

7.2(О).Случайный процессX(t) имеет ансамбль постоянных во времени реализаций, который описывается нормальным законом распределения с нулевым математическим ожиданием и некоторой известной дисперсией σ². Найдите среднее значениех и функцию автокорреляцииК_х(τ) данного случайного процесса.

7.3(У).Докажите, что случайный процесс, рассмотренный в задаче 7.2, неэргодичен.

7.4(У).Реализации случайного процессаX(t) представляют собой гармонические колебания видаx(t) =acosω₀t+bsinω₀tс фиксированной частотойω₀; амплитудыа иb являются случайными величинами.

Докажите, что процесс X(t) стационарен в широком смысле тогда и только тогда, если: 1)а=b= 0; 2) σ²_a= σ²_b; 3)ab= 0.

7.5(УО).Найдите функцию корреляцииR_х(τ) случайного процессаX(t), рассмотренного в задаче 7.4, предполагая, что выполнены все условия, обеспечивающие его стационарность в широком смысле.

7.6(У).Докажите, что случайный процессX(t), рассмотренный в задаче 7.5, является эргодическим.

7.7(Р).ПустьX(t) - стационарный дельта-коррелированный случайный процесс (белый шум), имеющий нулевое математическое ожидание и функцию корреляцииR_x(τ) =W₀δ(τ), гдеW₀- постоянный на всех частотах спектр мощности данного процесса. Случайный процессY(t), реализации которогоy(t) связаны с реализациямих(t) интегральным соотношением

принято называть случайным процессом Винера.

Выведите формулу для функции корреляции этого случайного процесса. Докажите, что процесс Винера нестационарен.

39

Получите закон изменения дисперсии этого процесса во времени.

7.8(УО).Найдите спектр мощностиW_x(ω) случайного процессаX(t) рассмотренного в задаче 7.5.

7.9(0).Стационарный случайный процессX(t) с размерностью напряжения (В) на некоторой фиксированной частотеω₀имеет значение спектра мощностиW_x(ω₀), равное 1.7 · 10^-15В²· с. Вычислите величины односторонних спектров мощностиF_х(ω₀) иF_х(f₀).

7.10(О).Найдите спектр мощностиW_x(ω) стационарного случайного процессаX(t), имеющего нулевое математическое ожидание и функцию корреляцииR_х(τ) = σ²ехр × (-α |τ|) · cosω₀τ.

7.11(О).Получите выражение для функции корреляцииR_х(τ) стационарного случайного процессаX(t) со спектром мощностиW_x(ω) полосового вида (рис. I.7.1):

7.12(Р).Найдите функцию корреляцииR_x(τ) случайного процессаX(t) вида "случайного телеграфного сигнала". Его реализацииx(t) (рис. I.7.2) являются разрывными функциями, принимающими с равными вероятностями лишь два значения: +а и -а. В случайные моменты времени знак реализации изменяется скачком. Вероятность события, состоящего в том, что за времяТ произойдетп перемен знака, описывается формулой закона Пуассона

где λ>0 - параметр с размерностью частоты, определяющий среднюю скорость протекания процесса.

Рис. I.7.1

Рис. I.7.2

40

7.13(О).Определите значение одностороннего спектра мощностиF_x(ω) случайного телеграфного сигналаX(t), рассмотренного в задаче 7.12, на частотеω₀= 10³с^-1при следующих параметрах:а= 15 В; λ = 3 · 10⁴с^-1.

7.14(О).Найдите интервал корреляции τ_кстационарного случайного процессаX(t) с односторонним спектром мощности

где ω_в- значение верхней граничной частоты спектра.

7.15(УО).Найдите интервал корреляции τ_кслучайного телеграфного сигналаX(t) (см. задачу 7.12) для значения λ = 5 · 10⁶с^-1. Оцените значениеω_в, ограничивающее область частот 0 ≤ω≤ω_в, в пределах которой данный случайный процесс может приближенно рассматриваться как белый шум.

• Дифференциальные свойства случайных процессов

7.16(Р).Стационарный случайный процессX(t) имеет спектр мощности низкочастотного вида:

Найдите спектр мощности производной Y(t) = dX/dt. Вычислите функцию корреляции производнойR_y(τ).

7.17(УО).Определите эффективную ширину спектра Δω_эфслучайного процессаY(t), рассмотренного в задаче 7.16.

7.18(УР).Гауссов стационарный случайный процессX(t) имеет односторонний спектр мощности, описанный в условиях задачи 7.14. Получите формулу для расчета квазичастотыn(0) данного случайного процесса.

Рис. I.7.3

7.19(УО).График частотной зависимости спектра мощности стационарного гауссова процессаX(t) изображен на рис. I.7.3. Вычислите квазичастоту данного процесса.

41

• Узкополосные случайные процессы

7.20(Р).Узкополосный нормальный случайный процессX(t) характеризуется дисперсией σ²_x= 10 В². Найдите вероятность того, что в некоторый фиксированный момент времени огибающая этого процесса превосходит уровень 4 В.

7.21 (О).Узкополосный нормальный случайный процесс, имеющий дисперсию σ²_x= 2.5 В², приложен ко входу идеального детектора огибающей. Вычислите дисперсию и среднее значение напряжения на выходе детектора.

7.22(Р).Отдельные реализации огибающейU(t) нормального узкополосного случайного процессаX(t) наблюдаются в течение отрезка времени длительностью 1 с. Определите средние длительности суммарных промежутков времени, когда 4.9 В <U≤ 5.1 В при дисперсиях узкополосного процесса, равных 1 В², 12 В²и 96 В²соответственно.

7.23(О).Узкополосный случайный процессX(t), нормальный и стационарный в широком смысле, имеет функцию корреляции (В²)

R_x(τ) = 3.5ехр(-10⁴|τ|) cos 10⁷t.

Найдите функцию корреляции R_U(t) огибающейU(t) данного процесса.

7.24(О).Применительно к условиям задачи 7.24 найдите спектр мощностиW_U(ω) (B²· c) огибающейU(t) рассматриваемого случайного процесса.

7.25(Р).На основании результата, полученного в задаче 7.24, определите эффективную ширину спектра огибающей с учетом одного и двух членов в разложении функции корреляции.

7.26(У).Докажите, что средний квадрат огибающейU(t) узкополосного нормального случайного процессаX(t) вычисляется по формулеU²= 2σ²_x, где σ²_x- дисперсия процессаX(t).

7.27(У).Рассматривается сумма гармонического сигналаи(t) =U_m cosω₀tи узкополосного нормального шумаX(t), спектральная плотность мощности которого симметрична относительно центральной частотыω₀. Дисперсия σ²_xслучайного процессаX(t) задана. Докажите, что средний квадрат огибающей суммы этих двух колебаний вычисляется по формулеU²=U²_m+ 2σ²_x.

7.28(Р).Используя средства математической системы MathCAD, составьте программу, позволяющую строить графики распределения Раиса в соответствии с формулой (7.78) из [1] при произвольных отношенияхU_m/σ_x.

42

Содержание