Раздел I включает шестнадцать отдельных тем, которые охватывают всю программу курса. Тематические заголовки повторяют названия глав учебника [1].

Подбор задач и их расстановка выполнена таким образом, что учащимся предлагается внутренне организованная система упражнений, отвечающая общим и частным принципам построения курса "Радиотехнические цепи и сигналы". Так, читатель найдет здесь задачи, преследующие цель закрепить теоретический материал. Имеются задачи следующей ступени сложности, когда приемы и методы познавательной деятельности должны быть обобщены учащимся для анализа более сложных ситуаций. Наконец, в пособие включены задачи, предусматривающие перенос знаний на новые объекты, выработку навыков творческого мышления.

Раздел II пособия содержит указания к решению ряда задач. В разделе III приведены образцы решений. Последний раздел IV включает в себя ответы к задачам.

Автор стремился написать пособие, которое активно помогало бы студенту в наиболее сложной фазе работы - в поиске плана решения задач. Для этого была проведена классификация всех помещенных в книге задач. Классификационные символы располагаются в скобках вслед за номером задачи и имеют следующий смысл:

УР- к задаче приведены указания (для хорошо подготовленных студентов, намеренных решить задачу "без подсказки") и решение;

Р- приведено только решение;

УО- данную задачу сопровождают указания и ответ;

У- приводится только указание;

О- приводится только ответ.

Изучение каждой темы следует начинать с проработки установочных задач типов УР и Р. При выполнении упражнений студенту целесообразно иметь под рукой учебник по теории цепей, например, [2] и математические справочники, такие, как [3] и [4].

5

Содержание

Раздел I

Задачи и упражнения

Тема 1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

• Математические модели сигналов

1.1(Р). Импульсный сигналu(t), имеющий размерность напряжения (В), описывается формулой

u(t) = 25[ехр(-10⁵t- ехр(-2 · 10⁵t)] σ(t).

Постройте график данного импульса. Определите максимальное значение сигнала u_max, а также момент времени достижения максимумаt_max. Вычислите длительность импульса τ_и, определив ее как длину отрезка времени от нуля до той точки, в которой мгновенное значение сигнала уменьшается в 10 раз по сравнению с максимальным значением.

1.2(О). Математическая модель импульсного сигнала задана выражением

u(t) =A₀te^-αt.

Вычислите и постройте график данного сигнала в зависимости от безразмерного аргумента αt. Определите длительность импульса τ_и, приняв в качестве критерия окончания импульса спад мгновенных значений до уровня 0.1 от максимального значения.

1.3(УО).Осциллограмма сигналаs(t) приведена на рис. I.1.1. Запишите математическую модель данного сигнала, применив функции Хевисайда.

1.4(Р).Сигналs(t) имеет математическую модель вида (рис. I.1.2):

Представьте данную зависимость в виде суммы кусочно-линейных функций.

6

Рис. I.1.1

Рис. I.1.2

1.5(O).На рис. I.1.3,а, б, в изображены осциллограммы импульсных сигналовs₁(t),s₂(t) иs₃(t). Найдите математические модели данных сигналов, выраженные посредством сумм, которые составлены из произведений линейных функций и функций Хевисайда.

1.6(О).Найдите формулы, описывающие математические модели следующих импульсных сигналов (рис. I.1.4): а) однополярного импульсаs₁(t), представляющего собой отрезок синусоиды с амплитудойА и частотой ω₀; длительность импульса равна половине периода (а); б) двухполярного импульсаs₂(t), отвечающего целому периоду синусоиды с такими же параметрами (б).

Рис. I.1.3

Рис. I.1.4

7

1.7(О).Математическая модель сигнала задана некоторой функциейf(t), существующей в бесконечном промежутке времени -∞<t<∞. Представьте функциюf(t) в виде суммы четной и нечетной частей:

f(t) =f_чт(t) +f_нч(t)

и найдите явные выражения для функций f_чт(t) иf_нч(t).

• Динамическое представление сигналов

1.8(О).Используя функции Хевисайда, найдите динамическое представление колебанияs(t), описывающего переход некоторой физической системы от нулевого уровня к постоянному уровнюВ. Данный переход происходит за интервал времениТ по линейному закону:

1.9(O).Экспоненциальный видеоимпульс напряжения (В)s(t) = 25ехр(- 10⁶t)σ(t) действует на входе цепи, достаточно инерционной для того, чтобы можно было приближенно представить данный сигнал в видеs(t) =Aδ(t). Определите числовое значение коэффициентаА.

1.10(Р).Убедитесь, что приn→∞ пределом последовательности функций

f_n(t) = (n/2)е^-n|t|

служит функция Дирака δ(t).

1.11(Р). Докажите, что пределом последовательности функцийf_n(t), одна из которых изображена на рис. I.1.5, приn→∞ является функция δ(t).

1.12(У).Докажите, что функция Дирака δ(t) может рассматриваться как предел последовательности классических функций

при n→∞. Рис.I.1.5

8

•Геометрические методы в теории сигналов

1.13(Р).Вычислите энергиюЕ_и и норму ||u|| экспоненциального видеоимпульса напряжения (В)

u= (t) = 30ехр(-10⁵t)σ(t).

1.14(О).Вычислите энергиюЕ_s и норму ||s|| сигналаs(t), представляющего собой прямоугольный видеоимпульс напряжения (В) с амплитудойU₀и длительностью τ_и.

1.15(О).Выведите формулу для нахождения энергии радиоимпульса длительностью τ_ис огибающей прямоугольной формы, описываемого выражением

1.16(Р).Даны два сигнала: прямоугольный видеоимпульсu(t) =U₀[σ(t) - σ (t- τ_и)] и экспоненциальный видеоимпульсv(t) =U₀e^αtσ(t) (параметрыU₀, α и τ_и- положительные вещественные числа). Считая длительность τ_ификсированной, найдите величину параметра ос, при которой расстояниер(u, v) минимально.

1.17(Р).Сигналf(t) =t²существует на отрезке времени 0 ≤t≤ 1. Найдите приближение к этому сигналу с помощью линейной функцииu(t) =At+B, наилучшее в смысле минимума расстояния (метрики).

1.18(О).На отрезке времени -Т/2 ≤t≤Т/2 задан импульсный сигналu(t) =U₀cos(πt/T), тождественно обращающийся в нуль вне указанного отрезка (рис. I.1.6). Сигналv (t) представляет собой прямоугольный импульс длительностью 2t₀, вписанный в импульсu(t). Определите параметрt₀таким образом, чтобы расстояниер(и, v) было минимальным.

Рис. I.1.6

• Теория ортогональных сигналов

1.19(Р).Пусть {u_n(t)},n= 1, 2, 3, ... - система ортогональных сигналов, существующих на общем отрезкеa≤t≤b и являющихся векторами некоторого гильбертова пространства. Докажите, что эта система сигналов линейно независима.

9

1.20(Р).Докажите, что конечная система сигналови₁(t),u₂(t),...,и_N(t), заданная на отрезке времениa≤t≤b, является линейно зависимой в том случае, когда обращается в нуль определитель Грамма:

1.21(O).Сигналыu(t) иv(t) представляют собой прямоугольные видеоимпульсы с амплитудамиА₁иА₂и длительностями τ_и1и τ_и2соответственно (рис. I.1.7). Оба сигнала одновременно отличны от нуля на отрезке времени длительностью τ. Докажите, что уголψ между этими сигналами, рассматриваемыми как векторы в гильбертовом пространстве, не зависит от вели

Рис. I.1.7

Рис. I.1.8

чин А₁иА₂. Получите формулу, определяющую уголψ.

1.22(О).Два одинаковых по форме экспоненциальных видеоимпульса, разнесенных во времени на величинуt₀, описываются выражениями

u₁(t) =U₀е^-αtσ(t),u₂(t) =U₀е^-α(t-t₀⁾σ(t-t₀).

Определите зависимость угла ψ между этими векторами от параметраt₀. Найдите величинуt₀, при которой ψ = 89° (практически ортогональные импульсы).

1.23(У).В гильбертовом пространстве сигналов заданы два вектораuиv с одинаковыми энергиями: ||u||²= ||v||². Докажите, что при этом сигналыs₁=u + vиs₂=u - vортогональны, т.е. (s₁,s₂) = 0.

1.24(У).Для произвольных сигналовu(t) иv(t), являющихся элементами гильбертова пространства, докажите равенство параллелограмма

||u + v||²+||u - v||²= 2|u|²+ 2|v|².

1.25(Р).Сигналыu(t) иv(t) являются элементами некоторого вещественного гильбертова пространства. Рассматриваемые сигналы линейно независимы, т.е. равенствоu=λvне имеет место ни при каком значении вещественного параметраλ. Докажите справедливость неравенства Коши – Буняковского |(u, v)| < ||u|| · ||v||.

10

1.26(У).Докажите, что в вещественном гильбертовом пространстве сигналов имеет место неравенство Минковского |(u + v)| ≤ ||u|| + ||v||.

1.27(У).В гильбертовом пространстве сигналов заданы произвольный вектори и векторv, такой, что ||v|| = l. По аналогии с геометрией обычных векторов на плоскости векторw= (u, v)vназывают ортогональной проекцией вектораuна направлениеv (рис. I.1.8). Докажите, что вектору = и - w ортогонален векторуv.

1.28(У).Обобщая результат задачи 1.27, докажите, что если {v₁,v₂, ...,v_N}- система взаимно ортогональных векторов с единичными нормами, то вектор

у = и- (и, v₁)v₁- (u, v₂)v₂- ... - (u, v_n)v_n

при любом и ортогонален по отношению к каждому из векторов рассматриваемой системы.

1.29(Р).Пусть в гильбертовом пространстве сигналов задана система взаимно неортогональных векторов {g₀,g₁...,g_n, ...}. Постройте на ее основе ортонормированную систему (u₀,u₁, ...,и_n, ...} таким образом, чтобы каждый вектор uk являлся линейной комбинацией вида

u_k=c_k0g₀+c_k1g₁+ ... +c_kng_n+ ...

с постоянными коэффициентами.

1.30(УО).Используя прием, найденный при решении задачи 1.29, вычислите три первых базисных вектораu₀,и₁ии₂, получаемых путем ортогонализации и нормировки системы степенных функций (1,t, t², ...} на отрезке -l ≤t≤ l.

11

1.31(УО).Найдите первые три коэффициентас₀,с₁ис₂обобщенного ряда Фурье, получаемого при разложении сигналаf(t) = е^tна отрезке -1 ≤t≤ 1 по системе базисных функций {u_k}, исследованных в задаче 1.30.

Вычислите норму

абсолютной ошибки аппроксимации данного сигнала тремя членами ряда. Получите числовую оценку для относительной ошибки

данной аппроксимации.

1.32(УО).Решите предыдущую задачу в другой постановке: найдите коэффициенты многочлена второй степениz(t) =A + Bt + Ct²таким образом, чтобы данный многочлен с наименьшей среднеквадратичной ошибкой аппроксимировал сигналf(t) = е^tна отрезке -1 ≤t≤ 1.

133(У).Докажите, что комплексные экспоненциальные функции

на отрезке -T/2 ≤t≤T/2 образуют ортонормированный базис.

1.34(У).На отрезкеa ≤ t ≤ b задана бесконечная полная система ортонормированных сигналов {u_n(t)},n= 0, 1, 2, ... Докажите, что дельта-функция, сосредоточенная в некоторой внутренней точкеt₀(a<t₀<b), может быть представлена как бесконечный ряд

1.35(О). Сигналs(υ), зависящий от безразмерного аргументаυ, на отрезке -1/2 ≤υ≤ 1/2 представляется формулойs(υ) = 16υ². Вычислите коэффициентс₂разложения данного сигнала в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша:

12

1.36(О).Вычислите коэффициентыс₀ис₂в разложении сигналаs(υ) = 45 ехр (- 0,7 |υ|), заданного на отрезке -1/2 ≤υ≤ 1/2, в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша.

1.37(УО).Найдите коэффициентс₁обобщенного ряда Фурье по функциям Уолша для сигналаf(t), рассмотренного в задаче 1.31.

13

Содержание