Тема 6 основы теории случайных сигналов

• Случайные события и их вероятности

6.1(УР). Два лица, А и В, по очереди бросают игральную кость. Игру начинает А. Выигрывает тот, кто первым выбросит шесть очков. Найдите вероятностьР_Атого, что выиграет лицо А.

6.2(УО).Некоторый цифровой сигнал представлен кодовыми комбинациями - шестиразрядными двоичными числами, которые образованы случайными комбинациями нулей и единиц. Вероятность появления символа "1" в каждом разряде составляет величинуP₁= 0.6, а вероятность символа "О" составляет величинуР₀= 0.4. Найдите вероятностьР возникновения конкретной кодовой комбинации 101101, считая появления того или иного символа в каждом разряде независимыми случайными событиями.

6.3(УО). В четырехразрядном цифровом сигнале (см. условия задачи 6.2) появление нуля или единицы в первом разряде равновероятно; в следующих разрядах перемена символа по сравнению с предыдущим значением имеет вероятность 0.8, а сохранение символа имеет вероятность 0.2. Найдите вероятностьР того, что будет реализована кодовая комбинация ОНО.

6.4(УО). Изучение большой партии радиоэлектронных изделий показало, что из 10000 изделий в течение 4 лет исправно работают 8200 экземпляров, а по прошествии 7 лет число исправно работающих изделий составляет 3800. Определите вероятность того, что случайно взятое изделие из числа проработавших 4 года окажется также работоспособным через 7 лет.

6.5(УО). Некоторая система, предназначенная для передачи сигналов из точкиа в точкуb, изображена на рис. I.6.1. Система содержит элементы1 и2, резервирующие друг друга. Нормальное функционирование обеспечивается, если исправен хотя бы один из этих элементов.

Известно, что в течение некоторого промежутка времени элемент 1 исправен с вероятностьюP₁= 0.8, а элемент2 - с вероятностьюР₂= 0.7. Найдите вероятность Р исправной работы резервированной системы за тот же промежуток времени.

6.6(УО). На входы сумматора (рис. I.6.2) поступают четыре независимых постоянных во времени случайных напряженияu₁,u₂,u₃иu₄. Каждое из этих напряжений с равной вероятностью принимает либо значение 0.5 В ("низкий" уровень потенциала),

34

Рис. I.6.1

Рис. I.6.2

либо 4.5 В ("высокий" уровень потенциала). Определите всю совокупность напряжений u_выхна выходе сумматора вместе с вероятностями их появления.

• Функция распределения и плотность вероятности. Моменты

6.7(О).Постройте график функции распределенияF(u_вых) для случайной величиныu_вых, рассмотренной в задаче 6.6. Выведите аналитическое выражение плотности вероятностир(u_вых).

6.8(Р).Случайная величинаX имеет плотность вероятности

Найдите функцию распределения F(x) данной случайной величины, а также вероятностьР(0 ≤ Х ≤ 1) попадания случайной точки внутрь отрезка [0, 1].

6.9(УО).Случайная величинаX может принимать лишь два значения:х= 1 с вероятностью 0.25 их= 1.5 с вероятностью 0.75. Аналогично, случайная величинаY, независимая отX, может принимать лишь два значения:у= 3 иу= 5 с одинаковыми вероятностями 0.5. Найдите плотность вероятности случайной величиныZ = X + Y.

6.10(О).Непрерывная случайная величинаX имеет график плотности вероятностиp(х) треугольного вида (рис. I.6.3). Параметра - заданное число, величинаА заранее неизвестна. Получите формулу, описывающую функциюр(х).

6.11(Р).Случайная величинаX распределена по нормальному закону с параметрамит= 0, σ = 2. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в полу отрезок 0 <х≤ 2.

6.12(О).Вычислите вероятность того, что случайная величинаX, рассмотренная в задаче 6.10, попадает в полуотрезок 0 <x≤a/2.

35

6.13(Р).Найдите плотность вероятности случайной величиныR - сопротивления параллельного соединения двух резисторов, один из которых имеет фиксированное сопротивлениеR₀, в то время как сопротивление другого резистораr - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [R₀-a,R₀+a], гдеa<R₀- постоянное число.

6.14(Р).Независимые случайные величиныX иY имеют заданные плотности вероятностир₁(х) иР₂(у) соответственно. Найдите плотность вероятностир₃(z) случайной величиныZ = X + Y.

Рис. I.6.3.

6.15(УО).ПустьX иY - две независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Найдите аналитическое выражение функциир(z) - плотности вероятности суммыZ = X + Y этих двух величин.

6.16(О).Вычислите плотность вероятностиp_z(z) случайной величиныZ, каждая реализация которой представляет собой сумму реализаций независимых случайных величинXиYс одинаковыми плотностями вероятности экспоненциального вида:р_х(х) = λе^-λxσ(х),р_y(y) = λе^-λyσ(y).

6.17(У).Докажите, что случайная величинаX, имеющая распределение Коши с плотностью вероятности

характеризуется бесконечно большой дисперсией.

6.18(О).Вычислите математическое ожиданиеm_выхи дисперсию σ²_выхслучайного напряжения на выходе сумматора, рассмотренного в задаче 6.6.

6.19(Р).Вычислите среднее значениех и средний квадратх²случайной величиныX, рассмотренной в задаче 6.8.

6.20(О).Случайная величинаU принимает значения 0.5, 0.8 и 1.3 с вероятностью 0.35, 0.45 и 0.2 соответственно. Вычислите величиныm_uи σ²_u.

6.21(Р).Непрерывная случайная величинаX равномерно распределена на полуотрезкеа < х ≤ b. Вычислите среднее значениеm₂=x, средний квадратт₂=х²и дисперсию σ²_x=т₂-т²₁данной случайной величины.

6.22 (УО).Случайная величинаX имеет одностороннюю экспоненциальную плотность вероятности

36

Найдите среднее значение х и дисперсию σ²_xэтой случайной величины.

6.23(У).Докажите, что еслиX иY - независимые гауссовы случайные величины с математическими ожиданиямит_хит_уи дисперсиями σ²_xи σ²_yсоответственно, то случайная величинаZ = aX + bY, гдеаиb- константы, также обладает свойством нормальности, имея математическое ожиданиеm_z = am_x + bm_yи дисперсию σ²_x=а²σ²_x+b²σ²_y.

6.24(Р).Случайная величинаX равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z, каждая реализация которой равна произведению длин отрезков, разделенных случайной точкойх.

• Функциональные преобразования случайных величин. Многомерные случайные величины

6.25(Р).Найдите плотность вероятности случайной величиныZ, рассмотренной в задаче 6.24.

6.26(О).Исходная случайная величинаX имеет плотность вероятности экспоненциального вида

с фиксированным значением параметра λ>0. Случайная величина Y получается изX путем функционального преобразования, график которого изображен на рис. I.6.4. Определите плотность вероятностир_пр(у) преобразованной случайной величины.

6.27(УО).Случайная величинаX равномерно распределена на отрезке [0, π/2]. Найдите среднее значение и дисперсию случайной величиныY, реализации которой связаны с реализациями случайной величиныXследующим образом:y= 5 cosx+ 12 cos2x.

6.28(О).Случайная величинаX равномерно распределена на отрезке [a, b]. Получите выражение, описывающее плотность вероятностир(у) случайной величиныY=X². Найдите математическое ожиданиет_у и дисперсию σ²_y.

6.29(Р).Три независимые случайные величиныX, Y иZимеют одинаковые нормальные плотности вероятности

37

Рис. I.6.4

p(ξ) = ехр (-ξ²/(2σ²)/(√2πσ), где ξ - символ, соответствующийх, у иz. Пусть (x, y, z) - три декартовы координаты точки в трехмерном пространстве, связанные со сферическими координатами (r, υ, φ) известными соотношениями:

x = r sin υ cos φ, y = r sin υ sin φ, z = r cos υ.

Найдите одномерную плотность вероятности р(r) случайной величиныR, представляющей собой длину радиуса-вектора в сферической системе координат.

• Характеристическая функция случайной величины

6.30(О).Найдите характеристическую функцию случайной величиныX, имеющей плотность вероятностир_х(х) = λ ехр × (-λх)σ(x).

631(О).Вычислите характеристическую функцию Θ(u) случайной величиныX, равномерно распределенной на отрезкеа ≤ х ≤ b.

6.32(Р).Используя результат, полученный в задаче 6.31, найдите среднее значениех рассмотренной здесь случайной величины.

6.33(Р).Случайная величинаX равномерно распределена на отрезке -1/2 <x< 1/2. Вычислите плотность вероятности случайной величиныY, каждая реализация которой равна сумме трех независимых реализаций случайной величиныX.

6.34(О).Определите вероятность того, что модуль случайной величиныY, рассмотренной в задаче 6.33, принимает значения, превышающие единицу.

6.35(УР).Случайная величинаX имеет гауссову плотность вероятности с известным математическим ожиданиемт_х и заданной дисперсией σ²_x. Вычислите среднее значение случайной величиныY, отдельные реализации которой связаны с реализациями случайной величиныX соотношениему= ехр(х).

38

Содержание