Тема 15

15.2.Коэффициенты комплексного ряда ФурьеС_n приn= 0, ±1, ±2, ... равны

Суммируя вклады всех гармонических составляющих, имеем

15.6.Будем полагать, что интервал дискретизации Δ мал настолько, что Δ≪1/α. Тогда приближенно

Полученный здесь ряд суммируем, основываясь на том, что, согласно [4]

где ζ(x) - так называемая дзета-функция Римана, имеющая частное значение ζ(2) = π²/6. Итак,

179

Отсюда S_доп(0) ≈ αU₀Δ²/12. Следует отметить, чтоS_u(0) =U₀/α и поэтомуS_доп(0)/S_u(0) = (αΔ)²/12. Если, например, αΔ = π/100, тоS_доп(0)/S_u(0) = 8.22 · 10^-5, т.е. дополнительный вклад в спектральную плотность, возникающий за счет дискретизации, достаточно мал.

15.9.ПриN = 8 в пределах импульса оказывается три отсчета. Тогда, положивn= 1, имеем

Суммируя геометрическую прогрессию, получаем

(1)

Если N= 32, то в пределах импульса оказываются 11 отсчетов. Поэтому

(2)

Легко найти, что коэффициент C₁ряда Фурье аналогового сигнала

С₁= 0.276U₀e^-j60°. (3)

Сравнивая выражения (1), (2) и (3), убеждаемся, что с ростом N коэффициентС₁ДПФ стремится к соответствующему коэффициенту ряда Фурье того аналогового сигнала, который был подвергнут дискретизации.

15.10.По общей формуле находим:

Так как

180

то

15.15.возможные текст программы приведен ниже:

Для определенности длина входного массива N выбрана равной десяти и описана в разделе констант. Перед компиляцией это значение можно произвольно изменять.

15.16.Так как число компонент вектора X не совпадает с целой степенью двойки, то по правилам системы MathCAD для вычисления БПФ следует использовать библиотечную функцию cfft(X). Результаты представлены ниже:

181

Вычисление прямого и обратного быстрого преобразования Фурье средствами пакета MathCAD

15.20. Воспользуемся разложением

(1-ξ)^-1= 1 + ξ + ξ²+ ...

Тогда

X(z) = 1 + 0.3z^-1+ 0.09z^-2+ 0.027z^-3+ ...,

откуда

{x_n} = (1, 0.3, 0.09, 0.027, ...).

Общий член последовательности x_n= (0.3)ⁿ.

15.23. ФункцияX(z) аналитична во всейz-плоскости, за исключением точкиz= 0. Поэтому в формуле обратногоz-преобразования интегрирование можно вести по любой замкнутой кривойL, которая охватывает начало координат. Согласно теореме Коши о вычетах

Отличным от нуля оказывается лишь отсчет

182

Итак, {x_n} = (0, 0, 1, 0, 0, ...).

15.26.Используем алгоритм дискретной свертки [1]. На одной полоске бумаги через равные интервалы записываем сигнал {x_n}, а затем на другой полоске - сигнал {x_n}, в котором позиции расположены справа налево (рис. III.15.1,а). Совместив первые позиции записей (рис. III. 15.1,б) и перемножив отсчеты, находящиеся на одной вертикали, находимf₀= 15 · 10 = 150. Чтобы получить величинуf₁, следует передвинуть полоски на одну позицию (рис. III.15.1,в). Тогдаf₁= 15 · 10 + 15 · 5 = 225. Выполняя эти операции до тех пор, пока ненулевые отсчеты не перестанут накладываться, находим

{f_n} = (150, 225, 175, 130, 84, 42, 16, 5, 1, 0, 0, 0,...).

15.27.Импульсная характеристика

{h_n} = (4, -2.5, 0.8).

Системная функция есть z-преобразование от {h_n}:

H(z) = 4 - 2.5/z+ 0.8/z².

Выполнив замену переменной z= ехр (jωΔ), получаем

15.30. В соответствии с формулой обратногоz-преобразования

При m= 0 подынтегральная функция имеет один простой полюс в точкеz= 0.6 с вычетом res = (0.6)^m-1. Отсюда по теореме Кошиh_m= 2.5(0.6)^m-1. Если жеm= 0, то

Рис. III.15.1

183

поскольку вычеты в точках полюсов z= 0 иz= 0.6 равны по модулю и противоположны по знаку: res₁= 1/(-0.6), res₂= 1/0.6. Окончательно

15.32. Выполнивz-преобразование разностного уравнения фильтра, имеем

Y(z)(1 -z^-1+ 0.5z^-2) =X(z).

Отсюда системная функция ЦФ

Общий член импульсной характеристики находим из обратного z-преобразования:

Представим подынтегральную функцию в виде

Очевидно, что точки полюсов имеют координаты

Вычеты подынтегральной функции в точках полюсов

Сумма вычетов

184

Отсюда

15.37. Возможный текст программы представлен ниже:

Для простоты коэффициенты, входящие в алгоритм цифровой фильтрации, конкретно определены в разделе констант. Массив входных чисел выбран длиной в 100 отсчетов, что в данном случае вполне достаточно. Следует провести ряд численных экспериментов с данной программой, подбирая значения коэффициентов фильтра таким образом, чтобы реализовать как устойчивые, так и неустойчивые режимы работы ([1], с. 412).