Тема 10 воздействие случайных сигналов на линейные стационарные цепи
• Спектр мощности и функция корреляции случайного сигнала на выходе линейной системы
10.1(УР).Некоторая линейная стационарная система имеет импульсную характеристикуh(t). На входе системы действует стационарный случайный сигналX(t) с нулевым средним значением. Получите аналитическое выражение функции корреляцииRy(t1,t2) выходного случайного процессаY(t).
10.2(О).Основываясь на результате, полученном в задаче 10.1, получите формулы, описывающие функции корреляцииRy(τ) на выходе линейных систем с импульсными характеристиками вида:
a) h(t) =(1/T)exp(-t/T) · σ(t),
б) h(t) = A[σ(t) - σ(t-T)]
(А> 0,Т> 0 - постоянные величины). В обоих случаях входным сигналом является белый шум с постоянным спектром мощностиWQ.
10.3(Р). Линейная цепь (рис. I.10.1) состоит из устройства задержки сигнала наТ (с) и сумматора. На входе цепи действует стационарный случайный процессX(t) с математическим ожиданиемmx= 0 и известной функцией корреляцииRх(τ). Найдите функцию корреляцииRy(τ) случайного процессаY(t) на выходе.
10.4(УО).Применительно к условиям задачи 10.3 найдите дисперсию случайного выхода сигнала, если известно выражение функции корреляции случайного колебания на входеRx(τ) = σ 2xrx(τ).
10.5(О). Найдите взаимную корреляционную функциюRxy(τ) случайных процессовX(t) иY(t) для линейной системы, которая описана в условиях задачи 10.3.
10.6(УО). Некоторая линейная система осуществляет преобразование входного сигналаx(t) таким образом, что выходной сигнал
55
|
|
|
Рис.
I.10.1
Рис.
I.10.2где Т - постоянный параметр с размерностью времени. На вход системы подается напряжение, имеющее вид белого шума с двусторонним спектром мощностиW0= 10-12В2· с. Найдите значение времениt’, за которое среднеквадратичный уровень напряжения на выходе системы достигнет 0.2 В, еслиТ= 1 мкс.
10.7(О). Электрическая цепь содержит дваRС-звена, разделенных идеальным усилителем напряжения, коэффициент передачиК0постоянный на всех частотах (рис. I.10.2). Входное сопротивление усилителя неограниченно велико, а выходное равно нулю. На входе цепи действует источник шумовой ЭДС (белый шум) со спектром мощностиW0. Найдите спектр мощностиWвых(ω) выходного сигнала.
10.8(О).КолебательныйLC-контур (рис. I.10.3) подключен к источнику шумового тока, имеющего функцию корреляцииRi(τ) = σ2iехр(-α|τ|). Найдите спектр мощностиWu(τ) выходного напряженияu(t).
10.9(О).Рассчитайте шумовую полосу ПшдляRL-цепи (рис. I.10.4).
10.10(УО).Получите формулу для расчета шумовой полосы узкополосного гауссова радиофильтра с частотным коэффициентом передачиK(j2πf) =К0е-b(f-f0)2,f> 0.
10.11(УО).Получите выражения для дисперсии и функции корреляцииRu(τ) выходного сигнала цепи, рассмотренной в задаче 10.7.
|
|
|
Рис.
I.10.3
Рис.
I.10.4
56
10.12(О).На входеRС-цепи (рис. I.10.5) действует источник шумовой ЭДС, создающий случайный сигнал вида белого шума, имеющий на всех частотах постоянную спектральную плотность мощностиW0. Выходной случайный сигналu(t) снимается с резистораR. Найдите функцию корреляцииRu(τ).
Рис. I.10.5
10.13(УО).Цепь представляет собой каскадное соединениеN одинаковыхRС-цепей, между которыми включены идеальные элементы развязки с единичными коэффициентами передачи (рис. I.10.6). На входе цепи включен источник ЭДС вида белого шума с односторонним спектром мощностиF0(B2· c). Получите выражение для расчета дисперсии σ2выхвыходного напряженияuвых(t).
10.14(О).Цепь, схема которой изображена на рис. I.10.7, называют пропорционально-интегрирующим фильтром. На входе фильтра действует источник напряженияuвх(t) с функцией корреляцииRвх(τ) = σ2вхехр(-α|τ|). Найдите дисперсиюа^ выходного сигналаuвых(t).
10.15(О).На входеRС-цепи (рис. I.10.8) включен источник напряжения вида белого шума с двусторонним спектром мощностиW0, постоянным на всех частотах. Получите выражение функции корреляцииRu(t) выходного сигнала.
10.16(Р).Линейная система имеет частотный коэффициент передачи
где А>0,Т>0 - постоянные величины. На входе системы действует белый шум со спектральной плотностью мощностиW0. Найдите функцию корреляцииRвых(τ) выходного сигнала.
10.17(Р).Идеальный фильтр нижних частот, имеющий единичный коэффициент передачи в полосе частот 0 ≤ω≤ωви нулевой коэффициент передачи на остальных частотах, возбуждается
Рис.
I.10.6
57
|
|
|
Рис.
I.10.7
Рис.
I.10.8со стороны входа источником стационарного шума X(t) с функцией корреляцииRx(τ) = σ2хexp(-α|τ|) - Найдите дисперсию σ2yвыходного случайного процесса.
10.18(О).Линейный стационарный фильтр нижних частот имеет коэффициент передачи по напряжениюK0= 250 в полосе частот 0 ≤f≤ 140 кГц и нулевой коэффициент передачи на остальных частотах. Ко входу фильтра подключен источник белого шума с постоянным двусторонним спектром мощностиW0= 3 · 10-14В2· с. Найдите эффективное напряжение шума сгвых на выходе фильтра,
10.19(УО).На входе идеального полосового фильтра действует источник белого шума с односторонним спектром мощностиF0(В2· с). Фильтр имеет постоянный коэффициент передачиК0 в пределах полосы частотω0- Δω≤ω≤ω0+ Δω. На остальных частотах коэффициент передачи фильтра равен нулю. Определите дисперсию σ2yи функцию корреляцииRy(τ) случайного процессаY(t) на выходе фильтра.
10.20(О).Источник ЭДС вида белого шума с односторонним спектром мощностиF0подключен на вход последовательного колебательного контура, образованного элементамиL, С иR. Найдите односторонний спектр мощностиFu(ω) и функцию корреляцииRu(τ) напряженияu(t) на конденсаторе цепи. Положите, чтоR< 2√L/C, т.е. свободный процесс в цепи имеет колебательный характер.
Рис. I.10.10
Рис. I.10.9
10.21(УО).Параллельный колебательный контур с потерями (рис. I.10.9) возбужден идеальным источником шумового тока, который создает белый шум с постоянным на всех частотах двусторонним спектром мощностиW0. Предполагая, что добротность контураQ≫1, получите выражение функции корреляцииRu(τ) выходного напряженияu(t) в данной цепи.
10.22(О).На вход одноконтурного резонансного усилителя малых колебаний с параметрамиКрез= 120,fрез= 6.5 МГц,
58
Qэкв= 55 подан случайный сигнал вида белого шума с односторонним спектром мощностиf0= 2 · 10-18В2/Гц. Определите величину σвых- эффективное значение шумового напряжения на выходе усилителя.
• Источники шума в радиотехнических цепях
10.23(О).Идеальный фильтр нижних частот имеет полосу пропускания 0 - 200 кГц. Коэффициент передачи напряжения в полосе пропусканияК0= 300. На входе фильтра включен резистор с сопротивлением 160 кОм, находящийся при температуре 400 К. Найдите эффективное напряжение шумового сигнала на выходе устройства.
10.24(О).Найдите дисперсию σ2uшумового напряжения, возникающего на конденсаторе простойRС-цепи под действием теплового шума резистора. Вычислите эффективное напряжение шума при следующих параметрах:С= 1 нФ,T= 300 К.
10.25(О).В электронном приборе протекает постоянный токI0= 4 мА. Вычислите дисперсию тока of, относящуюся к интервалу частот 0.5 - 30 МГц.
10.26(О).Найдите вероятностьР0события, заключающегося в том, что на анод электронного прибора со средним токомI0= 0.2 мкА за отрезок времени длительностью 10-12с не поступит ни одного электрона.
10.27(УО).РезисторRс сопротивлением 105Ом, находящийся при абсолютной температуреТ, включен в цепь, содержащую диод, работающий в режиме насыщения, и источник постоянной ЭДС (рис. I.10.10). В цепи протекает ток со средним значениемI0= 1 мкА. Найдите величинуТ, при которой удельные дисперсии напряжений, создаваемых на резисторе за счет дробового и теплового эффектов, оказываются равными.
10.28(О).Вход приемника соединен с антенной кабельной линией передачи длиной 3 м. Погонное затухание волн в кабеле составляет 1.4 дБ/м. Кабель находится при температуре окружающей среды 290 К. Найдите шумовую температуруТшкабельной линии, а также ее коэффициент шумаF.
10.29(О).Усилитель образован каскадным соединением трех ступеней. Коэффициенты усиления мощности ступеней равныКР1,КР2,КР3, а их коэффициенты шумаF1,F2,F3соответственно. Выведите формулу, определяющую коэффициент шумаFданного усилителя.
59
Содержание