Тема 2спектральные представления сигналов

• Периодические сигналы и ряды Фурье

2.1(Р).Периодический сигналs(t) с периодомТ на отрезке -T/2 ≤t≤T/2 задан выражениемs(t) =U₀cos(πt/T) (рис. I.2.1). Найдите выражения для коэффициентовС_n ряда Фурье этого сигнала.

Рис. I.2.1

Рис. I.2.2

2.2(УО).Периодическое колебаниеu(t) имеет периодТ. На отрезке -T/2 ≤t≤T/2 данное колебание представлено в видеu(t) =U₀exp(-β|t|), причем параметр β велик настолько, что βT/2 >> 1 и поэтому отдельные импульсы, образующие периодический сигнал, практически не "перекрываются" (рис. I.2.2). Найдите коэффициентыa₀/2 иа_n, входящие в ряд Фурье данного сигнала

2.3(О).Периодический комплексный сигналs(t) с периодомТ представлен следующими выражениями:

где А, α, τ - заданные вещественные числа.

13

Вычислите коэффициентыС_n(n= 0, ±1, ±2, ...) ряда Фурье в комплексной форме для данного сигнала.

2.4(О).График мгновенных значений вещественного периодического сигналаs(t), относящихся к отрезку -Т/2 ≤t≤T/2, изображен на рис. I.2.3. Получите формулу, определяющую общий член последовательности {С_n} коэффициентов комплексного ряда Фурье данного сигнала.

Рис. I.2.3

Рис. I.2.4

2.5(O).Прямоугольные видеоимпульсы положительной полярности, образующие бесконечную последовательность с периодомT, имеют амплитудуU₀. Длительность каждого импульса равнаT/3, точкаt= 0 совпадает с серединой импульса. Вычислите коэффициентC₁комплексного ряда Фурье указанного сигнала.

2.6(О).Периодический сигналs(t) на отрезке -Т/2 ≤t≤T/2 задан выражениемs(t) =U₀(1 - 2 |t|/T) (рис. I.2.4). Получите выражения, определяющие коэффициентыС_n ряда Фурье для этого колебания. Постройте график частичной суммы ряда Фурье, содержащей постоянную составляющую и две гармоники низших номеров.

2.7(УО).Осциллограмма периодического пилообразного сигнала приведена на рис. I.2.5. Получите выражения для коэффициентовС_n комплексного ряда Фурье. Запишите явное выражение этого сигнала в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами. Постройте график частичной суммы, состоящей из трех первых членов. Сравните данное приближенное представление с исходным сигналом.

Рис. I.2.5

Рис. I.2.6

2.8(УО).Найдите связь между коэффициентамиС_n (n= 0, ±1, ±2, ...) комплексного ряда Фурье периодического сигналаf(t) и коэффициентамиС̃_nряда Фурье сигналаf̃(t) =f(t - t₀), полученного из исходного сигналаf(t) путем сдвига во времени наt₀секунд.

2.9(У).Комплексный периодический сигналs(t) на отрезке -Т/2 ≤t≤T/2 имеет вид

s(t) =s₁(t) +js₂(t).

14

Покажите, что если функцияs₁(t) четна, аs₂(t) - нечетна, то коэффициентыС_n ряда Фурье при любомп являются вещественными числами.

2.10(О).Периодический вещественный сигналs(t) на отрезке 0 ≤t≤Т задан выражениемs(t) =U₀exp (-αt) (рис. I.2.6). Найдите выражения для коэффициентовС_n комплексного ряда Фурье, отвечающего данному сигналу. Вычислите амплитуду пятой гармоникиA₅при следующих параметрах:

U₀= 15 В, αT= 3.

2.11(O).Найдите амплитудуА₂второй гармоники сигнала, рассмотренного в задаче 2.1, еслиU₀= 25 В.

2.12(О).Применительно к условиям задачи 2.2 приU₀= 300 В,T= 2 · 10^-5с и β = 6 · 10⁶с^-1определите постоянную составляющую Оо/2, а также амплитуды первой, второй и третьей гармоник сигнала.

2.13(Р).Периодический сигналs(t), в общем случае комплексный, имеет заданный периодТ. Получите выражение, связывающее среднюю за период мощность этого сигналаР_срс коэффициентамиС_n его ряда Фурье.

2.14(УО).Найдите среднюю за период мощностьР_срсигнала, рассмотренного в задаче 2.6, а также среднюю мощностьР_ср(3), отвечающую сумме постоянной составляющей, первой и второй гармоник. Вычислите относительную погрешность δ представления средней мощности указанным способом.

15

• Спектральные представления непериодических сигналов. Преобразование Фурье

2.15(Р). Осциллограмма видеоимпульса напряженияs(t) представлена на рис. I.2.7. На отрезке времени 0 ≤t≤ τ_и= 5 мкс функцияs(t) имеет видs(t) =Aexp(-αt), гдеА и α - параметры, определяемые видом осциллограммы. Найдите спектральную плотностьS(ω) данного импульса.

Рис. I.2.7

Рис. I.2.8

2.16.(Р).Покажите, что спектральная плотностьS(ω) импульса, рассмотренного в задаче 2.15, не обращается в нуль ни при каких конечных значениях частотыω.

2.17(Р).Периодический сигналs_пер(t) образован бесконечной последовательностью одинаковых импульсовs₀(t), повторяющихся через одинаковые интервалы времениТ. Найдите формулу, связывающую коэффициентыС_n(n= 0, ±1, ...) ряда Фурье периодического сигнала со спектральной плотностьюS₀(ω) одиночного импульсаs₀(t).

2.18(Р).Импульсная последовательностьs(t) образована множеством 2N+ 1 непересекающихся во времени одинаковых импульсов (N - целое положительное число или нуль). Интервал повторения последовательности равенТ (рис. I.2.8).

Считая известной спектральную плотность S₀(ω) одиночного импульса, вычислите спектральную плотностьS(ω) последовательности.

2.19(Р).Вычислите спектральную плотностьS(ω) сигналаs(t) =A(e^-αt- e^-βt)σ(t). Постройте график зависимости модуля спектральной плотности от частоты для следующих значений параметров:А= 6 В, α = 10⁶с^-1, β = 3 · 10⁶с^-1.

2.20(Р).Для сигналаs(t), рассмотренного в предыдущей задаче, выведите формулу, позволяющую рассчитать граничную частоту спектраω_гр, на которой модуль спектральной плотности уменьшается в 10 раз по сравнению с тем значением, которое имеет место на нулевой частоте. Получите числовое значение

16

ω_грприменительно к тем параметрам α и β, которые заданы в условиях задачи 2.19.

2.21(О).Экспоненциальный видеоимпульс тока (А) задается выражениемi(t) = 0.75exp(-4 · 10⁷t)σ(t). Найдите модуль и аргумент спектральной плотности данного колебания на частотеf= 10 МГц.

2.22(УО).Определите спектральную плотностьS(ω), отвечающую сигналуs(t) =Atexp(-αt)σ(t).

2.23(УР).На экране телевизионного приемника с длиной строки 500 мм требуется создать изображение вертикальной черной линии шириной 3 мм (рис. I.2.9). Электронный луч пробегает строку телевизионного растра за отрезок времени длительностью 64 мкс. Оцените ширину спектра видеосигнала, управляющего яркостью свечения экрана кинескопа в рассматриваемом случае.

2.24(О).Найдите связь между спектральной плотностьюS(ω) вещественного сигналаs(t) и спектральной плотностьюQ(ω) сигналаq(t) =s(-t).

2.25(УО).Четный сигналq₁(t) и нечетный сигналq₂(t) связаны с исходным колебаниемs(t) соотношениями:

q₁(t) = s(t) + s(-t) q₂(t) = s(t) - s(-t).

Найдите связь спектральных плотностей Q₁(ω) иQ₂(ω) данных сигналов со спектральной плотностьюS(ω) сигнала s(t).

2.26(О). Пусть s(t) ↔ S(ω). Найдите сигналf(t), которому отвечает спектральная плотность: a)F(ω) =S²(ω), б)F(ω) =S(ω)S*(ω) = |S(ω)|², в)F(ω) =S*(ω).

2.27(О).Найдите спектральную плотностьS(ω) сигналаs(t), математическая модель которого описываетсяn-й производной функции δ (t).

2.28(Р).Определите спектральную плотностьS(ω) симметричного треугольного импульсаs(t) (рис. I.2.10).

Рис. I.2.9

Рис. I.2.10

17

2.29(Р).Сигналu(t) представляет собой последовательность из трех разнополярных видеоимпульсов с длительностьюТ и амплитудойU₀каждый (рис. I.2.11). Вычислите спектральную плотностьU(ω) данного сигнала. Постройте график зависимости спектральной плотности от безразмерного аргументаωT/2.

2.30(УО).Найдите спектральную плотностьS(ω) несимметричного треугольного видеоимпульсаs(t), осциллограмма которого изображена на рис. I.2.12.

2.31(У).На примере треугольного видеоимпульса, рассмотренного в задаче 2.30, покажите, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса, т.е.S(0) =Aτ_и/2.

2.23(УР).Импульсный сигналs(t) отличен от нуля на отрезке времени [0, τ_и]. Получите приближенное выражение спектральной плотностиS(ω) на достаточно низких частотахω, удовлетворяющих условиюωτ_и≪1.

2.33(УО).Осциллограмма импульса напряжения изображена на рис. I.2.13. Найдите приближенное числовое значение спектральной плотности этого импульса на частотеω= 10³с^-1.

2.34(УО).Осциллограмма импульса тока приведена на рис. I.2.14. Вычислите приближенное значение спектральной плотности этого импульса на частотеω= 5 · 10³с^-1.

2.35(УР).Найдите сигналs(t), спектральная плотность которого задана выражением

где S₀, τ - некоторые постоянные.

2.36(УО).Найдите сигналs(t), исходя из его спектральной плотности

2.37(УО).Определите функциюs(t), описывающую сигнал со спектральной плотностью

где А - постоянная, α > 0 - вещественное число.

18

Рис. I.2.11

Рис. I.2.12

2.38(O).Найдите сигналs(t), заданный своей спектральной плотностью

где α > 0, β > 0, α≠β.

2.39(О).Найдите сигналs(t), которому отвечает спектральная плотность

где А, ω₀, α - положительные вещественные числа.

2.40(УР).Вычислите спектральную плотностьU(ω) сигналаu(t), представляющего собой синусоиду, начинающуюся в момент времениt= 0:и(t) =U₀sinω₀tσ(t).

2.41 (УО).Найдите спектральную плотностьS(ω) импульса включения комплексного экспоненциального сигнала, представляемого формулойs(t) = exp(jω₀t)σ(t).

2.42(УО).Вычислите спектральную плотностьS(ω) сигнала

где υ- постоянное число.

Рис. I.2.13

Рис. I.2.14

19

2.43(УО).Найдите спектральную плотностьS(ω) комплексного экспоненциального сигнала

имеющего скачок фазы на υрадиан приt= 0.

2.44(О).Определите спектральную плотностьS(ω) сигналаs(t) = cos²ω₀t, -∞ <t< +∞. Задачу решите двумя способами: а) путем сведения заданного сигнала к сумме двух сигналов с известными спектрами, б) с помощью теоремы о спектре произведения двух функций.

2.45(Р).Непосредственным вычислением докажите, что свертка

двух сигналов u(t) иv(t) с известными спектральными плотностямиU(ω) иV(ω) соответственно имеет спектральную плотностьF(ω) =U(ω)V(ω).

2.46(Р).Вычислите сверткуf(t) двух экспоненциальных видеоимпульсовs₁(t) =A₁exp (-α₁t) σ(t) иs₂(t) =А₂exp (-α₂t) σ(t) двумя способами: а) прямым нахождением интеграла свертки, б) с помощью теоремы о преобразовании Фурье свертки.

2.47(УО).Вычислите сигналq(t), являющийся сверткой двух функций Хевисайда σ(t).

• Преобразование Лапласа

2.48(УР).Найдите оригиналu(t), которому отвечает изображениеU(р) = 1/р².

2.49(Р).Найдите функциюf(t), которая является оригиналом по отношению к изображению

где а, b, с - постоянные числа.

2.50(УР).Докажите следующую формулу соответствия между изображением по Лапласу и оригиналом:

20

2.51(У).Докажите следующие соответствия между изображениями по Лапласу и оригиналами:

2.52(У).Докажите, что изображениюF(р) = 1/(р+ α)^п+1соответствует оригиналf(t) =tⁿе^-αt. Здесьn≥0 - натуральное число, α - произвольная величина.

2.53(У).Докажите, что оригиналу cos (ωt+ φ) отвечает изображение по Лапласу (рcosφ -ωsinφ)/(p²+ω²).

2.54(УО).Найдите изображение по ЛапласуU(p) для прямоугольного видеоимпульсаи(t) с амплитудойU₀и длительностью τ_и, который начинается в момент времениt= 0.

2.55(О).Сигналs(t), начавшийся в момент времениt= 0, представляет собой бесконечную последовательность импульсов, следующих во времени с периодомТ. Полагая известной функциюS₀(р) - изображение отрезка данного сигнала, отличного от нуля на отрезке 0≤t≤T, найдите преобразование ЛапласаS(p) для периодического сигнала.

2.56(УО).Вычислите преобразования ЛапласаS₁(р),S₂(р) иS₃(р) сигналовs₁(р),s₂(р) иs₃(р), описанных в условиях задачи 1.5.

• Вейвлет-анализ

2.57(О).Напишите явные выражения функций, представляющие вейвлеты Хаара Ψ₁₀(υ), Ψ₁₁(υ) и Ψ₄₄(υ). Здесьυ - безразмерная переменная, связанная с текущим временемtи длительностьюТ рассматриваемых сигналов соотношениемυ =t/T.

2.58(Р).На отрезке времени [0,Т] задан импульсный сигнал треугольной формыs(t) = 40(t/T), равный нулю в остальных точках осиt. Найдите коэффициентс₁₁, входящий в расположение этого сигнала по элементам вейвлет-базиса Хаара.

2.59(Р).В состав математической системы MathCAD входит библиотечная функция wave (X), которая возвращает множество коэффициентов разложения входного вектора X по элементам вейвлет-базиса Добеши. Число компонентов вектораX должно составлять 2^m, гдеm - целое число. Имеется также функция обратного вейвлет-преобразования iwave (Y), которая восстанавливает вектор отсчетов сигнала по известным коэффициентам разложения.

21

Проведите численные эксперименты по вейвлет-анализу одиночного прямоугольного видеоимпульса и его обратному восстановлению. Сделайте выводы о влиянии числа вейвлет-коэффициентов, используемых при восстановлении сигнала.

22

Содержание

Тема 3

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ. ПРИНЦИПЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

• Обобщенная формула Рэлея.   Энергетические спектры

3.1(УР).Используя обобщенную формулу Рэлея, найдите скалярное произведение (и, v) экспоненциальных видеоимпульсовu(t) =A₁exp(-α₁t)σ(t) иv(t) =A₂exp(-α₂t)σ(t).

3.2(УО).В области физических частотω> 0 спектральные плотностиS_u(ω) иS_v(ω), которые отвечают сигналами(t) иv(t), представлены графически на рис. I.3.1. Вычислите скалярное произведение (и, v) данных сигналов.

3.3(УО).Вычислите скалярное произведение (и, v) экспоненциального видеоимпульсаu(t) =Aexp(-αt)σ(t) и такого же импульсаv(t) =Aexp[-α(t-t₀)]σ(t-t₀), сдвинутого относительно сигналаи(t) наt₀(с) в сторону запаздывания.

3.4(О).Найдите взаимный энергетический спектрW_uv(ω) двух гауссовых видеоимпульсови(t) =А₁exp (-β₁t²) иv(t) =А₂exp (-β₂t²), заданных при -∞ <t< +∞.

3.5(О).Определите взаимный энергетический спектрW_uv(ω) гауссова видеоимпульсаи(t) =А₁exp (-β₁t²) и экспоненциального видеоимпульсаv(t) =А₂ехр (-αt) σ(t).

3.6(УО).Найдите взаимный энергетический спектрW_uv(ω) прямоугольных видеоимпульсовu(t) иv(t) с амплитудамиU₁иU₂соответственно, имеющих одинаковую длительностьТ.

3.7(О).Вычислите энергиюЕ_и сигналаu(t), энергетический спектр которого в области положительных частот задан графически на рис. I.3.2.

3.8(УР).Прямоугольный видеоимпульси(t) имеет амплитудуU₀и длительность τ_и. Выведите формулу для расчета энергииЕ_ωв, заключенной в пределах интервала положительных частот от нуля до некоторой верхней граничной частотыω_в.

3.9(Р).Импульсное колебание задано формулой

s(t) = 15 ехр(-10⁷t) σ(t).

22

Рис. I.3.1

Рис. I.3.2

Определите граничную частоту f_гр(Гц) таким образом, чтобы в интервале частот (0,f_гр) было сосредоточено 90% всей энергии импульса.

3.10(УО).Определите, какая доля полной энергии прямоугольного видеоимпульса, имеющего длительность 5 мкс, содержится в пределах частотного интервала от нуля до 575 кГц.

3.11(УО).Сигналs(t) представляет собой прямоугольный видеоимпульс. Найдите относительную долю полной энергии этого сигнала, содержащуюся в пределах первых десяти лепестков спектра этого сигнала.

• Автокорреляционная функция

3.12(УР).Получите аналитическое выражение для автокорреляционной функцииB_s(τ) двустороннего экспоненциального видеоимпульсаs(t) =Aexp(-β |t|), гдеА - постоянная величина, β>0 - вещественное число.

3.13(Р).Вычислите автокорреляционную функциюB_s(τ) сигналаs(t) =Aexp( -αt) sinω₀t· σ(t), имеющего экспоненциально убывающую огибающую и гармоническое высокочастотное заполнение.

3.14(УО).Найдите функцию автокорреляцииB_s(τ) экспоненциального видеоимпульсаs(t) =А ехр(-αt) σ(t).

3.15(О).Сигналs(t) представляет собой треугольный видеоимпульс (рис. I.3.3), заданный выражениями:

Получите формулу, описывающую автокорреляционную функцию B_s(τ) данного сигнала.

23

3.16(P).Найдите аналитическое выражение для автокорреляционной функцииB_s(τ) радиоимпульса

Рис. I.3.3

с огибающей прямоугольной формы.

3.17(УО).Основываясь на условиях задачи 3.12, определите интервал корреляции τ_коррассматриваемого сигнала, понимаемый как сдвиг во времени т, при котором величинаB_s(τ_кор) становится равной 0.1B_s(0)

3.18(УО).Вычислите автокорреляционные функцииследующих пятипозиционных дискретных сигналов: a)s₁= (l, 1, 1, -1, 1), б)s₂= (1, 1, -1, -1, 1).

• Функция взаимной корреляции

3.19(О). Сигналыu(t) иv(t) являются прямоугольными радиоимпульсами с амплитудамиU₁иU₂соответственно; оба сигнала имеют одинаковую длительностьТ. Найдите функцию взаимной корреляцииВ_uv (τ) этих колебаний.

3.20(УО).Получите аналитическое выражение функции взаимной корреляцииВ_uv (τ) двух прямоугольных видеоимпульсовu(t) иv(t), имеющих одинаковую амплитудуU₀и длительностиT₁иТ₂>Т₁соответственно.

3.21(УО).Сигналu(t) имеет постоянную вещественную спектральную плотностьS₀в пределах полосы частот [-ω_в,ω_в]. На остальных частотах спектральная плотность этого сигнала равна нулю. Сигналv(t) получен из сигналаu(t) путем сдвига последнего во времени наt₀(с) в сторону запаздывания. Найдите взаимную функцию корреляцииВ_uv (τ) этих сигналов.

3.22(УО).Вычислите значения функции взаимной корреляциидля трехпозиционных дискретных сигналовu= (1, 1, -1) иv= (-1, 1, 1).

24

Содержание