Тема 16

16.1. Рассматриваемая цепь линейна. Для нее справедлив принцип суперпозиции. Поэтому напряжения шума и гармонического сигнала на выходе могут быть найдены по отдельности. В данном случае

Отношение сигнал/шум удобно представить в виде

185

Обозначим x=ω₀RC. Функция

F(x) =√x/(1 +x²)

имеет единственный максимум при х= 1. Отсюда (RC)_опт= 1/ω₀.

16.4. Амплитуда выходного колебания в конце импульса

Дисперсия шума на выходе усилителя

Таким образом, при t= τ_и

Преобразуем эту формулу, учтя, что оптимальный фильтр обеспечивает отношение сигнал/шум Q_max=U_mвх√τ_и/(2W₀)(см. задачу 16.3):

Q=Q_mвхF(τ_и/τ_к),

где

Функция F(τ_и/τ_к) принимает максимальное значение, равное 0.9 при τ_и/τ_к= 1.25. Итак,Q_пред= 0.9Q_max. Так как τ_к= 2Q/ω_рез, тоQ_опт= 0.4ω_резτ_и.

16.9.ПустьK_опт(jω) - частотный коэффициент передачи оптимального фильтра, который нужно найти. Мысленно дополним структурную схему устройства фильтрации так называемым "отбеливающим" фильтром, который преобразует заданный случайный процесс в белый шум с параметромW₀. Легко видеть, что функцияК_отб(ω) должна быть такова, чтобы

186

Для того чтобы не изменить общий частотный коэффициент передачи, предположим, что отбеливающий фильтр каскадно соединен с еще одним фильтром, имеющим частотную характеристику 1/К_отб(jω) (рис. III. 16.1).

В точке 1полезный сигнал имеет спектральную плотностьS^,_вх=К_отб(jω)S_вх(ω). Поэтому звено, отмеченное на рисунке пунктиром, должно работать как оптимальный фильтр при белом шуме и иметь частотный коэффициент передачи

(1)

Но, с другой стороны,

(2)

Приравнивая правые части (1) и (2), находим, что

или

Видно, что числовые значения АЧХ такого фильтра должны уменьшаться в той области частот, где велика спектральная плотность мощности шума.

Концепция отбеливающего фильтра часто используется в теоретических исследованиях задач обработки сигналов при наличии шумов.

16.15. Спектр мощности случайного процесса видаU(t) исследовался в задаче 7.10. Условиеω₀≫аозначает, что процессU(t) является узкополосным. Поэтому можно ограничиться лишь первым слагаемым в формуле, определяющей спектр мощности этого процесса, которое отвечает полубесконечному интервалу положительных частот:

W_u(ω) = ασ²/[α²+ (ω - ω₀)²].

На основании формулы (16.50) из [1] при ω> 0 имеем

Рис. III. 16.1

187

Видно наличие резкого подъема АЧХ фильтра в окрестности частоты ω₀, что свойственно резонансной цепи. Однако, строго говоря, данный фильтр физически нереализуем, так как его ФЧХ должна принимать нулевые значения на всех частотах (см. [1], с. 442).

16.20. Воспользовавшись формулой (16.72) из [1], имеем:

С= 3 · 10⁴· 3.32 lg(1 + 10^3.5) ≈ 348.6 Кбит/с.

Полученная цифра достаточно оптимистична, однако не следует забывать, что она относится к случаю, когда мощность сигнала в 3162 раза превышает мощность шума. Если эти мощности окажутся равными (вполне вероятная ситуация для линии связи низкого качества), то пропускная способность снизится до 99.6 Кбит/с.

188

Содержание

Раздел IV

Ответы

Тема 1

1.2. График сигнала приведен на рис. IV. 1.1, τ_и= 4.889/α.

1.3.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.A= 2.5 · 10^-5В · с

1.14.

1.15.

1.18.t₀= 0.227788T.

Рис. IV. 1.1

189

1.21.

1.22.

1.30.

1.31.C₀= 1.6620,C₁= 0.9011,C₂= 0.2263, абсолютная ошибка равна 0.037815, относительная ошибка равна 0.0189.

1.32.A= 0.9963,В= 1.1036,С= 0.5367.

1.35.С₂= -1.

1.36.С₀= 37.9687,С₂= 3.3188.

1.37.

Тема 2

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

График суммы трех первых членов ряда Фурье изображен на рис. IV.2.1.

2.8.

где Т - период сигнала.

2.10.A₀= 2|С₅| = 0.903 В.

2.11.А₂= 2.122 В.

2.12.а₀/2 = 5 В,a₁= 9.967 В,a₂= 9.888 В,a₃= 9.754 В.

2.14.

190

2.21. 10^-8 А · с, -57°31'6".

2.22.

2.24. Q(ω) = S*(ω).

2.25.

2.26.

2.27. S(ω) = (jω)ⁿ.

2.30.

2.33. S(10³) = 1,5 · 10^-4 В · с.

2.34. S(5 · 10³) = j10^-13 А · с.

2.36.

2.37.

2.38.

2.39.

2.41.

2.42.

2.43.

2.44.

2.47. q(t) = tσ(t).

191

2.54.

2.55.

2.56.

2.57.

Тема 3

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.E_u= 0.191 В²· с.

3.10.0.974.3.11.0.990.

3.14.

3.15.

192

3.17.τ_кор= 3.89/β

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.Значения функцииобразуют множество (..., 0, 1, 2, -1, -2, 1, 0, ...).

Тема 4

4.1.Векторная диаграмма сигнала изображена на рис. IV.4.1. ЗдесьОК - ось отсчета углов,ОА - вектор несущего колебания,АВ - вектор верхнего бокового колебания,АС - вектор нижнего бокового колебания,OD - вектор результирующей амплитуды. Справа приведен масштаб чертежа.

4.4.

4.5.

4.6.М= 0.73,U₀= 75 В.

4.7.П = 20 Гц.

Рис. IV.4.1

4.8.М₁= 0.8,M₂= 0.6.

4.10.P_min= 0.506 Вт,Р_max= 2.756 Вт.

4.11.Р_max= 12.96 кВт.

4.13.ω_mах= 3.02 · 10⁹с^-1,ω_min= 2.98 · 10⁹с^-1.

4.14.f_min= 49.86 МГц,f_mах= 50.14 МГц.

4.15.u(t) ≈ 8 cos 10⁶t+ 0.24 cos 1.01 · 10⁶t- 0.24 cos 0.99 · 10⁶t.

193

4.16.П_практ= 624 кГц.4.17.N= 34.

4.19.F_max= 10438Гц.

4.21.C_m= 8.57 · 10^-4пФ.

4.22.Δf= 1.989 МГц.

4.23.B= 2356, μ = 1.047 · 10¹³с^-2.

4.24.W_u= 1.963 · 10^-23В²· с².

4.26.Ф₁= -B/8.4.27.τ_осн= 5.03 · 10^-8с.

4.29.28 кГц.

4.30.3 кГц, 5 кГц, 38 кГц, 35 кГц, 33 кГц, 41 кГц, 43 кГц.

Тема 5

5.2.t₀= 41.67 мкс.5.4.E_s= 0.9 В²· с.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.12.

Если φ₀= 180°, то

Важно отметить, что при φ₀= 180° в спектре сигнала отсутствуют δ-особенности на частотах ±ω₀.

5.13.

194

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.19.

5.20.

5.23.ŝ(t) = 1/(πt).

5.25.ŝ(t) =t/(α²+t²).

195

5.27.Еслиt∈[-t₀,t₀], то

в противном случае

Тема 6

6.2.P= 0.0207.

6.3.P= 0.064.

6.4.P= 3800/8200 = 0.463.

6.5.P=P₁P₂+P₁(P₁-P₂) +P₂(1 -P₁) = 0.94.

6.6.u_вых= {2 В, 6 В, 10 В, 14 В, 18 В}.

Соответствующие вероятности: Р(2) = 1/16,Р(6) =4/16,Р(10) = 6/16,Р(14) = 4/16,Р(18) = 1/16. Обратить внимание на малые вероятности как предельно малых, так и предельно больших значений выходного сигнала. Объясните данный результат.

6.7.График функции распределенияF(u_вых) изображен на рис. IV.6.1,

6.9.

6.10.

Рис. IV.6.1

6.12. P(0 < x ≤ a/2) = 0.375.

6.15.

6.16.

6.18.

6.20.

196

6.22. x = 1/λ, σ²_х = 1/λ².

6.26.

6.27. y = 3.183, σ²_y = 99.833.

6.28.

6.30.

6.31.

6.34. Р(|у| ≥ 1) = 0.042.

Тема 7

7.2. x = 0, K_x(τ) = x² = σ².

7.5.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.13. F_x(ω₀) = 2.387 · 10^-3 B² · с.

197

7.14. τ_к = π/(2ω_в).

7.15. τ_к = 10^-7 с, ω_в = 3.332 · 10⁶ с^-1.

7.17. Δω_эф = ω_в/3.

7.19.

7.21.

7.23.

7.24.

Тема 8

8.2.

8.4.

где

Характеристическое уравнение

При выбранных значениях параметров

γ₁= -1.915 · 10⁸с^-1, γ₂= -2.57 · 10⁷с^-1.

8.6.N - целое число, ближайшее к 0.733Q.

8.7.

8.8.

8.9.

8.11.

198

8.13.

8.15.

8.17.

где

8.20.

8.21.

8.22.

8.24.

Соответствующий график представлен на рис. IV.8.1.

p₁= -172434 с^-1,p₂= -6592 с^-1.

8.26.

t_уст= 3.89τ_э. Нормированный график переходной характеристики изображен на рис. IV.8.2.

Рис. IV.8.1

Рис. IV.8.2

199

Рис. IV.8.3

Рис. IV.8.4

8.28.

8.29.

8.32.

8.34.Нормированный график функцииg(t) изображен на рис. IV.8.3.

8.35.

8.36.

Рис. IV.8.5

Структурная схема цепи, реализующей данную импульсную характеристику, представлена на рис. IV.8.4. Она образована сумматором, а также совокупностью масштабных усилителей с коэффициентами {a_k} и устройств задержки с параметрамиТ, 2Т, ...

8.40.

8.44.

200

Соответствующий график изображен на рис. IV.8.5.

Тема 9

9.1.K(j2πf₁) = -3.267е^j1.477;K(j2πf₂) = -3.267е^-j1.477.

9.2.ω_1.2=ω_рез± 1/(√2τ_к).

9.4.

9.5.Нормированные АЧХ усилителей приведены на рис. IV.9.1 (кривая1- одна ступень, кривая2- две ступени, кривая3 - три ступени).

9.6.K_0рез= 4.48.

9.7.T_гр= τ_к.

9.8.

9.10.

Рис. IV.9.1

Ориентировочный график данной функции изображен на рис. IV.9.2.

9.11.

Примерный вид графика данной функции изображен на рис. IV.9.3.

9.12.К_нч(iΩ) =K₀e^-bΩ2,

    

201

Рис. IV.9.2

Рис. IV.9.3

9.13.

Гауссов радиофильтр физически нереализуем.

9.15. u_вых(t) = -750 [1 +0.424cos(2π · 10⁴t - 1.012)] × cos2π · 10⁶t.

9.16.t_зап= 16.1 мкс.

9.19.

где х =t/τ_к, η = Δω· τ_к.

9.21.

где х = t/τ_к,b= δωτ_к,d= ατ_к.