Тема 5 сигналы с ограниченным спектром

• Сигналы с ограниченным спектром низкочастотного типа. Ряд Котелышкова

5.1(Р).Сигналs(t) с ограниченным спектром имеет спектральную плотность

Получите представление данного сигнала в виде суммы двух идеальных низкочастотных сигналов, спектральные плотности которых постоянны в пределах частотного интервала [-ω_в,ω_в].

5.2(О).Сигнал звукового сопровождения в телевизионном канале ограничен верхней частотойf_в= 12 кГц. Определите интервалt₀между отсчетами этого сигнала, необходимый для неискаженного воспроизведения сигнала при передаче его дискретным способом.

5.3(Р).Сигналu(t), дискретизованный в соответствии с условиями теоремы Котелышкова, имеет два ненулевых отсчета, изображенных на рис. I.5.1. Вычислите мгновенные значения исходного аналогового сигнала в момент времениt= 1 мкс.

5.4(УО).Ряд Котельникова сигналаs(t) содержит три ненулевых слагаемых (рис. I.5.2). Все отсчеты измерены в вольтах. Вычислите энергиюE_sданного сигнала.

29

Рис. I.5.1

Рис. I.5.2

5.5(УР).Гауссов видеоимпульсs(t) =U₀exp(-βt²), заданный при -∞ <ω< +∞, приближенно заменяется сигналом с ограниченным спектромs_ос(t) спектральная плотность которого в интервале частот 0 <ω<ω_всовпадает со спектральной плотностью сигналаs(t), а приω>ω_вобращается в нуль. Найдите норму ||s_ош|| сигнала ошибки подобной аппроксимации.

• Сигналы полосового типа. Комплексная огибающая

5.6(У).Пустьs₁(t),s₂(t), ...- сигналы, которым при выборе в качестве опорной частоты некоторого конкретного значенияω₀соответствуют комплексные огибающиеŨ₁(t),Ũ₂(t). Докажите, что сумма произвольного числа таких сигналов имеет комплексную огибающую, равную сумме комплексных огибающих отдельных слагаемых.

5.7(О).Получите выражения для комплексных огибающих следующих сигналов:

В обоих случаях положите, что значение опорной частоты равно ω₀.

5.8(О).Узкополосный сигналf(t) имеет вид

f(t) = 10 cosΩt cos ω₀t + [30 sin Ωt + 5 sin (2Ωt + π/4)] sin ω₀t.

30

Найдите выражение для комплексной огибающейŨ_f(t) данного колебания.

5.9(УО).Найдите комплексную огибающуюŨ_s(t), а также синфазную амплитудуA_s(t) и квадратурную амплитудуB_s(t) для однотонального АМ-сигнала

s(t) = U_m(1 + M cos Ωt) cos (ωt + π/4).

5.10(УО).Сигналs(t) с однотональной угловой модуляцией описывается зависимостью

s(t) = U_m cos (ωt + m sin Ωt).

Положив, что опорная частота сигнала равна несущей частоте ω, получите выражение для комплексной огибающейŨ_s(t), синфазнойА_s(t) и квадратурнойB_s(t) амплитуд сигнала. Докажите, что частота сигналаω_s(t) =ω + mΩ cosΩt.

5.11(Р).Найдите комплексную огибающую гармонического сигналаs(t) =U₀sinω₀t, -∞ <t< +∞, выбрав в качестве опорной частоты величинуω₀. Получите выражения для спектральной плотностиG_s(ω) комплексной огибающей, а также для спектральной плотностиS(ω) колебанияs(t).

5.12(УО).Вычислите спектральную плотностьS(ω) узкополосного сигнала

Отдельно рассмотрите частный случай ψ₀= 180°.

5.13(УО).Найдите физическую огибающуюU_s(t), полную фазуψ_s(t) мгновенную частотуω_s(t) однотонального ОБП-сигнала с подавленной нижней боковой полосой:

s(t) = U₀ cos ω₀t + (MU₀/2) cos (ω₀ + Ω)t,

где M< 1 - коэффициент амплитудной модуляции.

5.14(О).Вычислите минимальноеω_sminи максимальноеω_smaxзначения мгновенной частоты простейшего сигнала с одной боковой полосой (см. задачу 5.13) при следующих числовых параметрах:ω₀= 10⁶с^-1Ω = 10⁴с^-1,М= 1.

5.15(УО). Найдите физическую огибающуюU_s(t), соответствующую идеальному низкочастотному сигналуs(t), спектральная плотность которого постоянна и равнаS₀в интервале частот -ω_в<ω<ω_в, а на других частотах обращается в нуль.

31

5.16(О).Найдите комплексную огибающуюŨ_s(t) экспоненциального радиоимпульсаs(t) =U₀exp(-αt) sinω₀t· σ(t). Получите выражения спектральной плотностиG_s(ω) комплексной огибающей и спектральной плотностиS(ω) сигналаs(t).

5.17(О).Идеальный прямоугольный радиоимпульс длительностью τ_иописывается выражением

Получите выражение комплексной огибающей Ũ_s(t) данного сигнала, полагая, что опорная частота равнаω₀. Найдите спектральную плотностьS(ω) сигналаs(t).

• Аналитический сигнал. Преобразования Гильберта

5.18(Р).Спектральная плотность сигналаs(t) задана выражениями

где S₀, α,ω_в- положительные числа. Найдите соответствующий аналитический сигналz_s(t).

5.19(УО).Сигналs(f) имеет вещественную спектральную плотностьS(ω), график которой приω>0 изображен на рис. I.5.3. Вычислите аналитический сигналz_s(t) и определите закон изменения во времени мгновенной частотыω_s(t) рассматриваемого сигнала.

5.20(О).Сигналs(t) приω>0 имеет спектральную плотностьS(ω) =S₀e^-bω. Найдите соответствующий аналитический сигналz_s(t).

5.21(У).Докажите, что еслиs(t) - сигнал с ограниченной энергией, то он ортогонален по отношению к сигналу, сопряженному по Гильберту, т.е.

32

Рис. I.5.3

Рис. I.5.4

5.22(У).Докажите, что двукратное применение преобразования Гильберта к сигналуs(t) равносильно перемене знака сигнала, т.е.

5.23(О).Вычислите преобразование Гильбертаŝ(t) сигналаs(t) = δ(t), используя фильтрующее свойство δ-функции.

5.24(УР).Прямоугольный видеоимпульсs(t), симметричный относительно начала отсчета времени (рис. I.5.4,а), поступает на вход системы, состоящей из идеального дифференциатора и квадратурного фильтра КФ, выполняющего операцию преобразования Гильберта (рис. I.5.4,б). Определите сигналf(t) на выходе системы.

5.25(УО).Мгновенные значения сигналаs(t) изменяются во времени в соответствии с формулойs(t) = α/(α²+t²). Вычислите преобразование Гильбертаŝ(t) данного колебания.

5.26(У).Докажите, что мгновенная частотаω_s(t) узкополосного сигналаs(t), которому соответствует преобразование Гильбертаŝ(t), вычисляется по формуле

5.27(УО).Вычислите преобразование Гильбертаŝ(t), отвечающее прямоугольному видеоимпульсу

33

Содержание