Тема 12

12.5.По определению, дифференциальная крутизна

S_диф= di_с/du_зи.

Подставляя сюда выражение для напряжения, создаваемого' гетеродином, получаем (мА/В)

S_диф= 30 + 15U_mгсоsω_гt.

12.10.Варактор является нелинейным конденсатором, ток в котором

i = dq/dt = (dq/du) · (du/dt) = С_диф(u) · (du/dt).

В рассматриваемом случае

Таким образом, данный варактор можно использовать для создания удвоителя частоты гармонического сигнала.

12.15.По условию задачи усиление системы

Отсюда

G_вн= -4.045 · 10^-3См.

170

12.19.Для самовозбуждения усилителя необходимо обеспечить вносимую отрицательную проводимостьG_вн= -4 · 10^-3См. Применим формулу для расчета активной проводимости, вносимой в сигнальный контур данного усилителя [1]:

G_вн= -β²ω_сω_телС²_нR_{рез.хол}/4.

Подставив числовые значения, получаем R_{рез.хол}= 4.5 кОм.

Тема 13

13.2.В соответствии с методом Фостера разложим входное сопротивление на элементарные дроби:

где a, b, с иd - подлежащие определению коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхр, получаем систему уравнений

6а+ 2с= 16, 6b+ 2d= 0,а + с= 4,b + d= 0,

из которой следует, что а= 2,b= 0,с= 2,d= 0.

Таким образом,

Легко показать, что входное сопротивление параллельного LC-контура

Учитывая это, получаем схему синтезированной цепи, приведенную на рис. III. 13.1.

13.9. Проводя деление числителя на знаменатель, начиная со старших степеней, на первом этапе получаем

171

Таким образом,

Инвертируя остаток, имеем

Проводим следующий этап деления:

Окончательно получаем представление функции Z(p) в виде цепной дроби:

Легко видеть, что этой дроби отвечает цепь, схема которой изображена на рис. III. 13.2.

Если делить числитель на знаменатель, начиная с младших степеней, то на первом же этапе остаток получается отрицательным:

что ведет к физически нереализуемой цепи.

13.15. Коэффициент передачи мощности как функция переменнойр_нвыражается формулой

Рис. III.13.1

Рис. III.13.2

172

Полюсами данной функции являются корни биквадратного уравнения

p²_н- 2p²_н+ 2 = 0,

равные

p_н1,2,3,4= ±√1±j.

Так как

то

Имея в виду, что K_P(p_н) =K(p_н) ·K(-p_н) получаем выражение дляK(p_н), учитывая лишь те полюсы, которые лежат в левой полуплоскости:

13.17.Нормированная частота источника сигнала

f_н= 41/15 = 2.733.

Коэффициент передачи мощности

К_Р=К²₀/(1 +f⁴_н) = 0.015.

Модуль коэффициента передачи напряжения

K_U=K^1/2_р= 0.122.

Отсюда амплитуда выходного сигнала

U_mвых= 7.5 · 0.122 ≈ 0.92В.

13.18.Обозначив посредствомZ'(р) операторное сопротивление параллельного соединенияСиR_н:

Z'(p) =R_н/(1 +pR_нC),

получаем следующее выражение передаточной функции фильтра по напряжению:

173

Отсюда следует, что функция К(р) имеет единственный полюс в точке с вещественной отрицательной координатойp₁= -1/(R'C). Если положить, что 1/(R'C) =ω_с, то рассматриваемая система имеет свойства ФНЧ с характеристикой Баттерворта первого порядка при заданной частоте среза.

Обращаясь к конкретному расчету, выберем R = R_н= 2 · 10³Ом. При этомR'= 10³Ом, откудаС= 1/(3 · 10⁸) = 3.33 нФ.

13.24. Коэффициент передачи напряжения

где α = 1/(2R_нС),ω²₀= 1/(LС).

Данная функция имеет полюсы в точках с координатами

p_1,2= ± -α ±j√ω²₀ - α²

Для того чтобы фильтр обладал требуемой частотной характеристикой, необходимо, чтобы

α = ω_c/√2;ω₀=ω_c,

откуда

С= 1/(√2R_нω_с) = 7.86 нФ;L= 1/(ω²_сC) = 22.6 мГн.

13.25. Фильтр нижних частот с максимальной плоской характеристикой второго порядка на плоскости нормированной комплексной частоты имеет два полюса частотного коэффициента передачи в точках с координатамир_н1,2= -1/√2= ±j/√2.

Передаточная функция фильтра

Выбирая на вертикальной оси произвольную точку с ординатой ω_н(рис. III. 13.3), видим, что ФЧХ фильтра определяется двумя углами φ₁и φ₂:

φ_К(ω_н) = -φ₁- φ₂.

174

Рис. III.13.3

Рис. III.13.4

Отсюда

φ_К(ω_н) = - arctg (√2ω_н- 1) - arctg (√2ω_н+ 1).

График, рассчитанный по данной формуле, представлен на рис. III.13.4.

13.28. Многочлены ЧебышеваT_n(ω_н) принимают значения, лежащие в интервале (-1, 1). На границе полосы пропусканияT_n(1) = 1 при любомп. Таким образом, коэффициент передачи мощности колеблется в пределах от 1 до 1/(1 + ε²). Неравномерность частотного коэффициента передачи, выраженная в децибелах, составит величину Δ = 10 lg(1 + ε²). Из условия задачи находим, что

ε = √10^0.2- 1= 0.7648.