Тема 16

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

• Оптимальная фильтрация сигнала известной формы

16.1(Р). На входеRС-цепи (рис. I.16.1) действуют два последовательно включенных источника ЭДС. Один из них создает белый шум с постоянным на всех частотах значением спектра мощностиW₀. Второй источник создает гармонический сигналU_{m вх}cosω₀t, амплитуда и частота которого известны. Определите постоянную времениRC, при которой отношение сигнал/шум на выходеQ=U_{m вх}/ σ_выхокажется максимальным.

16.2(О). Применительно к условиям задачи 16.1 найдите максимально возможное отношение сигнал/шум на выходеRС-цепи Объясните, почему эффективность работы данного фильтра ухудшается с ростом частоты ш0. Найдите амплитуду входного сигналаU_{m вх}, при которойq_max= 10, еслиω₀= 5 · 10⁵с^-1,W₀= 3 · 10^-14 В²· с.

16.3(О). Найдите максимальное значение отношения сигнал/шумQ_max, которое достигается в оптимальном фильтре, согласованном с прямоугольным радиоимпульсом. Заданными являются плотность спектра мощности белого шумаW₀, а также амплитудаU_{m вх}и длительность т" радиоимпульса.

16.4(Р). Одноконтурный резонансный усилитель имеет частотный коэффициент передачи

На вход усилителя поступает сумма белого шума с плотностью спектра мощности W₀и прямоугольного радиоимпульса, имеющего частоту заполненияω_рез, длительность τ_ии амплитудуU_{m вх}.Определите предельно достижимое значениеQ_предотношения сигнал/шум в данном усилителе.

85

Рис. I.16.1

Получите формулу для расчета оптимальной добротности Q_оптколебательного контура усилителя.

16.5(УО).Получите выражения частотного коэффициента передачиК_опт(jω) и импульсной характеристикиh(t) оптимального линейного фильтра, согласованного с треугольным видеоимпульсом

16.6(О).Линейный фильтр согласован с треугольным видеоимпульсом (см. задачу 16.5). Параметры входного сигнала:t₀= 15 мкс,А= 25 мкВ. Найдите максимальное значениеs_{вых max}сигнала на выходе системы при условии, что фильтр имеет параметрB= 10¹⁵В^-1· с^-1.

16.7(О).Сигналs_вх(t), выделяемый согласованным фильтром из аддитивной смеси с белым гауссовым шумом, представляет собой пачку радиоимпульсов с амплитудойU₀= 3 мкВ и длительностью τ_и= 2 мкс каждый. Плотность спектра мощности белого шумаW₀= 1.5 · 10^-17В²· с. Определите, при каком числе импульсов в пачкеN отношение сигнал/шум на выходе достигнет десяти.

16.8(УО).Полезный сигнал представляет собой ЛЧМ-импульс с огибающей прямоугольной формы. Импульс имеет длительность τ_и= 8 мкс и девиацию частоты Δf= 3.5 МГц. Для выделения данного сигнала из смеси с нормальным белым шумом применен согласованный фильтр. Найдите длительность основного лепестка τ_выхсигнала на выходе согласованного фильтра.

16.9(Р).Найдите частотный коэффициент передачиК_опт(jω) оптимального линейного фильтра, обеспечивающего на своем выходе максимально возможное отношение сигнал/шум при обработке сигнала известной формы с заданной спектральной плотностью на фоне небелого шума, у которого известен спектр мощностиW(ω).

• Оптимальная фильтрация случайных сигналов

16.10(УО).Случайный процессU(t) (полезный сигнал) имеет нулевое математическое ожидание и функцию корреляцииR_u(τ) = σ²_uехр(-α|τ|). ПомехаV(t) представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим

86

ожиданием и функцией корреляцииR_v(τ) = σ²_yехр(-β|τ|). Получите выражение АЧХ оптимального фильтра, выделяющего сигналU(t) из смесиU(t) +V(t) с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

16.11(О). Выделяемый случайный процессU(t) имеет двусторонний спектр мощностиW_u(ω), плотность которого равна постоянной величинеА в пределах интервала частот (-ω_в;ω_в). На остальных частотах величинаW_u(ω) равна нулю. ПомехаV(t) имеет вид белого шума с постоянным параметромW₀. Получите формулу для расчета минимально возможной дисперсии σ²_{e min}

ошибки выделения сигнала U(t) из аддитивной смесиU(t) +V(t).

16.12(О). Применительно к постановке задачи 16.11 покажите, что приA≫W₀минимальная дисперсия ошибки, реализуемая оптимальным фильтром, не зависит от уровня спектра мощности полезного сигнала. Найдите для этих условий величину σ²_{e min}, еслиω_в= 6 · 10⁴с^-1,W₀= 5 · 10¹⁴В²· с.

16.13(УО). Найдите минимально возможную дисперсию ошибки выделения стационарного случайного процессаU(t) с функцией корреляцииR_u(τ) = σ²_uехр(-α|τ|) из аддитивной смеси с гауссовым стационарным белым шумомV(t), который имеет плотность спектра мощностиW₀.

16.14(О). Получите числовое значение дисперсии σ²_{e min} для случая оптимальной фильтрации сигналов, рассмотренных в задаче 16.13, при следующих числовых данных:W₀= 10^-12В²· с, σ²_u= 0.02В², α = 10⁶с^-1.

16.15(Р). Ко входу линейного стационарного фильтра приложена сумма напряжений полезного сигналаu(t) и помехиv(t), которые являются реализациями стационарных нормальных случайных процессовU(t) иV(t) соответственно. Известно, что полезный случайный процессU(t) имеет функцию корреляцииR_u(τ) = σ²ехр(-α|τ|)соsω₀tс заданными значениями дисперсии σ², а также параметров α иω₀. Случайный процесс помехиV(t) является дельта-коррелированным процессом вида белого шума, характеризующимся постоянным на всех частотах значением спектральной плотности мощностиW₀. Получите формулу, описывающую частотную зависимость величины |K_опт(jω)| - модуля частотного коэффициента передачи фильтра, который обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки выделения полезного сигнала из аддитивной смеси с помехой при условии, что выполняется неравенствоω₀≫α. Исследуйте вопрос о физической реализуемости данного фильтра.

87

• Оценка информационных параметров радиоканала

16.16(УО).По некоторому каналу связи передается сообщение, представляющее собой слово "ИНФОРМАЦИЯ" на русском языке. Найдите количество информации, заключенной в этом сообщении.

16.17(УО).Оцените энтропиюН источника сообщений, создающего осмысленный текст на русском языке.

16.18(О).Текстовая информация в компьютере записывается с помощью кода ASCII (American Standart Code for Information Interchange), в котором каждая буква естественного языка кодируется восьмиразрядным двоичным словом. Найдите объем информации, содержащейся в книге на русском языке из 100 страниц, закодированной подобным образом. Считайте, что страница состоит из 30 строк по 60 букв в каждой. Определите избыточность кодовой системы ASCII как отношение информационных объемов сообщения после и до кодирования.

16.19(О).Диктор читает одну страницу книжного текста (см. предыдущую задачу) за две минуты. Электрический сигнал на выходе микрофона лежит в интервале частот с верхней границей 6 кГц. Этот сигнал дискретизируется по времени в соответствие с минимальным требованием теоремы Котельникова, а затем каждый отсчет кодируется восьмибитовым двоичным словом. Вычислите объем информации, которая содержится в записи этого отрезка сигнала. Найдите избыточность описанного информационного преобразования.

16.20(Р).Проводной телефонный канал связи способен равномерно пропускать колебания в интервале частот [0, 30 кГц]; на более высоких частотах коэффициент передачи канала полагается равным нулю. В канале присутствует белый шум, такой, что отношение средней мощности полезного сигнала к средней мощности шума составляет 35 дБ. Вычислите пропускную способностьС рассматриваемого канала.

88

Содержание