Тема 15 дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации

• Спектры дискретных сигналов. Дискретное преобразование Фурье

15.1(О).Аналоговый сигналx(t) имеет спектр, ограниченный верхней граничной частотойf_в= 7.5 МГц. В некотором устройстве обработки (например, в осциллографе с памятью) проводится запись отрезка такого сигнала длительностьюТ= 60 мкс. Устройство осуществляет дискретизацию колебания

80

таким образом, что длительность интервала между выборками в 4 раза короче того значения, которое устанавливает теорема Котелышкова. Каждое выборочное значение отображается 8-битовым двоичным числом. Определите величинуN - объем памяти (бит), требуемой для записи данного отрезка сигнала.

15.2(УР).Сигнал ξ(t) представляет собой бесконечную периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов единичной амплитуды. Период последовательности равен Δ, длительность одного импульса составляет τ. Вычислите спектральную плотностьS_ξ(ω) данной последовательности.

15.3(УО).Вычислите спектральную плотностьS_xд(ω) дискретного сигналаx_д(t), который возникает при дискретизации непрерывного колебанияx(t) с помощью последовательности ξ(t), рассмотренной в задаче 15.2. Спектральная плотностьS_x(ω) сигналаx(t) предполагается известной. Постройте примерный график модуля функцииS_xд(ω).

15.4(O).Экспоненциальный видеоимпульсu(t) =U₀exp × (-αt) σ(t) дискретизируется во времени с шагом Δ. Выберите величину А таким образом, чтобы на граничной частотеω_гр= π/Δ модуль спектральной плотностиS_u(ω_гр) уменьшался до уровня 0.01S_u(0).

15.5(УО).Применительно к условиям задачи 15.4 вычислите величинуS₁(0) - вклад в спектральную плотность дискретизированного сигнала на нулевой частоте, который вносится ближайшими "копиями" спектра исходного колебания, имеющими центральные частоты ±2π/Δ.

15.6(Р).Оцените величинуS_доп(0) - дополнительный вклад в спектральную плотность на нулевой частоте для дискретизированного сигнала, описанного в задачах 15.4 и 15.5, который вносится всей бесконечной совокупностью "копий" спектра исходного аналогового сигнала.

15.7(О).Периодический дискретный сигналх_д(t) на интервале своей периодичности задан пятью равноотстоящими отсчетами (0.25, 0.8, 1, -1.5, -0.2). Вычислите постоянную составляющуюС₀дискретного преобразования Фурье данного сигнала.

15.8(У).Докажите, что если всеN отсчетов дискретного сигнала, заданные на интервале периодичности, равны между собой, то все коэффициенты ДПФ такого сигнала, за исключениемС₀, равны нулю.

15.9(Р).Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов с амплитудойU₀, периодомТ и длительностью отдельного импульсаТ/3 дискретизована таким образом, что на один период последовательности приходитсяN отсчетов.

81

Вычислите величины коэффициентаС₁в ДПФ данного сигнала приN= 8 и приN = 32.

15.10(Р).Вычислите коэффициенты ДПФС_n(n= 0, 1, 2) дискретного периодического сигналаx_д(t), заданного тремя отсчетами (0, 10, 20).

15.11.(У).Покажите, что коэффициентС₃ДПФ сигнала, рассмотренного в задаче 15.10. в точности равен коэффициентуС₀.

15.12(О).Дискретный периодический сигналx_д(t) задан четырьмя отсчетами (1, 0, -1, 0). Вычислите коэффициенты ДПФС_n(n= 0, 1, 2, 3).

15.13(УО).Получите выражение периодического аналогового сигналаx(t), каждому периоду которого отвечает дискретный сигнал, состоящий из четырех равноотстоящих выборов (1, 0, -0.5,0).

15.14(УО).Восстановите аналоговый сигналx(t) по коэффициентам ДПФ, вычисленным в задаче 15.12. Убедитесь, что значения сигналах(t) в отсчетных точках совпадают со значениями дискретного сигнала. Предполагайте, что периодТ сигнала задан.

15.15(Р).На алгоритмическом языке Pascal напишите текст программы для расчета коэффициентов ДПФ. Исходные данные заключены в массиве вещественных отсчетов сигнала {x_i} (i= 0, ...,N- 1) длинойN. Предусмотрите вывод на экран вещественной и мнимой частей коэффициентов ДПФ.

15.16(Р).Имеется дискретный периодический сигнал, отсчеты которого на интервале периодичности образуют шестикомпонентный вектор

X= (1.5, 4, 5, 3.5, 7, -4).

Используя средства математической системы MathCAD, найдите вектор Y, являющийся быстрым преобразованием Фурье (БПФ) исходного вектораX. Осуществите проверку полученного результата, выполнив обратное преобразование вектораY.

• Теория z-преобразования. Дискретная свертка

15.17(УО). Получите формулуz-преобразованияX(z) дискретной ступенчатой функции {x_k}, общий член которой задан выражением

15.18(О).Найдитеz-преобразованиеX(z) дискретного сигнала {x_k}, имеющего общий членх_n= αⁿ,n= 0, 1, 2...

82

15.19(О).Получите формулу, описывающуюz-преобразованиеX(z) дискретного сигнала {x_k} с общим членомх_n= αⁿ/п!, приn≥ 0.

15.20(Р).Найдите дискретный сигнал {х_n}, которому отвечаетz-преобразование

15.21(О).Вычислите седьмой членх₆дискретной последовательности {х_n},z-преобразование которой

X(z) = 25/(1 - 0.9z^-1).

15.22(УО).Заданоz-преобразование

Найдите общий член х_n последовательности {х_n}.

15.23(Р).Найдите дискретный сигнал {х_n},z-преобразование которогоX(z) =z^-2.

15.24(О).Вычислитеz-преобразованиеF(z) свертки {f_n} дискретных сигналов {x_n} = (1, 1, 1, 0, 0, ...) и {y_n} = (0, 0, 1, 1, 0, 0, ...).

15.25(УО).Получите выражение свертки {y_n} двух сигналов, рассмотренных в задаче 15.24.

15.26(Р).Путем непосредственного вычисления найдите свертку {f_n} дискретных сигналов {x_n} = (15, 15, 7, 5, 3, 1, 0, ...) и {y_n} = (10, 5, 2, 1,0,...).

• Линейные стационарные цифровые фильтры

15.27(Р).Трансверсальный (нерекурсивный) цифровой фильтр (ЦФ) работает в соответствии с алгоритмомy_i= 4х_i- 2.5x_i-1+ 0.8x_i-2. Найдите импульсную характеристику {h_n}, системную функциюH(z) и частотный коэффициент передачиК(jω) этого фильтра.

15.28(О).Найдите частотный коэффициент передачиК(jω) трансверсального цифрового фильтра второго порядка, имеющего алгоритмy_i=х_i- 2x_i-1+x_i-2. Исследуйте вид функцииК(jω) при Δω→ 0.

15.29(У).Покажите, что Трансверсальный ЦФ, алгоритм которого описывается разностным соотношениемy_i=х_i- 3x_i-1+ 3x_i-2-x_i-3, осуществляет приближенно трехкратное дифференцирование

83

относительно медленных входных сигналов, спектр которых содержит лишь частотыω, удовлетворяющие неравенствуωΔ≪1.

1530(Р). ЦФ имеет системную функцию

Вычислите импульсную характеристику {h_k} данного фильтра.

15.31(УО).Некоторый ЦФ имеет следующий алгоритм:y_i=х_i-1+ 0.4y_i-1+ 0.32y_i-2.

Найдите системную функцию H(z), частотный коэффициент передачиK(jω) и импульсную характеристику {h_k} фильтра.

15.32(Р).Найдите аналитическое выражениеm-го члена в импульсной характеристике {h_k} рекурсивного ЦФ, работающего в соответствии с алгоритмомy_i=х_i+y_i-1- 0.5y_i-2

15.33(О).Цифровой фильтр имеет следующий алгоритм:y_i= 1.5х_i+ 4x_i-1- 0.85y_-1

Фильтр работает с шагом дискретизации по времени Δ = 0.1 мс. Найдите модуль |K(jω)| и фазовый уголφ_к(ω) частотного коэффициента передачи фильтра на частотеω= 2 · 10⁴с^-1.

15.34(О).Собственные колебания в рекурсивном ЦФ второго порядка описываются разностным уравнениемy_i=y_i-1- 0.5y_i-2

Исследуйте устойчивость данного фильтра.

15.35(УО).Аналоговый сигнал, поступающий на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП), изменяется в пределах от 0 до 15 В. Для представления отсчетов этого сигнала в АЦП выделено восемь двоичных разрядов. Найдите величину шага квантованияq_кв, а также дисперсию σ²_квшума квантования.

15.36(УО).Шум квантования, рассмотренный в задаче 15.35, поступает на вход рекурсивного ЦФ первого порядка. Фильтр преобразует последовательность входных отсчетов {x_k} в последовательность {y_k} отсчетов на выходе в соответствии с алгоритмомy_i= 0.9y_i-1+x_i. Найдите дисперсию σ²_выхшума квантования на выходе фильтра.

84

15.37(Р).На алгоритмическом языке Pascal составьте программу, позволяющую рассчитывать импульсную характеристику рекурсивного ЦФ второго порядка. Фильтр работает в соответствии с алгоритмомy_i=a₀х_i+b₁y_i-1+b₂y_i-2

85

Содержание