Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЦОС2013_1 / HandoutsAndHandbook / processes.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.05.2015

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 6143 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

	ψ
C		D

Op10		Op20

E F

• {Op1, Op01} и {Op2, Op02} не имеют общих переменных.

Тогда верна диаграмма

				ϕ
	·	A			B		·
		A			B
Op1		1				Op2		2
		1						2
		Op0						Op0
			?			?
		E			F
		E			F
				θ

7.8.15Другой пример доказательства наблюдаемой эквивалентности процессов с СО

В качестве примера использования теорем из параграфа 7.8.14 докажем наблюдаемую эквивалентность

• процесса

(Bu er n1 [P ass/Out] | Bu er n2 [P ass/In]) \ {P ass} (7.43)

226

где P ass 6In,{ Out}, и

• процесса Bu er n1+n2 .

Процесс (7.43) представляет собой последовательную композицию даух буферов размеров n1 и n2. Его потоковый граф имеет вид

' $' $

e Bu er uPass e Bu er u

In n - n Out

& 1 %& 2 %

Согласно определению операций на процессах с СО (см. параграф 7.8.5), графовое представление процесса (7.43) выглядит следующим образом:

(k1 < n1) ?

(k2 > 0) ?

In ? f1

Out ! qˆ2

q1 := q1

[f1]

- A

:= q0

k1 := k1

− 1

+ 1

:= k2

(7.44)

(k < n

) ?

(k > 0)

f2 := qˆ1

q1 := q10

k1 := k1 − 1

q2 := q2 · [f2]

k2 := k2 + 1

Начальным условием процесса (7.44) является формула

( (n2	> 0)	(k2	= 0)	(q2	= ε) )
(n1	> 0)	(k1	= 0)	(q1	= ε)

Графовое представление процесса Bu er n1+n2 имеет вид

227

(k < n1 + n2) ?				(k > 0) ?
In ? f				Out ! qˆ
q := q · [f]				q := q0
k := k + 1					−	1
k := k + 1	-	a	k := k		−	1

Начальным условием процесса Bu er n1+n2 является формула

(n1 + n2 > 0) (k = 0) (q = ε)

Нетрудно проверить, что формула

		q1≤			= k1
	0			\|	k1 ≤ n1
	\|			\|






def		q2≤			k		n
		q2≤			= k2
	0					2 ≤		2
Inv =	0					2 ≤		2
n\|			1	\|> 0







n2 > 0

является инвариантом процесса (7.44). Этот факт следует, в частности, из истинности для каждой строки u и каждого символа a соотношений

( \|u\|	[a] = [a] u = u + 1
u > 0		\|u0	\| = \|u\| − 1
\| ·	\|	\| · \|	\| \|

В качестве инварианта второго процесса мы возьмём формулу

Определим функцию µ : {A} × {a} → F m следующим образом:

(	q	=	q		·	q	)
def				2			1
µ(A, a) =
	k = k2 + k1

Проверим свойства 1, 2, и 3 для функции µ.

1.Свойство 1 в данном случае представляет собой неравенство

(n2		> 0)		(k2	= 0)	(q2	= ε)
	(n1	> 0)		(k1	= 0)	(q1	= ε)

	(n1 + n2 > 0) (k = 0) (q = ε)

которое,			очевидно, верно.

	q = q2 · q1	)
	≤ ( k = k2 + k1	)

228

(

2.Проверим свойство 2.

•Для левого перехода процесса (7.44) неравенство (7.37) верно. В качестве (7.38) мы возьмем совокупность, единственным элементом которой является левый переход процесса Bu er n1+n2 .

Неравенство (7.39) в данном случае имеет вид

q1= q2		1 q1
	k < n	·
k = k2 + k1



	Inv
	Inv

что, очевидно, верно.

≤ (k < n1 + n2)

Пользуясь (7.33), запишем неравенство, соответствующее диаграмме (7.40) для данного случая в виде

q = q2 · q1

k = k + k

2 1

Inv

k1 < n1

k < n + n

1 2

≤ k ·+ 1	= k2	·+ k·1	+ 1 )	(7.45)
q [z] = q2		q1	[z]

Нетрудно установить, что последнее неравенство верно.

•Для среднего (внутреннего) перехода процесса (7.44) неравенство (7.37) верно. В качестве (7.38) мы возьмем совокупность, единственным элементом которой является пустой СП процесса Bu er n1+n2 .

Неравенство (7.39) в данном случае верно по тривиальной причине: правая часть в нём имеет вид >.

Пользуясь соотношением (7.33), запишем неравенство, соответствующее диаграмме (7.40) для данного слу-

чая, в виде

	q = q2	q1	q = (q2 [ˆq1]) q10
k = k2		·+ k1	q = (q2 [ˆq1]) q10

			≤ ( k = k2 + 1 + k1		1 )
			≤ ( k = k2 + 1 + k1		1 )

k1 > 0			· ·		(7.46)
	Inv		· ·	−	(7.46)
k2 < n2				−

229

Данное неравенство следует из

–ассоциативности операции конкатенации, и

–истинности для каждой строки u соотношения

|u| > 0 u = [ˆu] · u0

•Для правого перехода процесса (7.44) неравенство (7.37) верно. В качестве (7.38) мы возьмем совокупность, единственным элементом которой является правый переход процесса Bu er n1+n2 .

Неравенство (7.39) в данном случае имеет вид

q2= q2			q1
	k > 0	·
k = k2 + k1



	Inv
	Inv

что, очевидно, верно.

≤ (k > 0)

Пользуясь соотношением (7.33), запишем неравенство, соответствующее диаграмме (7.40) для данного случая, в виде

q = q2

qˆ2 = qˆ

k = k2

·+ k1

Inv

= q20

(7.47)

≤

k > 0

−

1 = k

−

1 + k

k2> 0

Данное неравенство следует из истинности для каждой пары строк u, v соотношения

\|u\| > 0	( (u	· v)0	= u0		v )
	(u	v)ˆ = uˆ		·
		·		·

3.Проверим свойство 3.

•Для левого перехода процесса Bu er n1+n2 неравенство (7.37) верно. В качестве (7.41) мы возьмем совокуп-

ность, состоящую из двух СП:

230

–левого перехода процесса (7.44), и

–последовательности из пары переходов,

первым элементов которой является средний (внутренний) переход процесса (7.44),

а вторым – левый переход процесса (7.44)

Неравенство (7.39) в данном случае имеет вид

q = q21

k1 > 0

k < n + n

(k1 < n1)

k2 < n2

k = k2 + k1

≤

Inv

−

1 < n

Это неравенство верно (при его обосновании используется содержащийся в Inv конъюнктивный член n1 > 0).

Истинность неравенств, соответствующих диаграммам (7.42) для обоих элементов совокупности (7.41), следует из (7.45), (7.46) и теоремы 36.

•Для правого перехода процесса Bu er n1+n2 неравенство (7.37) верно. В качестве (7.41) мы возьмем сово-

купность, состоящую из двух СП:

–правого перехода процесса (7.44), и

–последовательности из пары переходов,

первым элементов которой является средний (внутренний) переход процесса (7.44),

а вторым – правый переход процесса (7.44)

Неравенство (7.39) в данном случае имеет вид

q = q2 q1						k1 > 0
	k > 0	·		(k2 > 0)	k2 < n2
k = k2 + k1			≤

	Inv				k		2	+ 1 > 0
	Inv						2

Это неравенство верно (при его обосновании используется содержащийся в Inv конъюнктивный член n2 > 0).

231

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 6143 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>