базис индукции:

Если Q = Pi, то Q0 = Pi0, и (5.2) верно по предположению.

индуктивный переход:

Из теоремы 27 следует, что для каждого подвыражения Q выражения P имеет место импликация: если для каждого собственного подвыражения Q1 выражения Q (т.е. Q1 6= Q)

Q1 ,→ Q01

то верно (5.2).

Таким образом, (5.2) верно для каждого подвыражения Q выражения P . В частности, (5.2) верно для P .

5.4Предел последовательности вложенных процессов

Последовательность процессов (5.3), удовлетвряющая условию (5.4), называется последовательностью вложенных процессов.

Определим процесс P , называемый пределом последовательности (5.3).

Пусть процессы Pk (k ≥ 0) имеют вид

Pk = (Sk, s0k, Rk)

Мы можем считать, что все множества Sk (k ≥ 0) попарно не пересекаются.

Из (5.4) следует, что для каждого k ≥ 0 существует инъективное отображение

fk : Sk → Sk+1

такое, что

131

•fk(s0k) = s0k+1, и

•для любых s0, s00 Sk и любого a Act

Обозначим

• символом S объединение S Sk, и

k≥0

•символом ρ – минимальную эквивалентность на S, обладающую следующим свойством:

k ≥ 0, s Sk (s, fk(s)) ρ

Компоненты искомого процесса P имеют следующий вид.

1.Состояниями процесса P являются классы разбиения множества S по эквивалентности ρ.

2.Начальным состоянием процесса P является класс, содержащий s00.

3.Переходы процесса P имеют вид

[s0] a - [s00]

где ( s0 a - s00 ) Rk для некоторого k ≥ 0.

Определённый выше предел последовательности (5.3) мы будем обозначать знакосочетанием

lim Pk

k→∞

Из определения предела последовательности (5.3) непосредственно следует, что для каждого k ≥ 0

Pk ,→ lim Pk

k→∞

Теорема 29.

Пусть заданы последовательности вложенных процессов

{Pk | k ≥ 0} и {Qk | k ≥ 0}

Тогда

132

Ниже мы будем использовать следующее обозначение: если

•P – ПВ, в которое входят процессные имена A1, . . ., An, и

•P1, . . . , Pn – некоторые процессы

то знакосочетание

P (P1/A1, . . . , Pn/An)

обозначает выражение над процессами (а также его значение), получаемое из P заменой для каждого i = 1, . . . , n каждого вхождения процессного имени Ai на соответствующий процесс Pi.

Теорема 30. Пусть заданы

•ПВ P , в которое входят процессные имена A1, . . ., An, и

•последовательности вложенных процессов

{Pi(k) | k ≥ 0} (i = 1, . . . , n)

Тогда

P (( lim P1(k))/A1, . . . , ( lim Pn(k))/An) =

k→∞ k→∞

= lim P (P1(k)/A1, . . . , Pn(k)/An)

k→∞

Доказательство.

Данная теорема доказывается индукцией по структуре ПВ P , с использованием теоремы 29.

133

5.5Процессы, определяемые процессными выражениями

В этом параграфе мы излагаем правило, которое сопоставляет каждому ПВ P процесс [[P ]], определяемый этим ПВ.

Процессы, определяемые процессными константами, являются значениями этих констант.

Процессы, определяемые ПВ вида

a.P, P1 + P2, P1 | P2, P \ L, P [f]

являются результатами применения соответствующих операций к процессам определяемым ПВ P , P1 и P2, т.е.

def

[[a.P ]] = a.[[P ]]

def

[[P1 + P2]] = [[P1]] + [[P2]]

def

[[P1 | P2]] = [[P1]] | [[P2]]

def

[[P \ L]] = [[P ]] \ L

def

[[P [f] ]] = [[P ]] [f]

Опишем теперь правило, сопоставляющее процессы процессным именам.

Пусть задано РО вида (5.1). Определим последовательность списков процессов

•если процессы P1(k), . . ., Pn(k) уже определены, то для каждого i = 1, . . . , n

Докажем, что для каждого k ≥ 0 и для каждого i = 1, . . . , n

Доказательство будем вести индукцией по k.

134