Глава 5

Рекурсивные определения процессов

В некоторых случаях процесс удобнее задавать не явным описанием множеств его состояний и переходов, а при помощи рекурсивного определения.

5.1Процессные выражения

Для того, чтобы сформулировать понятие рекурсивного определения процессов, мы введём понятие процессного выражения.

Множество P Expr процессных выражений (ПВ) определяется индуктивно, т.е.

•указываются элементарные ПВ, и

•описываются правила построения новых ПВ из уже имеющихся.

Каждое из правил построения ПВ имеет своё название, которое указывается жирным шрифтом перед описанием этого правила.

процессные константы:

Мы будем предполагать, что задано счётное множество процессных констант, причём каждой процессной константе

127

сопоставлен некоторый процесс, называемый значением этой константы.

Существует процессная константа, значением которой является пустой процесс 0, эта константа обозначается тем же символом 0.

Каждая процессная константа является ПВ.

процессные имена:

Мы будем предполагать, что задано счётное множество процессных имён.

Каждое процессное имя является ПВ.

префиксное действие:

Для каждого a Act и каждого ПВ P знакосочетание a.P является ПВ.

выбор:

Для любых ПВ P1, P2 знакосочетание P1 + P2 является ПВ.

параллельная композиция:

Для любых ПВ P1, P2 знакосочетание P1 | P2 является ПВ.

ограничение:

Для каждого подмножества L Names и каждого ПВ P знакосочетание P \ L является ПВ.

переименование:

Для каждого переименования f и каждого ПВ P знакосочетание P [f] является ПВ.

5.2Понятие рекурсивного определения процессов

Рекурсивным определением (РО) процессов называется список формальных равенств вида

A1 = P1

. . . (5.1)

An = Pn

128

где

•A1, . . . , An – различные процессные имена, и

•P1, . . . , Pn – ПВ, удовлетворяющие следующему условию: для каждого i = 1, . . . , n каждое процессное имя, входящее в Pi, совпадает с одним из имён A1, . . . , An.

Мы будем предполагать, что каждому процессному имени соответствует единственное РО, в котором это имя является левой частью одного из равенств.

В параграфе 5.5 мы определим соответствие, которое сопоставляет каждому ПВ P некоторый процесс [[P ]]. Для определения этого соответствия мы сначала изложим

•понятие вложения процессов, и

•понятие предела последовательности вложенных процессов.

атакже утверждения, связанные с этими понятиями.

5.3Вложение процессов

Пусть заданы два процесса

Pi = (Si, s0i , Ri) (i = 1, 2)

и f – инъективное отображение из S1 в S2.

Мы будем говорить, что f является вложением P1 в P2, если

•f(s01) = s02, и

•для любых s0, s00 S1 и любого a Act

Для каждой пары процессов P1, P2 знакосочетание

P1 ,→ P2

является сокращённой записью утверждения о том, что существует вложение P1 в P2.

Теорема 27. Пусть P1 ,→ P2. Тогда

129

•a.P1 ,→ a.P2

•P1 + P ,→ P2 + P

•P1 | P ,→ P2 | P

•P1 \ L ,→ P2 \ L, и

•P1[f] ,→ P2[f].

Ниже мы рассматриваем выражения, построенные из процессов, и символов операций над процессами (a., +, | , \L, [f]). Понятие такого выражения отличается от понятия ПВ, и мы называем такие выражения выражениями над процессами. Для каждого выражения над процессами определён процесс, являющийся значением этого выражения. В нижеследующих рассуждениях мы будем обозначать выражение над процессами и его значение одним и тем же символом.

Теорема 28. Пусть

• P – выражение над процессами, в которое входят процессы

Доказательство.

Данная теорема доказывается индукцией по структуре выражения P : мы докажем, что для каждого подвыражения Q выражения P верно утверждение

где Q0 – подвыражение выражения P 0, которое соответствует подвыражению Q .

130