4.4Критерии сильной эквивалентности

4.4.1Логический критерий сильной эквивалентности

Обозначим символом F m множество формул, определяемое следующим образом.

•Символы > и являются формулами.

•Если ϕ – формула, то ¬ϕ тоже формула.

•Если ϕ и ψ – формулы, то ϕ ψ тоже формула.

•Если ϕ – формула и a Act, то haiϕ тоже формула.

Пусть заданы процесс P и формула ϕ Fm. Значение формулы ϕ на процессе P представляет собой элемент P (ϕ) множества {0, 1}, определяемый следующим образом.

• P (>) = 1, P ( ) = 0

• P (¬ϕ) = 1 − P (ϕ)

• P (ϕ ψ) = P (ϕ) · P (ψ)

Теория процесса P – это совокупность Th(P ) формул, определяемая следующим образом:

Th(P ) = {ϕ Fm | P (ϕ) = 1}

Теорема 1.

Пусть процессы P1 и P2 конечны. Тогда

P1 P2 Th(P1) = Th(P2)

Доказательство.

Импликация “ ” доказывается индукцией по структуре формулы ϕ.

71

Докажем импликацию “ ”. Пусть имеет место равенство

Обозначим символом µ бинарное отношение на множестве всех процессов, которое состоит из всех пар процессов с одинаковыми теориями, т.е.

def

µ = {(P1, P2) | T h(P1) = T h(P2)}

Докажем, что µ удовлетворяет определению сильной эквивалентности. Пусть это не так, т.е., например, для некоторого a Act

(a) существует процесс P10, такой, что

P1 a - P10

(b) но не существует процесса P20, такого, что

и T h(P10) = T h(P20).

Условие (b) может иметь место в двух ситуациях:

1.не существует процесса P20, для которого верно (4.15)

2.существует процесс P20, для которого верно (4.15), но для каждого такого процесса

T h(P10) 6= T h(P20)

Докажем, что в обоих ситуациях существует формула ϕ, удовлетворяющая условию

P1(ϕ) = 1, P2(ϕ) = 0

что будет противоречить предположению (4.14).

1.Если имеет место первая ситуация, то в качестве ϕ можно взять формулу hai>.

72

2.Если имеет место вторая ситуация, то пусть список всех таких процессов P20, для которых верно (4.15), имеет вид

P20,1, . . . , P20,n

По предположению, для каждого i = 1, . . . , n имеет место

неравенство

T h(P10) 6= T h(P20,i)

т.е. для каждого i = 1, . . . , n существует формула ϕi, такая, что

В этой ситуации в качестве искомой формулы ϕ можно взять формулу hai(ϕ1 . . . ϕn).

Например, пусть P1 и P2 – процессы, изображённые на рисунке (4.13). Как было сказано выше, эти процессы не являются сильно эквивалентными. В качестве обоснования утверждения P1 6 P2 можно, например, предъявить формулу

def

ϕ = hai(hbi> hci>)

Нетрудно доказать, что P1(ϕ) = 1 и P2(ϕ) = 0.

Представляет интерес задача нахождения по двум заданным процессам P1 и P2 списка формул

ϕ1, . . . , ϕn

как можно меньшего размера, таких, что P1 P2 тогда и только тогда, когда

4.4.2Критерий сильной эквивалентности, основанный на понятии бимоделирования

Теорема 2.

Пусть заданы два процесса

Pi = (Si, s0i , Ri) (i = 1, 2)

73