–транзитивность ≈ следует из того, что если µ1 Mτ и µ2 Mτ , то µ1 ◦ µ2 Mτ .

Если процессы P1 и P2 наблюдаемо эквивалентны, то этот факт обозначается знакосочетанием

P1 ≈ P2

Нетрудно доказать, что если процессы P1 и P2 сильно эквивалентны, то они наблюдаемо эквивалентны.

4.8.2Логический критерий наблюдаемой эквивалентности

Логический критерий наблюдаемой эквивалентности аналогичен критерию из параграфа 4.4.1. В данном критерии используется то же самое множество формул. Понятие значения формулы на процессе отличается от аналогичного понятия в параграфе 4.4.1 лишь для формул вида haiϕ:

• значение формулы hτiϕ на процессе P равно

0, в противном случае

•значение формулы haiϕ (где a 6= τ) в P равно

1, если существует процесс P 0 :

P aτ - P 0 , P 0(ϕ) = 1

0, в противном случае

Для каждого процесса P мы будем обозначать знакосочетанием T hτ (P ) совокупность всех формул, которые имеют на этом процессе значение 1 (относительно модифицированного определения понятия значения формулы на процессе).

Теорема 13.

100

Пусть процессы P1 и P2 конечны. Тогда

P1 ≈ P2 T hτ (P1) = T hτ (P2)

Как и в случае , представляет интерес задача нахождения по двум заданным процессам P1 и P2 списка формул

ϕ1, . . . , ϕn

как можно меньшего размера, таких, что P1 ≈ P2 тогда и только тогда, когда

Используя теорему 13, можно легко доказать, что

Заметим, что, согласно (4.57), имеет место соотношение

0 ≈ τ. 0

однако соотношение

неверно, в чём нетрудно убедиться при рассмотрении графового представления левой и правой частей в (4.58):

Формула, которая принимает разные значения на этих процессах, может иметь, например, такой вид:

¬hτi¬hai>

101

Таким образом, отношение ≈ не является конгруэнцией, т.к. оно не сохраняет операцию +.

Другой пример: если a, b Act \ {τ} и a 6= b, то

a.0 + b.0 6≈τ.a.0 + τ.b.0

хотя a.0 ≈ τ.a.0 и b.0 ≈ τ.b.0.

Графовое представление этих процессов имеет вид

Отсутствие наблюдаемой эквивалентности между этими процессами обосновывается формулой

hτi¬hai>

4.8.3Критерий наблюдаемой эквивалентности, основанный на понятии наблюдаемого БМ

Для отношения ≈ также имеет место аналог критерия, основанного на понятии БМ (теорема 2 из параграфа 4.4.2). Для его формулировки мы введём вспомогательные обозначения.

Пусть P = (S, s0, R) – некоторый процесс, и s1, s2 – пара его состояний. Тогда

• знакосочетание

s τ - s0

означает, что

– или s = s0,

102

– или существует последовательность состояний

s1, . . . , sn (n ≥ 2)

такая, что s1 = s, sn = s0, и i = 1, . . . , n − 1

P1 ≈ P2 тогда и только тогда, когда существует отношение

µ S1 × S2

удовлетворяющее следующим условиям.

0.(s01, s02) µ.

1.Для каждой пары (s1, s2) µ и каждого перехода из R1 вида

s1 τ - s01

103