P1 P2 тогда и только тогда, когда существует отношение

µ S1 × S2

удовлетворяющее следующим условиям.

0.(s01, s02) µ.

1.Для каждой пары (s1, s2) µ и каждого перехода из R1 вида

s1 a - s01

существует переход из R2 вида

s2 a - s02

такой, что (s01, s02) µ.

2.Для каждой пары (s1, s2) µ и каждого перехода из R2 вида

s2 a - s02

существует переход из R1 вида

s1 a - s01

такой, что (s01, s02) µ.

Отношение µ, удовлетворяющее данным условиям, называется

бимоделированием (БМ) между P1 и P2.

4.5Алгебраические свойства сильной эквивалентности

Теорема 3.

Сильная эквивалентность является конгруэнцией, т.е. если P1 P2, то

74

• для каждого переименования f P1[f] P2[f]

Доказательство.

Как было установлено в параграфе 4.4.2, соотношение

P1 P2

эквивалентно тому, что существует БМ µ между P1 и P2. Используя это µ, мы построим БМ для обоснования каждого из вышеприведённых соотношений.

•Пусть символы s0(1) и s0(2) обозначают начальные состояния a.P1 и a.P2 соответственно.

Тогда отношение

{(s0(1), s0(2))} µ

является БМ между a.P1 и a.P2.

•Пусть

–символы s0(1) и s0(2) обозначают начальные состояния P1 + P и P2 + P соответственно, и

–символ S обозначает множество состояний процесса P .

Тогда

– отношение

{(s0(1), s0(2))} µ IdS

является БМ между P1 + P и P2 + P , и

– отношение

{((s1, s), (s2, s)) | (s1, s2) µ, q S}

является БМ между P1|P и P2|P .

• Отношение µ является БМ

75

–между P1 \ L и P2 \ L, и

–между P1[f] и (P2[f].

Теорема 4.

Для каждого процесса P = (S, s0, R) имеют место следующие свойства.

1.P + 0 P

2.P + P P

Доказательство.

1.Обозначим символом символом s00 начальное состояние процесса P + 0.

БМ между P + 0 и P имеет вид

{(s00, s0)} IdS

2.Согласно определению операции +, процессы в левой части доказываемого соотношения следует рассматривать как две дизъюнктные изоморфные копии процесса P вида

P(i) = (S(i), s0(i), R(i)) (i = 1, 2)

где S(i) = {s(i) | s S}.

Обозначим символом символом s00 начальное состояние процесса P + P .

БМ между P + P и P имеет вид

{(s00, s0)} {(s(i), s) | s S, i = 1, 2}

Ниже для

•каждого процесса P = (S, s0, R), и

•каждого состояния s S

76

мы будем использовать знакосочетание P (s) для обозначения процесса

(S, s, R)

который отличается от P только начальным состоянием.

Теорема 5.

Пусть P = (S, s0, R) – некоторый процесс, и совокупность всех выходящих из s0 переходов имеет вид

Доказательство.

Для построения БМ, доказывающего соотношение (4.16), мы заменим все процессы Pi в его правой части на их дизъюнктные копии, т.е. будем считать, что для каждого i = 1, . . . , n процесс

Pi имеет вид

Pi = (S(i), si(i), R(i))

и для каждого i = 1, . . . , n соответствующая биекция между S и S(i) сопоставляет каждому состоянию s S состояние, обозначаемое символом s(i).

Таким образом, можно считать, что каждое из слагаемых

и множества состояний этих слагаемых попарно не пересекаются. Согласно определению операции +, правая часть (4.16) имеет

вид

77

78

Доказательство.

По теореме 5, P сильно эквивалентен сумме, каждое слагаемое в которой соответствует некоторому переходу, выходящему из начального состояния s0 процесса P : для каждого перехода в

P вида

s0 a - s

эта сумма содержит слагаемое a.P (s).

Согласно (4.18), для каждого i = 1, . . . , n процесс Pi имеет

соответственно.

Обозначим

•символом Si множество состояний процесса Pi, и

•символом Sij (где j = 1, . . . , ni) – множество состояний процесса Pij.

Мы можем считать, что Si является дизъюнктным объединением

Согласно описанию процесса вида (4.17), которое приведено в пункте 2 параграфа 3.7, можно считать, что компоненты процесса P имеют следующий вид.

79

• Начальным состоянием s0 процесса P является список

(s01, . . . , s0n)

•Переходы процесса P , выходящие из его начального состояния, имеют следующий вид.

–Переходы вида

Таким образом, множество переходов процесса P , выходящих из s0, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством слагаемых вида (4.19) и (4.20).

Для доказательства теоремы 6 достаточно доказать, что

•Для каждого i = 1, . . . , n, и каждого j = 1, . . . , ni имеет место эквивалентность

80

Мы докажем лишь эквивалентность (4.25) (эквивалентность (4.26) доказывается аналогично).

Множество состояний процесса

Из (4.21) следует, что Sij Si, т.е. множество (4.28) является подмножеством множества (4.22) состояний процесса

P (s01, . . . , s0i−1, s0ij, s0i+1, . . . , s0n) (4.29)

Определим искомое БМ µ между процессами (4.27) и (4.29) как диагональное отношение

def

µ = {(s, s) | s (4.28)}

Очевидно, что

•пара начальных состояний процессов (4.27) и (4.29) принадлежит µ,

•каждый переход процесса (4.27) является также переходом процесса (4.29), и

•если начало некоторого перехода процесса (4.29) принадлежит подмножеству (4.28), то конец этого перехода тоже принадлежит подмножеству (4.28) (для обоснования этого утверждения отметим, что все переходы в Pi с началом в Sij имеют конец тоже в Sij).

Таким образом, µ является БМ, и это доказывает эквивалентность (4.25).

Следующая теорема является усилением теоремы 6. Для её формулировки мы будем использовать следующее обозначение. Если f – произвольное переименование, то тот же символ f обозначает функцию вида

f : Act → Act

определяемую следующим образом.

81

def def

• α Names f(α!) = f(α)!, и f(α?) = f(α)?

def

• f(τ) = τ

Теорема 7.

Пусть P – процессы вида

P = P1[f1] | . . . | Pn[fn] \ L

где для каждого i {1, . . . , n}

Тогда P сильно эквивалентен сумме

1. всех процессов вида

где aij = τ или name(fi(aij)) 6 L, и

2. всех процессов вида

Доказательство.

Данная теорема непосредственно следует из

•предыдущей теоремы,

•теоремы 3,

•свойств 6, 9, 10, 16 и 17 из параграфа 3.7, и

•первого утверждения из теоремы 4.

82