4.6Распознавание сильной эквивалентности

4.6.1Отношение µ(P1, P2)

Пусть заданы два процесса

Pi = (Si, s0i , Ri) (i = 1, 2)

Определим функцию 0 на множестве всех отношений из S1 в S2, которая сопоставляет каждому отношению µ S1 × S2 отношение µ0 S1 × S2, определяемое следующим образом:

Нетрудно доказать, что для каждого µ S1 × S2

(

(s0, s0) µ

µ – БМ между P1 и P2 1 20

µ µ

Нетрудно доказать, что функция 0 монотонна, т.е.

если µ1 µ2, то µ01 µ02.

Обозначим символом µmax объединение всех отношений из совокупности

Заметим, что отношение µmax принадлежит совокупности (4.30), так как для каждого µ (4.30) из

83

Заметим, что имеет место равенство

µmax = µ0max

так как из включения µmax µ0max и из монотонности функции

0 следует включение

µ0max µ00max

т.е. µ0max (4.30), откуда, в силу максимальности µmax, следует

включение

µ0max µmax

Таким образом, отношение µmax является

•наибольшим элементом совокупности (4.30), и

•наибольшей неподвижной точкой функции 0. Мы будем обозначать это отношение знакосочетанием

Из теоремы 2 следует, что

P1 P2 (s01, s02) µ(P1, P2)

Из определения отношения µ(P1, P2) вытекает, что данное отношение состоит из всех пар (s1, s2) S1 × S2, таких, что

P1(s1) P2(s2)

Отношение µ(P1, P2) можно рассматривать как меру близости между P1 и P2.

84

4.6.2Полиномиальный алгоритм распознавания сильной эквивалентности

Пусть P1 и P2 – процессы вида

Pi = (Si, s0i , Ri) (i = 1, 2)

Если множества S1 и S2 конечны, то задача проверки истинности соотношения

очевидно является алгоритмически разрешимой: например, можно перебрать все отношения µ S1 × S2 и для каждого из них проверить условия 0, 1 и 2 из определения БМ. Алгоритм заканчивает свою работу, когда

•нашлось хотя бы одно отношение µ S1 × S2 которое удовлетворяет условиям 0, 1 и 2 из определения БМ, в этом случае он выдаёт ответ

P1 P2

или

•все отношения µ S1 × S2 перебраны, и ни одно из них не удовлетворяет условиям 0, 1 и 2 из определения БМ, в этом случае он выдаёт ответ

P1 6 P2

Если P1 6 P2, то вышеприведённый алгоритм выдаст ответ после перебора всех отношений между S1 и S2, число которых

– 2|S1|·|S2|, т.е. данный алгоритм имеет экспоненциальную сложность.

Данную задачу можно решить гораздо более эффективным алгоритмом, который имеет полиномиальную сложность. Для построения такого алгоритма мы рассмотрим следующую последовательность отношений между S1 и S2

85

Из соотношения µ1 µ2 и монотонности функции 0 следует,

что

µ2 = µ01 µ02 = µ3 µ3 = µ02 µ03 = µ4

и т.д.

Таким образом, последовательность (4.33) монотонна:

µ1 µ2 . . .

Поскольку все члены последовательности (4.33) являются подмножествами конечного множества S1 × S2, то данная последовательность не может бесконечно убывать, она стабилизируется на некотором члене, т.е. для некоторого i ≥ 1 имеет место соотношение

µi = µi+1 = µi+2 = . . .

Докажем, что член µi, на котором наступает стабилизация, совпадает с отношением µ(P1, P2).

•Т.к. µi = µi+1 = µ0i, т.е. µi – неподвижная точка функции 0, то

–включение (4.35) верно для j = 1, и

–если включение (4.35) верно для некоторого j, то, в силу монотонности функции 0, имеем соотношения

µ(P1, P2) = µ(P1, P2)0 µ0j = µj+1

т.е. включение (4.35) будет верно для j + 1

86

то, в частности, (4.35) верно для j = i.

Из (4.34) и (4.35) для j = i следует равенство

Таким образом, задача проверки истинности соотношения P1 P2 может быть решена путём

•нахождения первого члена µi последовательности (4.33), который удовлетворяет условию µi = µi+1, и

•проверки для этого µi соотношения

Алгоритм выдаёт ответ

P1 P2

тогда и только тогда, когда выполняется (4.37).

Для вычисления членов последовательности (4.33) можно использовать нижеследующий алгоритм, который по отношению

87