Данные условия имеют недостаток: в их формулировке участвуют потенциально неограниченные множества последовательностей переходов вида (4.4) и (4.5), а также потенциально неограниченные множества трасс из (4.6). Поэтому проверка данных условий представляется затруднительной даже в том случае, когда процессы P1 и P2 конечны.

Представляет интерес задача нахождения условий, равносильных условиям трассовой эквивалентности, которые можно было бы алгоритмически проверять для заданных процессов P1 и P2 в том случае, когда эти процессы конечны.

Иногда рассматривают такую эквивалентность между процессами, которая отличается от трассовой эквивалентности заменой условия (4.6) на более слабое условие:

Act(sn) = Act(s0n)

где для каждого состояния s знакосочетание Act(s) обозначает множество всех действий a Act, таких, что существует переход с началом в s и помеченный действием a.

4.3Сильная эквивалентность

Ещё одним вариантом понятия эквивалентности процессов является сильная эквивалентность. Для определения этого понятия мы введём вспомогательные обозначения.

После того, как процесс

выполнит первое действие и перейдёт в новое состояние s1, его поведение будет неотличимо от поведения процесса

имеющего те же компоненты, что и P , за исключением начального состояния.

Мы будем использовать обозначение

как сокращённую запись утверждения о том, что

67

• P и P 0 – процессы вида (4.7) и (4.8) соответственно, и

(4.9) можно интерпретировать как утверждение о том, что процесс P , может

•выполнить действие a, и после этого

•вести себя как процесс P 0.

Понятие сильной эквивалентности основано на следующем понимании эквивалентности процессов: если мы рассматриваем процессы P1 и P2 как эквивалентные, то должно быть выполнено следующее условие:

•если один из этих процессов Pi может

–выполнить некоторое действие a Act,

–и после этого вести себя как некоторый процесс Pi0

• то и другой процесс Pj (j {1, 2} \ {i}) тоже должен обладать способностью

–выполнить то же самое действие a,

–после чего вести себя как некоторый процесс Pj0, который эквивалентен Pi0.

Таким образом, искомая эквивалентность должна представлять собой некоторое бинарное отношение µ на множестве всех процессов, обладающее следующими свойствами.

(1) Если (P1, P2) µ, и для некоторого процесса P10 верно

68

(2)Симметричное свойство: если (P1, P2) µ, и для некоторого

процесса P20 верно (4.11), то должен существовать процесс P10, такой, что выполнены условия (4.10) и (4.12).

Заметим, что мы не требуем, чтобы µ было отношением эквивалентности.

Обозначим символом M совокупность всех бинарных отношений, которые обладают вышеприведёнными свойствами.

Множество M непусто: оно содержит, например, диагональное отношение, которое состоит из всех пар вида (P, P ), где P – произвольный процесс.

Встаёт естественный вопрос о том, какое же из отношений, входящих в M, можно использовать для определения понятия сильной эквивалентности.

Мы предлагаем наиболее простой ответ на этот вопрос: мы будем считать P1 и P2 сильно эквивалентными в том и только в том случае, когда существует хотя бы одно отношение µ M, которое содержит пару (P1, P2).

Таким образом, искомое отношение сильной эквивалентности на множестве всех процессов мы определяем как объединение всех отношений из M. Данное отношение обозначается символом

.

Нетрудно доказать, что

•M, и

•является отношением эквивалентности, т.к.

–рефлексивность следует из того, что диагональное отношение принадлежит M,

–симметричность следует из того, что если µ M, то µ−1 M

–транзитивность следует из того, что если µ1 M и

µ2 M, то µ1 ◦ µ2 M.

Если процессы P1 и P2 сильно эквивалентны, то этот факт обозначается знакосочетанием

P1 P2

69

Нетрудно доказать, что если процессы P1 и P2 сильно эквивалентны, то они трассово эквивалентны.

Для иллюстрации понятия сильной эквивалентности рассмотрим пару примеров.

не являются сильно эквивалентными, так как они не являются трассово эквивалентными

A

являются сильно эквивалентными.

70