2.Для каждой пары (s1, s2) µ и каждого перехода из R2 вида

s2 τ - s02

существует состояние s01 S1, такое, что

s1 τ - s01

и (4.59).

3.Для каждой пары (s1, s2) µ и каждого перехода из R1 вида

существует состояние s02 S2, такое, что

s2 aτ - s02

и (4.59).

4.Для каждой пары (s1, s2) µ и каждого перехода из R2 вида

существует состояние s01 S1, такое, что

s1 aτ - s01

и (4.59).

Отношение µ, удовлетворяющее данным условиям, называется

наблюдаемым БМ (НБМ) между P1 и P2.

4.8.4Алгебраические свойства наблюдаемой эквивалентности

Теорема 15.

Отношение наблюдаемой эквивалентности сохраняет все операции на процессах, за исключением операции +, т.е. если P1 ≈ P2, то

• для каждого a Act a.P1 ≈ a.P2

104

• для каждого переименования f P1[f] ≈ P2[f]

Доказательство.

Как было установлено в параграфе 4.8.3, соотношение P1 ≈ P2 эквивалентно тому, что существует НБМ µ между P1 и P2. Используя это µ, мы построим НБМ для обоснования каждого из вышеприведённых соотношений.

•Пусть символы s0(1) и s0(2) обозначают начальные состояния a.P1 и a.P2 соответственно.

Тогда отношение

µ {(s0(1), s0(2))}

является НБМ между a.P1 и a.P2.

•Пусть символ S обозначает множество состояний процесса P . Тогда отношение

{((s1, s), (s2, s)) | (s1, s2) µ, q S}

является НБМ между P1|P и P2|P .

• Отношение µ является НБМ

–между P1 \ L и P2 \ L, и

–между P1[f] и P2[f].

4.8.5Распознавание наблюдаемой эквивалентности и минимизация процессов относительно ≈

Для решения задач

1.распознавания для двух заданных конечных процессов, являются ли они наблюдаемо эквивалентными, и

105

2.построения по заданному конечному процессу P такого процесса P 0, который имеет наименьшее число состояний среди всех процессов, наблюдаемо эквивалентных P

могут быть построены теория и основанные на ней алгоритмы, которые аналогичны теории и алгоритмам, изложенным в параграфах 4.6 и 4.7. Мы не будем детально излагать эту теорию, т.к. она почти дословно повторяет соответствующую теорию для случая . В этой теории для произвольной пары процессов

Pi = (Si, s0i , Ri) (i = 1, 2)

тоже определяется функция на отношениях из S1 × S2, которая сопоставляет каждому отношению µ некоторое отношение µ0τ , такое, что

(

(s0, s0) µ

µ – НБМ между P1 и P2 1 20

µ µτ

Обозначим символом µτ (P1, P2) объединение всех отношений из совокупности

Данное отношение является наибольшим элементом совокупности (4.60), и обладает свойством

P1 ≈ P2 (s01, s02) µτ (P1, P2)

Из определения отношения µτ (P1, P2) вытекает, что оно состоит из всех пар (s1, s2) S1 × S2, таких, что

P1(s1) ≈ P2(s2)

Отношение µτ (P1, P2) можно рассматривать как ещё одну меру близости между P1 и P2.

При построении полиномиального алгоритма вычисления отношения µτ (P1, P2), аналогичного алгоритму из параграфа 4.6.2,

106

следует учитывать следующее соображение. Всякий раз, когда для заданной пары s, s0 состояний некоторого процесса P требуется проверить условие

sτ - s0

достаточно анализировать последовательности переходов вида

s τ - s1 τ - s2 τ - . . .

длина которых не превосходит числа состояний процесса P .

4.8.6Другие критерии эквивалентности процессов

Доказать сильную или наблюдаемую эквивалентность процессов P1 и P2 можно также с помощью излагаемых ниже критериев. В некоторых случаях использование этих критериев гораздо проще всех других способов доказательства соответствующей эквивалентности P1 и P2.

Бинарное отношение µ на множестве процессов называется

•БМ (mod ), если µ ( µ )0

•НБМ (mod ), если µ ( µ )0τ

•НБМ (mod ≈), если µ (≈ µ ≈)0τ

Нетрудно доказать, что

•если µ – БМ (mod ), то µ , и

•если µ – НБМ (mod или mod ≈), то µ ≈.

Таким образом, для доказательства P1 P2 или P1 ≈ P2 достаточно найти подходящее

•БМ (mod ), или

•НБМ (mod или mod ≈) соответственно, такое, что

(P1, P2) µ

107