Заметим, что данный алгоритм корректен только в том случае, когда µ0 µ (что имеет место в том случае, когда этот алгоритм используется для вычисления членов последовательности (4.33)). В общей ситуации внешний цикл должен иметь вид

цикл для каждого (s1, s2) S1 × S2

Оценим сложность данного алгоритма. Обозначим символом A чиcло

def

A = max(|Act(P1)|, |Act(P2)|) + 1

• Внешний цикл делает не более |S1| · |S2| итераций.

• Оба цикла, содержащиеся в во внешнем цикле, делают не более |S1| · |S2| · A итераций.

Поэтому сложность этого алгоритма можно оценить функцией

O(|S1|2 · |S2|2 · A)

Поскольку для вычисления того члена последовательности (4.33), на котором наступает её стабилизация, нужно вычислить не больше чем |S1|·|S2| членов этой последовательности, то, следовательно, искомое отношение µi = µ(P1, P2) может быть вычислено за

время

O(|S1|3 · |S2|3 · A)

4.7Минимизация процессов

4.7.1Свойства отношений вида µ(P, P )

1.Рефлексивность отношения µ(P, P ) следует из того, что диагональное отношение

IdS = {(s, s) | s S}

удовлетворяет условиям 1 и 2 из определения БМ, т.е.

88

IdS (4.30).

2.Симметричность отношения µ(P, P ) следует из того, что если отношение µ удовлетворяет условиям 1 и 2 из определения БМ, то обратное отношение µ−1 тоже удовлетворяет этим условиям, т.е.

если µ (4.30), то µ−1 (4.30).

3.Транзитивность отношения µ(P, P ) следует из того, что произведение

µ(P, P ) ◦ µ(P, P )

удовлетворяет условиям 1 и 2 из определения БМ, т.е.

µ(P, P ) ◦ µ(P, P ) µ(P, P )

Обозначим символом P процесс, компоненты которого имеют следующий вид.

•Множество состояний процесса P представляет собой совокупность классов эквивалентности, на которые разбивается множество S по отношению µ(P, P ).

•Начальным состоянием является класс [s0], который содержит начальное состояние s0 процесса P .

•Множество переходов процесса P состоит из всех переходов вида

Процесс P называется фактор-процессом процесса P по эквивалентности µ(P, P ).

Теорема 9.

Для каждого процесса P отношение

def

µ = { (s, [s]) | s S}

89

является БМ между P и P .

Доказательство.

Проверим для µ свойства из определения БМ.

Свойство 0 верно по определению начального состояния процесса P . Свойство 1 верно по определению множества переходов процесса P .

Докажем свойство 2. Пусть P содержит переход

[s] a - [s0]

Докажем, что существует переход в R вида

sa - s00

такой, что (s00, [s0]) µ, т.е. [s00] = [s0], т.е.

(s00, s0) µ(P, P )

Из определения множества переходов процесса P следует, что R содержит переход вида

где [s1] = [s] и [s01] = [s0], т.е.

(s1, s) µ(P, P ) и (s01, s0) µ(P, P )

Так как µ(P, P ) – БМ, то из

•(4.38) R, и

•(s1, s) µ(P, P )

следует, что R содержит переход вида

где (s001, s01) µ(P, P ).

90

Так как µ(P, P ) транзитивно, то из

(s01, s0) µ(P, P )

следует

(s001, s0) µ(P, P )

Таким образом, в качестве искомого s00 можно взять s001.

Из теоремы 9 следует, что для каждого процесса P

PP

4.7.2Минимальные процессы относительно

Процесс P называется минимальным относительно , если

•каждое его состояние достижимо, и

•µ(P, P ) = IdS

(где S – множество состояний процесса P ).

Ниже минимальные процессы относительно называются просто минимальными процессами.

Теорема 10.

Пусть процессы P1 и P2 минимальны, и P1 P2. Тогда P1 и P2 изоморфны.

Доказательство.

Пусть Pi (i = 1, 2) имеет вид (Si, s0i , Ri), и пусть µ S1 × S2 – БМ между P1 и P2.

Поскольку µ−1 тоже является БМ, и композиция двух БМ – тоже БМ, то

•µ ◦ µ−1 – БМ между P1 и P1

•µ−1 ◦ µ – БМ между P2 и P2

91

откуда, используя определение отношений µ(Pi, Pi), и определение минимальности процесса, получаем включения

Докажем, что отношение µ является функциональным, т.е. для каждого s S1 существует единственный элемент s0 S2, такой, что (s, s0) µ.

•Если s 6= s01, то, поскольку каждое состояние в P1 достижимо, то в P1 существует путь

Так как µ - БМ, то в P2 существует путь

причём (s, s0) µ.

Таким образом, в обоих случаях существует элемент s0 S2, такой, что (s, s0) µ.

Докажем единственность элемента s0 со свойством (s, s0) µ.

Если для некоторого элемента s00 S2 имеет место соотношение (s, s00) µ, то (s00, s) µ−1, откуда следует

(s00, s0) µ−1 ◦ µ = IdS2

поэтому s00 = s0.

По аналогичным соображениям, отношение µ−1 тоже является функциональным.

Из условий (4.40) нетрудно вывести биективность функции, которая соответствует отношению µ. По определению БМ, отсюда вытекает изоморфность P1 и P2.

Теорема 11. Пусть

92

•процесс P2 получается из процесса P1 удалением недостижимых состояний, и

def

• P3 = (P2) .

Тогда процесс P3 минимален, и

P1 P2 P3

Доказательство.

Так как каждое состояние в P2 достижимо, то из определения множества переходов процесса вида P следует, что каждое состояние P3 тоже достижимо.

Теперь докажем, что

т.е. предположим, что (s0, s00) µ(P3, P3), и докажем, что s0 = s00. Из определения процесса вида P следует, что существуют

состояния s1, s2 S2, такие, что

где [·] обозначает класс эквивалентности по отношению µ(P2, P2). Из теоремы 9 следует, что

(s1, s0) µ(P2, P3) (s00, s2) µ(P3, P2)

Поскольку композиция любых БМ тоже является БМ, то композиция

93